可測(cè)函數(shù)的定義及其簡單性質(zhì)

關(guān)于可測(cè)函數(shù)的定義及其簡單性質(zhì)新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）yiyi-1

用

mEi表示

Ei的“長度”

問題：怎樣的函數(shù)可使Ei都有“長度”(測(cè)度)?第2頁,共51頁，2024年2月25日，星期天1可測(cè)函數(shù)定義例

(1)零集上的任何函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)。注：稱外測(cè)度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數(shù)并仍為零集定義：設(shè)f(x)是可測(cè)集E上的實(shí)函數(shù)(可取

)，若

可測(cè)，則稱f(x)是E上的可測(cè)函數(shù)

第3頁,共51頁，2024年2月25日，星期天(2)簡單函數(shù)是可測(cè)函數(shù)可測(cè)函數(shù)注：Dirichlet函數(shù)是簡單函數(shù)01若

(Ei可測(cè)且兩兩不交），f(x)在每個(gè)Ei上取常值

ci，則稱f(x)是E上的簡單函數(shù)；第4頁,共51頁，2024年2月25日，星期天（3）可測(cè)集E上的連續(xù)函數(shù)f(x)必為可測(cè)函數(shù)

對(duì)比：設(shè)f(x)為(a,b)上有限實(shí)函數(shù)，

()()()f(x)在

處連續(xù)(對(duì)閉區(qū)間端點(diǎn)則用左或右連續(xù))設(shè)f(x)為E上有限實(shí)函數(shù)，稱f(x)在

處連續(xù)第5頁,共51頁，2024年2月25日，星期天可測(cè)集E上的連續(xù)函數(shù)f(x)定為可測(cè)函數(shù)

證明：任取x∈E[f>a],則f(x)>a,由連續(xù)性假設(shè)知，()x０

f(x0)+εf(x0)f(x0)-εa則G為開集，當(dāng)然為可測(cè)集，且第6頁,共51頁，2024年2月25日，星期天⑷

R中的可測(cè)子集E上的單調(diào)函數(shù)f(x)必為可測(cè)函數(shù)。aIax1x2由f單調(diào)增知下面的集合為可測(cè)集證明：不妨設(shè)f單調(diào)增，對(duì)任意a∈R第7頁,共51頁，2024年2月25日，星期天⒊可測(cè)函數(shù)的等價(jià)描述證明：利用（1）與（4），（2）與（3）互為余集，以及⒈定義：設(shè)f(x)是可測(cè)集E上的實(shí)函數(shù)，則

f(x)在E上可測(cè)第8頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

對(duì)前面等式的說明

([a-1/na([aa+1/n第9頁,共51頁，2024年2月25日，星期天⒋可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)⑴可測(cè)函數(shù)關(guān)于子集、并集的性質(zhì)反之，若

,f(x)限制在En上是可測(cè)函數(shù)，則f(x)在E上也是可測(cè)函數(shù)。即:若f(x)是E上的可測(cè)函數(shù),可測(cè)，則f(x)限制在E1上也是可測(cè)函數(shù)；第10頁,共51頁，2024年2月25日，星期天若m(E[f≠g])=0,則稱f(x)=g(x)在E上幾乎處處成立,記作f(x)=g(x)a.e.于E。（almosteverywhere）注：在一零測(cè)度集上改變函數(shù)的取值不影響函數(shù)的可測(cè)性證明：令E1=E[f≠g]，

E2=E[f=g]，則mE1=0從而

g(x)在E1上可測(cè)

，即：

設(shè)f(x)=g(x)a.e.于E，

f(x)在E上可測(cè)，則g(x)在E上也可測(cè)

注：用到了可測(cè)函數(shù)關(guān)于子集、并集的性質(zhì)另外f(x)在E2上可測(cè)，從而

g(x)在E2上也可測(cè)

，進(jìn)一步g(x)在E=E1

∪E2上也可測(cè)

。第11頁,共51頁，2024年2月25日，星期天⑵可測(cè)函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉

即:若f(x),g(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍為E上的可測(cè)函數(shù)。a-g(x)rf(x)第12頁,共51頁，2024年2月25日，星期天⑵可測(cè)函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉

即:若f(x),g(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍為E上的可測(cè)函數(shù)。a-g(x)rf(x)第13頁,共51頁，2024年2月25日，星期天類似可證：設(shè)f(x),g(x)是E上可測(cè)函數(shù)，則

為可測(cè)集。證明中利用了Q是可數(shù)集和R中的稠密集兩個(gè)性質(zhì)a-g(x)rf(x)第14頁,共51頁，2024年2月25日，星期天類似可證：設(shè)f(x),g(x)是E上可測(cè)函數(shù)，則

為可測(cè)集。證明中利用了Q是可數(shù)集和R中的稠密集兩個(gè)性質(zhì)a-g(x)rf(x)第15頁,共51頁，2024年2月25日，星期天⑶可測(cè)函數(shù)類關(guān)于確界運(yùn)算和極限運(yùn)算封閉。

推論：可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)仍為可測(cè)函數(shù)（連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)不一定為連續(xù)函數(shù)）。若fn(x)是E上的可測(cè)函數(shù),則下列函數(shù)仍為E上的可測(cè)函數(shù)。第16頁,共51頁，2024年2月25日，星期天對(duì)上式的說明：下確界：

([a-1/na第17頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例：

R1上的可微函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f`(x)是可測(cè)函數(shù)

利用了可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)仍為可測(cè)函數(shù).從而f`(x)是一列連續(xù)函數(shù)（當(dāng)然是可測(cè)函數(shù)）的極限，故f`(x)是可測(cè)函數(shù).

證明：由于gn(x)第18頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例

設(shè){fn}是可測(cè)函數(shù)列，則它的收斂點(diǎn)全體和發(fā)散點(diǎn)全體是可測(cè)集.注意：函數(shù)列收斂與函數(shù)列收斂于f之間的不同.證明：發(fā)散點(diǎn)全體為

收斂點(diǎn)全體為再第19頁,共51頁，2024年2月25日，星期天⒌可測(cè)函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系

可測(cè)函數(shù)f(x)總可表示成一列簡單函數(shù)的極限MmMmMmn0第20頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例：設(shè)f(x)是R上連續(xù)函數(shù)，g(x)是E上可測(cè)函數(shù)，則f(g(x))是可測(cè)函數(shù)。

證明：要證f(g(x))是可測(cè)函數(shù)，只要證對(duì)任意a，E[fg>a]={x|f(g(x))>a}可測(cè)即可,g可測(cè)f連續(xù){x|f(g(x))>a}=(fg)-1((a,+∞))

=g-1(f-1((a,+∞)))f-1((a,+∞))=第21頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)

可測(cè)函數(shù)的收斂性第三章

可測(cè)函數(shù)

第22頁,共51頁，2024年2月25日，星期天⒈函數(shù)列的幾種收斂定義

⑵一致收斂:注：近似地說一致收斂是函數(shù)列收斂慢的程度能有個(gè)控制

近似地說一致連續(xù)是函數(shù)圖象陡的程度能有個(gè)控制fn(x)=xn⑴點(diǎn)點(diǎn)收斂:記作第23頁,共51頁，2024年2月25日，星期天1-δ例：函數(shù)列fn(x)=xn,n=1,2,…

在(0,1)上處處收斂到f(x)=0,但不一致收斂，但去掉一小測(cè)度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收斂fn(x)=xn第24頁,共51頁，2024年2月25日，星期天⑶幾乎處處收斂:記作

(almosteverywhere）即：去掉某個(gè)零測(cè)度集，在留下的集合上處處收斂

即：去掉某個(gè)?。ㄈ我庑。y(cè)度集，在留下的集合上一致收斂

⑷幾乎一致收斂:記作

(almostuniformly)第25頁,共51頁，2024年2月25日，星期天⑸依測(cè)度收斂:記作注：從定義可看出，幾乎處處收斂強(qiáng)調(diào)的是在點(diǎn)上函數(shù)值的收斂（除一零測(cè)度集外）依測(cè)度收斂并不

指出函數(shù)列在哪個(gè)點(diǎn)上的收斂，其要點(diǎn)在于誤差超過σ的點(diǎn)所成的集的測(cè)度應(yīng)隨n趨于無窮而趨于零，而不論點(diǎn)集的位置狀態(tài)如何第26頁,共51頁，2024年2月25日，星期天不依測(cè)度收斂依測(cè)度收斂第27頁,共51頁，2024年2月25日，星期天⒉幾種收斂的區(qū)別

說明：當(dāng)n越大，取1的點(diǎn)越多，故{fn(x)}在R+上處處收斂于1

（1）處處收斂但不依測(cè)度收斂n

在R+上處處收斂于

f(x)=1,所以{fn(x)}在R+上不依測(cè)度收斂于1，另外{fn}不幾乎一致收斂于1第28頁,共51頁，2024年2月25日，星期天fn不幾乎一致收斂于f幾乎一致收斂:記作

(almostuniformly)即：去掉某個(gè)?。ㄈ我庑。y(cè)度集，在留下的集合上一致收斂

即：去掉

測(cè)度集，在留下的集合上仍不一致收斂

任意

（

）適當(dāng)小小第29頁,共51頁，2024年2月25日，星期天fn不幾乎一致收斂于f即：去掉任意?。ㄟm當(dāng)?。y(cè)度集，在留下的集合上仍不一致收斂

不幾乎一致收斂于f(x)=1n第30頁,共51頁，2024年2月25日，星期天（2）依測(cè)度收斂但處處不收斂01f1f601/4?3/4101/4?3/4101/4?3/4101/4?3/41f7f5f40?1f30?1f201/81/4?1f8第31頁,共51頁，2024年2月25日，星期天依測(cè)度收斂但處處不收斂⑵

取E=(0,1],n=2k+i,0≤i<2k,k=0,1,2,3,…

說明：對(duì)任何x∈(0,1],{fn(x)}有兩個(gè)子列，一個(gè)恒為1，一個(gè)恒為0，所以{fn(x)}在(0,1]上處處不收斂；第32頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例：函數(shù)列fn(x)=xn在(0,1)上處處收斂到f(x)=0,但不一致收斂，但去掉一小測(cè)度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收斂收斂的聯(lián)系（葉果洛夫定理的引入）1-δfn(x)=xn第33頁,共51頁，2024年2月25日，星期天⒊三種收斂的聯(lián)系

即：去掉某個(gè)?。ㄈ我庑。y(cè)度集，在留下的集合上一致收斂

⑴幾乎處處收斂與幾乎一致收斂（葉果洛夫定理）

設(shè)mE<+∞，fn

，f在E上幾乎處處有限且可測(cè)，

（即：可測(cè)函數(shù)列的收斂“基本上”是一致收斂）即：去掉某個(gè)零測(cè)度集，在留下的集合上處處收斂

第34頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第35頁,共51頁，2024年2月25日，星期天引理：設(shè)mE<+∞，fn

，f在E上幾乎處處有限且可測(cè)，證明：由于

為零測(cè)度集，故不妨令

fn

，f在E上處處有限，從而有：關(guān)于N單調(diào)減小第36頁,共51頁，2024年2月25日，星期天幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂（Lebesgue定理）設(shè)mE<+∞，fn

，f在E上幾乎處處有限且可測(cè)，第37頁,共51頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)

可測(cè)函數(shù)結(jié)構(gòu)

Lusin定理

第三章

可測(cè)函數(shù)

第38頁,共51頁，2024年2月25日，星期天可測(cè)函數(shù)簡單函數(shù)是可測(cè)函數(shù)

可測(cè)函數(shù)總可表示成一列簡單函數(shù)的極限（當(dāng)可測(cè)函數(shù)有界時(shí)，可作到一致收斂）問：可測(cè)函數(shù)是否可表示成一列連續(xù)函數(shù)的極限？可測(cè)集E上的連續(xù)函數(shù)定為可測(cè)函數(shù)

第39頁,共51頁，2024年2月25日，星期天魯津定理實(shí)變函數(shù)的三條原理（J.E.Littlewood）（1）任一可測(cè)集差不多就是開集（至多可數(shù)個(gè)開區(qū)間的并）設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則

使得

m(E-F)<ε且f(x)在F上連續(xù)。

（去掉一小測(cè)度集，在留下的集合上成為連續(xù)函數(shù)）即：可測(cè)函數(shù)“基本上”是連續(xù)函數(shù)（3）任一點(diǎn)點(diǎn)收斂的可測(cè)函數(shù)列集差不多就是一致收斂列（2）任一可測(cè)函數(shù)差不多就是連續(xù)函數(shù)第40頁,共51頁，2024年2月25日，星期天魯津定理的證明證明：由于mE[|f|=+∞]=0，故不妨令f(x)為有限函數(shù)(1)當(dāng)f(x)為簡單函數(shù)時(shí)，

當(dāng)x∈Ei時(shí)，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上連續(xù)，而Fi為兩兩不交閉集，故f(x)在

上連續(xù)顯然F為閉集，且有第41頁,共51頁，2024年2月25日，星期天對(duì)f(x)在F連續(xù)的說明

若f(x)在Fi上連續(xù)，而

Fi為兩兩不交閉集，則f(x)在

上連續(xù)故對(duì)任意x`∈O(x,δ)∩F，有|f(x`)-f(x)|=0，故f連續(xù)

Fi0()x證明：任取則存在

i0，使得x∈Fi0，f(x)=ci0，又Fi為兩兩不交閉集，從而x在開集

中所以存在δ>0,使得第42頁,共51頁，2024年2月25日，星期天對(duì)f(x)在F連續(xù)的說明說明：取閉集的原因在于閉集的余集為開集，開集中的點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)，從而可取x∈Fi足夠小的鄰域不含其他Fi

中的點(diǎn)函數(shù)在每一塊上為常值，故在每一塊上都連續(xù)，但函數(shù)在R上處處不連續(xù)

條件Fi為兩兩不交閉集必不可少，如：第43頁,共51頁，2024年2月25日，星期天魯津定理的證明(2)當(dāng)f(x)為有界可測(cè)函數(shù)時(shí)，存在簡單函數(shù)列{φn(x)}在E上一致收斂于f(x)，由{φn(x)}在F連續(xù)及一致收斂于f(x)

，易知f(x)在閉集F上連續(xù)。利用(1)的結(jié)果知第44頁,共51頁，2024年2月25日，星期天魯津定理的證明則g(x)為有界可測(cè)函數(shù)，應(yīng)用(2)即得我們的結(jié)果（連續(xù)函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉）(3)當(dāng)f(x)為一般可測(cè)函數(shù)時(shí)，作變換第45頁,共51頁，2024年2月25日，星期天注：(1)魯津定理推論魯津定理（限制定義域）（即：去掉某個(gè)小測(cè)度集，在留下的集合上連續(xù)）（在某個(gè)小測(cè)度集上改變?nèi)≈挡⒀a(bǔ)充定義變成連續(xù)函數(shù)）若f(x)為

上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<ε（對(duì)n維空間也成立）則

及R上的連續(xù)函數(shù)g(x)第46頁,共51頁，2024年2月25日，星期天開集的余集是閉集閉集的余集是開集aibi直線上的開集構(gòu)造

直線上的任一非空開集都可唯一地表示成有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間的并魯津定理推論證明的說明

魯津定理：設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則

使得