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文檔簡介
2024屆湖南省郴州市蘇仙區(qū)湘南中學高考仿真卷數學試題注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數的部分圖象如圖所示,則的單調遞增區(qū)間為()A. B.C. D.2.已知函數與的圖象有一個橫坐標為的交點,若函數的圖象的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗?,得到的函數在有且僅有5個零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.3.若干年前,某教師剛退休的月退休金為6000元,月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強了體育鍛煉,目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費比剛退休時少100元,則目前該教師的月退休金為().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元4.已知等差數列滿足,公差,且成等比數列,則A.1 B.2 C.3 D.45.已知為實數集,,,則()A. B. C. D.6.若函數在時取得極值,則()A. B. C. D.7.已知,,則的大小關系為()A. B. C. D.8.已知實數,,函數在上單調遞增,則實數的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知集合A={x|y=lg(4﹣x2)},B={y|y=3x,x>0}時,A∩B=()A.{x|x>﹣2}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.?10.若復數滿足(是虛數單位),則()A. B. C. D.11.若的展開式中二項式系數和為256,則二項式展開式中有理項系數之和為()A.85 B.84 C.57 D.5612.設一個正三棱柱,每條棱長都相等,一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā),每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點,算一次爬行,若它選擇三個方向爬行的概率相等,若螞蟻爬行10次,仍然在上底面的概率為,則為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月共織九匹三丈.”其白話意譯為:“現有一善織布的女子,從第2天開始,每天比前一天多織相同數量的布,第一天織了5尺布,現在一個月(按30天計算)共織布390尺.”則每天增加的數量為____尺,設該女子一個月中第n天所織布的尺數為,則______.14.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積是______.15.集合,,則_____.16.正方形的邊長為2,圓內切于正方形,為圓的一條動直徑,點為正方形邊界上任一點,則的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱柱中,側面是菱形,其對角線的交點為,且.(1)求證:平面;(2)設,若直線與平面所成的角為,求二面角的正弦值.18.(12分)在孟德爾遺傳理論中,稱遺傳性狀依賴的特定攜帶者為遺傳因子,遺傳因子總是成對出現例如,豌豆攜帶這樣一對遺傳因子:使之開紅花,使之開白花,兩個因子的相互組合可以構成三種不同的遺傳性狀:為開紅花,和一樣不加區(qū)分為開粉色花,為開白色花.生物在繁衍后代的過程中,后代的每一對遺傳因子都包含一個父系的遺傳因子和一個母系的遺傳因子,而因為生殖細胞是由分裂過程產生的,每一個上一代的遺傳因子以的概率傳給下一代,而且各代的遺傳過程都是相互獨立的.可以把第代的遺傳設想為第次實驗的結果,每一次實驗就如同拋一枚均勻的硬幣,比如對具有性狀的父系來說,如果拋出正面就選擇因子,如果拋出反面就選擇因子,概率都是,對母系也一樣.父系?母系各自隨機選擇得到的遺傳因子再配對形成子代的遺傳性狀.假設三種遺傳性狀,(或),在父系和母系中以同樣的比例:出現,則在隨機雜交實驗中,遺傳因子被選中的概率是,遺傳因子被選中的概率是.稱,分別為父系和母系中遺傳因子和的頻率,實際上是父系和母系中兩個遺傳因子的個數之比.基于以上常識回答以下問題:(1)如果植物的上一代父系?母系的遺傳性狀都是,后代遺傳性狀為,(或),的概率各是多少?(2)對某一植物,經過實驗觀察發(fā)現遺傳性狀具有重大缺陷,可人工剔除,從而使得父系和母系中僅有遺傳性狀為和(或)的個體,在進行第一代雜交實驗時,假設遺傳因子被選中的概率為,被選中的概率為,.求雜交所得子代的三種遺傳性狀,(或),所占的比例.(3)繼續(xù)對(2)中的植物進行雜交實驗,每次雜交前都需要剔除性狀為的個體假設得到的第代總體中3種遺傳性狀,(或),所占比例分別為.設第代遺傳因子和的頻率分別為和,已知有以下公式.證明是等差數列.(4)求的通項公式,如果這種剔除某種遺傳性狀的隨機雜交實驗長期進行下去,會有什么現象發(fā)生?19.(12分)如圖1,在等腰中,,,分別為,的中點,為的中點,在線段上,且。將沿折起,使點到的位置(如圖2所示),且。(1)證明:平面;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值20.(12分)心形線是由一個圓上的一個定點,當該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時,這個定點的軌跡,因其形狀像心形而得名,在極坐標系中,方程()表示的曲線就是一條心形線,如圖,以極軸所在的直線為軸,極點為坐標原點的直角坐標系中.已知曲線的參數方程為(為參數).(1)求曲線的極坐標方程;(2)若曲線與相交于、、三點,求線段的長.21.(12分)在數列中,已知,且,.(1)求數列的通項公式;(2)設,數列的前項和為,證明:.22.(10分)已知數列{an}滿足條件,且an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,n∈N*.(Ⅰ)求數列{an}的通項公式;(Ⅱ)設bn=,Sn為數列{bn}的前n項和,求證:Sn.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
由圖象可以求出周期,得到,根據圖象過點可求,根據正弦型函數的性質求出單調增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知,所以,,又圖象過點,所以,故可取,所以令,解得所以函數的單調遞增區(qū)間為故選:.【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象與性質,利用“五點法”求函數解析式,屬于中檔題.2、A【解析】
根據題意,,求出,所以,根據三角函數圖像平移伸縮,即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標為的交點,則,,,,,若函數圖象的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?,則,所以當時,,在有且僅有5個零點,,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數圖象的性質、三角函數的平移伸縮以及零點個數問題,考查轉化思想和計算能力.3、D【解析】
設目前該教師的退休金為x元,利用條形圖和折線圖列出方程,求出結果即可.【詳解】設目前該教師的退休金為x元,則由題意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故選D.【點睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎知識解決實際問題,屬于基礎題.4、D【解析】
先用公差表示出,結合等比數列求出.【詳解】,因為成等比數列,所以,解得.【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式.屬于簡單題,化歸基本量,尋求等量關系是求解的關鍵.5、C【解析】
求出集合,,,由此能求出.【詳解】為實數集,,,或,.故選:.【點睛】本題考查交集、補集的求法,考查交集、補集的性質等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.6、D【解析】
對函數求導,根據函數在時取得極值,得到,即可求出結果.【詳解】因為,所以,又函數在時取得極值,所以,解得.故選D【點睛】本題主要考查導數的應用,根據函數的極值求參數的問題,屬于??碱}型.7、D【解析】
由指數函數的圖像與性質易得最小,利用作差法,結合對數換底公式及基本不等式的性質即可比較和的大小關系,進而得解.【詳解】根據指數函數的圖像與性質可知,由對數函數的圖像與性質可知,,所以最??;而由對數換底公式化簡可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,綜上可知,故選:D.【點睛】本題考查了指數式與對數式的化簡變形,對數換底公式及基本不等式的簡單應用,作差法比較大小,屬于中檔題.8、D【解析】
根據題意,對于函數分2段分析:當,由指數函數的性質分析可得①,當,由導數與函數單調性的關系可得,在上恒成立,變形可得②,再結合函數的單調性,分析可得③,聯立三個式子,分析可得答案.【詳解】解:根據題意,函數在上單調遞增,
當,若為增函數,則①,
當,若為增函數,必有在上恒成立,
變形可得:,
又由,可得在上單調遞減,則,
若在上恒成立,則有②,
若函數在上單調遞增,左邊一段函數的最大值不能大于右邊一段函數的最小值,則需有,③
聯立①②③可得:.
故選:D.【點睛】本題考查函數單調性的性質以及應用,注意分段函數單調性的性質.9、B【解析】試題分析:由集合A中的函數y=lg(4-x2),得到4-x2>0,解得:-2<x<2,∴集合A={x|-2<x<2},由集合B中的函數考點:交集及其運算.10、B【解析】
利用復數乘法運算化簡,由此求得.【詳解】依題意,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查復數的乘法運算,考查復數模的計算,屬于基礎題.11、A【解析】
先求,再確定展開式中的有理項,最后求系數之和.【詳解】解:的展開式中二項式系數和為256故,要求展開式中的有理項,則則二項式展開式中有理項系數之和為:故選:A【點睛】考查二項式的二項式系數及展開式中有理項系數的確定,基礎題.12、D【解析】
由題意,設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,可得,根據求數列的通項知識可得選項.【詳解】由題意,設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,∴,即,∴,∴數列是以為公比的等比數列,而,所以,∴當時,,故選:D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問題,關鍵在于運用遞推的知識,得出相鄰的項的關系,這是常用的方法,屬于難度題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、52【解析】
設從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數列前項和公式求出,由此利用等差數列通項公式能求出.【詳解】設從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,
則,
解得,即每天增加的數量為,
,故答案為,52.【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式、等差數列的求和公式,意在考查利用所學知識解決問題的能力,屬于中檔題.14、【解析】
先由三視圖在長方體中將其還原成直觀圖,再利用球的直徑是長方體體對角線即可解決.【詳解】由三視圖知該幾何體是一個三棱錐,如圖所示長方體對角線長為,所以三棱錐外接球半徑為,故所求外接球的表面積.故答案為:.【點睛】本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積,考查學生空間想象能力以及基本計算能力,是一道基礎題.15、【解析】
分析出集合A為奇數構成的集合,即可求得交集.【詳解】因為表示為奇數,故.故答案為:【點睛】此題考查求集合的交集,根據已知集合求解,屬于簡單題.16、【解析】
根據向量關系表示,只需求出的取值范圍即可得解.【詳解】由題可得:,故答案為:【點睛】此題考查求平面向量數量積的取值范圍,涉及基本運算,關鍵在于恰當地對向量進行轉換,便于計算解題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】
(1)根據菱形的特征和題中條件得到平面,結合線面垂直的定義和判定定理即可證明;
2建立空間直角坐標系,利用向量知識求解即可.【詳解】(1)證明:∵四邊形是菱形,,平面平面,又是的中點,,又平面(2)∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角.平面,∴直線與平面所成的角為,即.因為,則在等腰直角三角形中,所以.在中,由得,以為原點,分別以為軸建立空間直角坐標系.則所以設平面的一個法向量為,則,可得,取平面的一個法向量為,則,所以二面角的正弦值的大小為.(注:問題(2)可以轉化為求二面角的正弦值,求出后,在中,過點作的垂線,垂足為,連接,則就是所求二面角平面角的補角,先求出,再求出,最后在中求出.)【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定以及二面角的求解,屬于中檔題.18、(1),(或),的概率分別是,,.(2)(3)答案見解析(4)答案見解析【解析】
(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.(2)利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.(3)由(2)知,求出、,利用等差數列的定義即可證出.(4)利用等差數列的通項公式可得,從而可得,再由,利用式子的特征可得越來越小,進而得出結論.【詳解】(1)即與是父親和母親的性狀,每個因子被選擇的概率都是,故出現的概率是,或出現的概率是,出現的概率是所以:,(或),的概率分別是,,(2)(3)由(2)知于是∴是等差數列,公差為1(4)其中,(由(2)的結論得)所以于是,很明顯,越大,越小,所以這種實驗長期進行下去,越來越小,而是子代中所占的比例,也即性狀會漸漸消失.【點睛】本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式、等差數列的定義、等差數列的通項公式,考查了學生的分析能力,屬于中檔題,19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)要證明線面平行,需證明線線平行,取的中點,連接,根據條件證明,即;(2)以為原點,所在直線為軸,過作平行于的直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系,求兩個平面的法向量,利用法向量求二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:取的中點,連接.∵,∴為的中點.又為的中點,∴.依題意可知,則四邊形為平行四邊形,∴,從而.又平面,平面,∴平面.(2),且,平面,平面,,,且,平面,以為原點,所在直線為軸,過作平行于的直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系,不妨設,則,,,,,,,,.設平面的法向量為,則,即,令,得.設平面的法向量為,則,即,令,得.從而,故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明和空間坐標法解決二面角的問題,意在考查空間想象能力,推理
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