最近五屆全國(guó)大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題及答案(非數(shù)學(xué)類)

目錄第一屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷1第二屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷7第三屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷11第四屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷18第五屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷23〔參加高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)，適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書及相關(guān)題目，主要是一些各大高校的試題?！?009年第一屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷一、填空題〔每題5分，共20分〕1．計(jì)算____________，其中區(qū)域由直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.解:令，那么，，〔*〕令，那么，，，2．設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且滿足,那么____________.解:令，那么，,解得。因此。3．曲面平行平面的切平面方程是__________.解:因平面的法向量為，而曲面在處的法向量為，故與平行，因此，由，知，即，又，于是曲面在處的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是。4．設(shè)函數(shù)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，那么________________.解:方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)，得因，故，即，因此二、〔5分〕求極限，其中是給定的正整數(shù).解:因故因此三、〔15分〕設(shè)函數(shù)連續(xù)，，且，為常數(shù)，求并討論在處的連續(xù)性.解:由和函數(shù)連續(xù)知，因，故，因此，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，這說(shuō)明在處連續(xù).四、〔15分〕平面區(qū)域，為的正向邊界，試證：〔1〕；〔2〕.證:因被積函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)在上連續(xù)，故由格林公式知〔1〕而關(guān)于和是對(duì)稱的，即知因此〔2〕因故由知即五、〔10分〕，，是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解，試求此微分方程.解設(shè)，，是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解，那么和都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解，因此的特征多項(xiàng)式是，而的特征多項(xiàng)式是因此二階常系數(shù)線性齊次微分方程為，由和，知，二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為六、〔10分〕設(shè)拋物線過(guò)原點(diǎn).當(dāng)時(shí),,又該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.解因拋物線過(guò)原點(diǎn)，故，于是即而此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積即令，得即因此,,.七、〔15分〕滿足,且,求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和.解，即由一階線性非齊次微分方程公式知即因此由知，，于是下面求級(jí)數(shù)的和：令那么即由一階線性非齊次微分方程公式知令，得，因此級(jí)數(shù)的和八、〔10分〕求時(shí),與等價(jià)的無(wú)窮大量.解令，那么因當(dāng)，時(shí)，，故在上嚴(yán)格單調(diào)減。因此即，又，，所以，當(dāng)時(shí),與等價(jià)的無(wú)窮大量是。2010年第二屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷〔參加高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)，適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書及相關(guān)題目，主要是一些各大高校的試題。〕一、〔25分，每題5分〕〔1〕設(shè)其中求〔2〕求。〔3〕設(shè)，求?！?〕設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，求?！?〕求直線與直線的距離。解：〔1〕====(2)令x=1/t,那么原式=〔3〕二、〔15分〕設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，并且且存在一點(diǎn)，使得。證明：方程在恰有兩個(gè)實(shí)根。解：二階導(dǎo)數(shù)為正，那么一階導(dǎo)數(shù)單增，f(x)先減后增，因?yàn)閒(x)有小于0的值，所以只需在兩邊找兩大于0的值。將f(x)二階泰勒展開(kāi)：因?yàn)槎A倒數(shù)大于0，所以，證明完成。三、〔15分〕設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，曲線與在出相切，求函數(shù)。解：〔這兒少了一個(gè)條件〕由與在出相切得，=。。。上式可以得到一個(gè)微分方程，求解即可。四、〔15分〕設(shè)證明：〔1〕當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；〔2〕當(dāng)且時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。解：〔1〕>0,單調(diào)遞增當(dāng)收斂時(shí)，，而收斂，所以收斂；當(dāng)發(fā)散時(shí)，所以，而，收斂于k。所以，收斂?！?〕所以發(fā)散，所以存在，使得于是，依此類推，可得存在使得成立，所以當(dāng)時(shí)，，所以發(fā)散五、〔15分〕設(shè)是過(guò)原點(diǎn)、方向?yàn)?，〔其中的直線，均勻橢球，其中〔密度為1〕繞旋轉(zhuǎn)?！?〕求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；〔2〕求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)于方向的最大值和最小值。解：〔1〕橢球上一點(diǎn)P(x,y,z)到直線的距離由輪換對(duì)稱性，〔2〕當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，六、(15分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意光滑的簡(jiǎn)單閉曲線上，曲線積分的值為常數(shù)。〔1〕設(shè)為正向閉曲線證明〔2〕求函數(shù)；〔3〕設(shè)是圍繞原點(diǎn)的光滑簡(jiǎn)單正向閉曲線，求。解：L不繞原點(diǎn)，在L上取兩點(diǎn)A，B，將L分為兩段，，再?gòu)腁，B作一曲線，使之包圍原點(diǎn)。那么有令由〔1〕知，代入可得上式將兩邊看做y的多項(xiàng)式，整理得由此可得解得：取為，方向?yàn)轫槙r(shí)針2011年第三屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷〔參加高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)，適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書及相關(guān)題目，主要是一些各大高校的試題。〕計(jì)算以下各題〔此題共3小題，每題各5分，共15分〕〔1〕.求；解：〔用兩個(gè)重要極限〕：〔2〕.求；解：(用歐拉公式〕令其中，表示時(shí)的無(wú)窮小量，〔3〕，求。解：二．〔此題10分〕求方程的通解。解：設(shè)，那么是一個(gè)全微分方程，設(shè)該曲線積分與路徑無(wú)關(guān)三．〔此題15分〕設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且均不為0，證明：存在唯一一組實(shí)數(shù)，使得。證明：由極限的存在性：即，又，①由洛比達(dá)法那么得由極限的存在性得即，又，②再次使用洛比達(dá)法那么得③由①②③得是齊次線性方程組的解設(shè)，那么，增廣矩陣，那么所以，方程有唯一解，即存在唯一一組實(shí)數(shù)滿足題意，且。四．〔此題17分〕設(shè)，其中，，為與的交線，求橢球面在上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的最大值和最小值。解：設(shè)上任一點(diǎn)，令，那么橢球面在上點(diǎn)M處的法向量為：在點(diǎn)M處的切平面為：原點(diǎn)到平面的距離為，令那么，現(xiàn)在求在條件，下的條件極值，令那么由拉格朗日乘數(shù)法得：，解得或，對(duì)應(yīng)此時(shí)的或此時(shí)的或又因?yàn)?，那么所以，橢球面在上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的最大值和最小值分別為：，五．〔此題16分〕S是空間曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半局部〔〕取上側(cè)，是S在點(diǎn)處的切平面，是原點(diǎn)到切平面的距離，表示S的正法向的方向余弦。計(jì)算：〔1〕；〔2〕解：〔1〕由題意得：橢球面S的方程為令那么，切平面的法向量為，的方程為，原點(diǎn)到切平面的距離將一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分得：記(2)方法一：六．〔此題12分〕設(shè)f(x)是在內(nèi)的可微函數(shù)，且，其中，任取實(shí)數(shù)，定義證明：絕對(duì)收斂。證明：由拉格朗日中值定理得：介于之間，使得，又得級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)收斂，即絕對(duì)收斂。七．〔此題15分〕是否存在區(qū)間上的連續(xù)可微函數(shù)f(x)，滿足，？請(qǐng)說(shuō)明理由。解：假設(shè)存在，當(dāng)時(shí)，由拉格朗日中值定理得：介于0，x之間，使得，同理，當(dāng)時(shí)，由拉格朗日中值定理得：介于x，2之間，使得即，顯然，，又由題意得即，不存在，又因?yàn)閒(x)是在區(qū)間上的連續(xù)可微函數(shù)，即存在，矛盾，故，原假設(shè)不成立，所以，不存在滿足題意的函數(shù)f(x)。第四屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷一、〔本大題共5小題，每題6分共30分〕解答以下個(gè)體〔要求寫出要求寫出重要步驟〕(1)求極限(2)求通過(guò)直線的兩個(gè)互相垂直的平面和，使其中一個(gè)平面過(guò)點(diǎn)。(3)函數(shù)，且。確定常數(shù)和，使函數(shù)滿足方程(4)設(shè)函數(shù)連續(xù)可微，，且在右半平面與路徑無(wú)關(guān)，求。(5)求極限解(1)因?yàn)?分而，且3分所以即，故2分(2)過(guò)直線的平面束為即2分假設(shè)平面過(guò)點(diǎn)，代入的，即，從而平面的方程為2分假設(shè)平面束中與垂直，那么解得，從而平面的方程為2分(3)，2分2分要使，只有，即2分(4)由得即2分方程的通解為3分由得，故1分(5)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，3分2分1分二、〔此題10分〕計(jì)算解：由于3分應(yīng)用分部積分法，得2分所以2分當(dāng)時(shí)，，令，由兩邊夾法那么，得3分注：如果最后不用夾逼法那么，而用需先說(shuō)明收斂。三、求方程的近似解，精確到0.001.解：由泰勒公式2分令得，代入原方程得，即4分由此知，，4分四、〔此題12分〕設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且，，，求，其中是曲線上點(diǎn)處的切線在軸上的截距。解：曲線上點(diǎn)處的切線方程為令，那么有，由此得3分且有2分由在的二階泰勒公式2分得3分所以2分五、〔此題12分〕求最小實(shí)數(shù)，使得滿足的連續(xù)函數(shù)都有解：由于4分另一方面取，那么3分而3分因此最小實(shí)數(shù)2分六、〔此題12分〕設(shè)為連續(xù)函數(shù)，。區(qū)域是由拋物面和球面所圍起來(lái)的局部。定義三重積分求的導(dǎo)數(shù)解法1：記，2分那么在面上的投影為在曲線上任取一點(diǎn)，那么原點(diǎn)到點(diǎn)的射線和軸的夾角為取，那么對(duì)于固定的，考察積分差，這是一個(gè)在厚度為的球殼的積分，原點(diǎn)到球殼邊緣上的點(diǎn)的射線和軸夾角在與之間。我們使用球坐標(biāo)變換來(lái)做這個(gè)積分。由積分的連續(xù)性可知，存在，使得4分這樣就有當(dāng)時(shí)，故的右導(dǎo)數(shù)為4分當(dāng)時(shí)，考察可以得到同樣的左導(dǎo)數(shù)，因此2分解法2：令,那么,其中，2分故有2分從而有4分注意到，第一個(gè)積分為0，我們得到4分七、〔此題14分〕設(shè)與為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，證明：〔1〕假設(shè)，那么級(jí)數(shù)收斂；〔2〕假設(shè)，且級(jí)數(shù)發(fā)散，那么級(jí)數(shù)發(fā)散。證明：〔1〕，那么存在正整數(shù)，對(duì)于任意的時(shí)，，，4分因而級(jí)數(shù)的局部和有上界，從而級(jí)數(shù)收斂；4分〔2〕，那么存在正整數(shù)，對(duì)于任意的時(shí)，3分有于是由級(jí)數(shù)發(fā)散，得到級(jí)數(shù)發(fā)散。3分第五屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷解答以下各題〔每題6分共24分，要求寫出重要步驟〕1.求極限.解因?yàn)椤?分〕；原式…………………………(2分)；………(2分)2.證明廣義積分不是絕對(duì)收斂的解記，只要證明發(fā)散即可?！?分〕因?yàn)椤！?分〕而發(fā)散，故由比擬判別法發(fā)散。……〔2分〕3.設(shè)函數(shù)由確定，求的極值。解方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得…〔1分〕故，令，得或………〔2分〕將代入所給方程得，將代入所給方程得，………〔2分〕又，故為極大值，為極小值。………………〔3分〕4.過(guò)曲線上的點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及軸所圍成的平面圖形的面積為，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。解設(shè)切點(diǎn)A的坐標(biāo)為，曲線過(guò)A點(diǎn)的切線方程為………………………〔2分〕；令，由切線方程得切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。從而作圖可知，所求平面圖形的面積，故A點(diǎn)的坐標(biāo)為?！?分〕二、〔總分值12〕計(jì)算定積分解…………………〔4分〕……〔2分〕…………………〔4分〕…………〔2分〕三、〔總分值12分〕設(shè)在處存在二階導(dǎo)數(shù)，且。證明：級(jí)數(shù)收斂。解由于在處可導(dǎo)必連續(xù)，由得………………〔2分〕…………〔2分〕由洛必塔法那么及定義………〔3分〕所以…………………〔2分〕由于級(jí)數(shù)收斂，從而由比擬判別法的極限形式收斂?！?分〕四、〔總分值12分〕設(shè)，證明解因?yàn)?，所以在上?yán)格單調(diào)增，從而有反函數(shù)………………………〔2分〕。設(shè)是的反函數(shù)，那么………〔3分〕又，那么，所以…〔3分〕……〔2分〕五、〔總分值14分〕設(shè)是一個(gè)光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型的曲面積分。試確定曲面，使積分I的值最小，并求該最小值。解記圍成的立體為V，由高斯公式………………〔3分〕為了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空間區(qū)域，即取，曲面………〔3分〕為求最小值，作變換，那么，從而…………〔4分〕使用球坐標(biāo)計(jì)算，得…………〔4分〕六、〔總分值14分〕設(shè)，其中為常數(shù)，曲線C為橢圓，取正向。求極限解作變換〔觀察發(fā)現(xiàn)或用線性代數(shù)里正交變換化二次型的方法〕，曲線C變?yōu)槠矫嫔系臋E圓〔