拋物線上有關角度問題的探究（原卷版）

專題五：拋物線上與角度有關問題的探究方法點睛解決角度有關問題的一般步驟：讀題，畫圖，理解題意.分析動點、定點，找不變特征，如角有兩邊，其中一邊是確定的.確定分類特征，進行分類討論.把角放在直角三角形中，構造相似三角形或全等三角形，根據三角函數、相似或全等的知識解決.典例分析例：（2021隨州中考改編）（12分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，頂點D的坐標為（1，﹣4）．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P在拋物線上且滿足∠PCB＝∠CBD，求點P的坐標；專題過關1、（2021岳陽中考）（10分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2經過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接BC．（1）求該拋物線的函數表達式；（2）如圖2，直線l：y＝kx+3經過點A，點P為直線l上的一個動點，且位于x軸的上方，點Q為拋物線上的一個動點，當PQ∥y軸時，作QM⊥PQ，交拋物線于點M（點M在點Q的右側），以PQ，QM為鄰邊構造矩形PQMN，求該矩形周長的最小值；（3）如圖3，設拋物線的頂點為D，在（2）的條件下，當矩形PQMN的周長取最小值時，拋物線上是否存在點F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．2、（2021盤錦中考改編）（本題14分）如圖，拋物線與軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與軸交于點C，直線與軸交于點D，與軸交于點E，與直線BC交于點F。（1）點F的坐標是________；（2）如圖2，點S為第一象限拋物線上的一點，且點S在射線DE上方，動點G從點E出發(fā)，沿射線DE方向以每秒個單位長度的速度運動，當SE=SG，且時，求點G的運動時間。3、（2021連云港中考改編）（12分）如圖，拋物線y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C（3，0）．（1）求m的值和直線BC對應的函數表達式；（2）Q為拋物線上一點，若∠ACQ＝45°，求點Q的坐標．4、（2021棗莊中考改編）（12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝x2+bx+c經過坐標原點和點A，頂點為點M．（1）求拋物線的關系式及點M的坐標；（2）將直線AB向下平移，得到過點M的直線y＝mx+n，且與x軸負半軸交于點C，取點D（2，0），連接DM，求證：∠ADM﹣∠ACM＝45°．5、（2021眉山中考改編）（12分）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經過點A（﹣2，0）和點B（4，0）．（1）求這條拋物線所對應的函數表達式；（2）點M從點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿y軸移動，運動時間為t秒，當∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA時，求t的值．6、（2021衡陽中考）（12分）在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“雁點”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁點”．（1）求函數y＝圖象上的“雁點”坐標；（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“雁點”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點（點M在點N的左側）．當a＞1時．①求c的取值范圍；②求∠EMN的度數；7、（2021綏化中考）如圖，已知拋物線與軸交于點，點，（點在點的左邊），與軸交于點，點為拋物線的頂點，連接．直線經過點，且與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式；（2）點為線段上的一點，點為線段上的一點，連接，并延長與線段交于點（點在第一象限）．當且時，求出點的坐標．8、（2021宿遷中考改編）如圖，拋物線與軸交于A(-1，0)，B(4，0)，與軸交于點C．連接AC，BC，點P在拋物線上運動．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖①，若點P在第四象限，點Q在PA的延長線上，當∠CAQ=∠CBA45°時，求點P的坐標；

9、（2021濟南中考）拋物線過點，點，頂點為．（1）求拋物線的表達式及點的坐標；（2）如圖1，點在拋物線上，連接并延長交軸于點，連接，若是以為底的等腰三角形，求點的坐標；（3）如圖2，在（2）條件下，點是線段上（與點，不重合）的動點，連接，作，邊交軸于點，設點的橫坐標為，求的取值范圍．10、（2021德陽中考改編）如圖，已知：拋物線y＝x2+bx+c與直線l交于點A（﹣1，0），C（2，﹣3），與x軸另一交點為B．（1）求拋物線的解析式；（2）M是拋物線上一動點，過點M作x軸的垂線，垂足為N，連接BM．在（2）的條件下，是否存在點M，使∠MBN＝∠APC？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．11、（2021成都中考改編）（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝a（x﹣h）2+k與x軸相交于O，A兩點，頂點P的坐標為（2，﹣1）．點B為拋物線上一動點，連接AP，AB，過點B的直線與拋物線交于另一點C．（1）求拋物線的函數表達式；（2）若點B的橫坐標與縱坐標相等，∠ABC＝∠OAP，且點C位于x軸上方，求點C的坐標；12、（2021泰安中考改編）（13分）二次函數y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經過點A（﹣4，0），B（1，0），與y軸交于點C，點P為第二象限內拋物線上一點，連接BP、AC，交于點Q，過點P作PD⊥x軸于點D．（1）求二次函數的表達式；（2）連接BC，當∠DPB＝2∠BCO時，求直線BP的表達式；13、（2021西寧中考改編）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C的坐標為，拋物線經過A，B，C三點．（1）求拋物線的解析式；（2）直線AD與y軸負半軸交于點D，且，求證：；14、（2021大連中考改編）（12分）已知函數y=-12（1）當m＝2時，①已知M（4，n）在該函數圖象上，求n的值；②當0≤x≤2時，求函數G的最大值．（2）當m＞0時，作直線x=12m與x軸交于點P，與函數G交于點Q，若∠POQ＝45°時，求15、（2021朝陽中考改編）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線的解析式及對稱軸；（2）如圖1，點D與點C關于對稱軸對稱，點P在對稱軸上，若∠BPD＝90°，求點P的坐標；16、（2021常州中考改編）如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數和二次函數的圖像都經過點和點B，過點A作的垂線交x軸于點C．D是線段上一點（點D與點A、O、B不重合），E是射線上一點，且，連接，過點D作x軸的垂線交拋物線于點F，以、為鄰邊作．

（1）填空：________，________；（2）設點D的橫坐標是，連接．若，求t的值；17、（2021株洲中考）（13分）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判別式的值；（2）如圖所示，該二次函數的圖象與x軸交于點A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，與y軸的負半軸交于點C，點D在線段OC上，連接AC、BD，滿足∠ACO＝∠ABD，﹣+c＝x1．①求證：△AOC≌△DOB；②連接BC，過點D作DE⊥BC于點E，點F（0，x1﹣x2）在y軸的負半軸上，連接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求的值．18、（2021十堰中考改編）已知拋物線與x軸交于點和，與y軸交于點C，頂點為P，點N在拋物線對稱軸上且位于x軸下方，連交拋物線于M，連、．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當時，求M點的橫坐標；18、（2021賀州中考）如圖，拋物線與軸交于、兩點，且，對稱軸為直線．（1）求該拋物線的函數達式；（2）直線過點且在第一象限與拋物線交于點．當時，求點的坐標；

19、（2021貴港中考）（11分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸相交于點C（0，2），對稱軸是直線x＝﹣1，連接AC．（1）求該拋物線的表達式；（2）若過點B的直線l與拋物線相交于另一點D，當∠ABD＝∠BAC時，求直線l的表達式；20、（2020玉林中考改編）已知拋物線與x軸交于點A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C．（1）直接寫出點A，B，C的坐標；（2）將拋物線經過向下平移，使得到的拋物線與x軸交于B，兩點（在B的右側），頂點D的對應點，若，求的坐標和拋物線的解析式；21、（2020龍東中考）如圖，已知二次函數的圖象經過點，，與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點，使，若存在請直接寫出點的坐標．若不存在，請說明理由．22.、（2020雞西中考）已知拋物線y=a(x－2)2+c經過點A(－2,0)和點C(0,)，與x軸交于另一點B，頂點為D．（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；（2）如圖，點E，F分別在線段AB，BD上（點E不與點A，B重合），且∠DEF=∠DAB，DE=EF，直接寫出線段BE的長．23、（2020海南中考改編）拋物線經過點和點，與軸交于點.（1）求該拋物線的函數表達式；（2）點是該拋物線上的動點，且位于軸的左側．②如圖2，該拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由．24、（2020黃石中考改編）在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為N．（1）若此拋物線過點，求拋物線的解析式；（2）已知點，且無論k取何值，拋物線都經過定點H，當時，求拋物線的解析式．25、（2020株洲中考改編）如圖所示，二次函數的圖像（記為拋物線）與y軸交于點C，與x軸分別交于點A、B，點A、B的橫坐標分別記為，，且．（1）若，，且過點，求該二次函數的表達式；（2）若，點P的坐標為，過點P作直線l垂直于y軸，且拋物線的頂點在直線l上，連接OP、AP、BP，PA的延長線與拋物線交于點D，若，求的最小值．26、（2020張家界中考改編）如圖，拋物線交x軸于兩點，交y軸于點C．直線經過點．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線上是否存在點M，使與直線的夾角等于的2倍？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．27、（2020孝感中考改編）在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，頂點為點．（1）當時，直接寫出點，，，的坐標：______，______，______，______；（2）如圖1，直線交軸于點，若，求的值和的長；28、（2020咸寧中考）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線過點B且與直線相交于另一點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是拋物線上的一動點，當時，求點P的坐標；（3）點在x軸的正半軸上，點是y軸正半軸上的一動點，且滿足．①求m與n之間的函數關系式；②當m在什么范圍時，符合條件的N點的個數有2個？29、（2020鄂爾多斯中考）如圖1，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A，B兩點，其中點A的坐標為(1，0)，與y軸交于點C（(0，﹣3)．（1）求拋物線的函數解析式；（2）點D為y軸上一點，如果直線BD與直線BC的夾角為15°，求線段CD的長度；（3）如圖2，連接AC，點P在拋物線上，且滿足∠PAB＝2∠ACO，求點P的坐標．30、（2020常州中考改編）如圖，二次函數的圖像與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點B，拋物線過點，且頂點為D，連接、、、．（1）填空：________；（2）點P是拋物線上一點，點P的橫坐標大于1，直線交直線于點Q．若，求點P的坐標；31、（2020泰安中考改編）若一次函數的圖象與軸，軸分別交于A，C兩點，點B的坐標為，二次函數的圖象過A，B，C三點，如圖（1）．（1）求二次函數的表達式；（2）如圖（1），過點C作軸交拋物線于點D，點E在拋物線上（軸左側），若恰好平分．求直線的表達式；32、（2020山西中考改編）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點．直線與拋物線交于，兩點，與軸交于點，點的坐標為．（1）請直接寫出，兩點的坐標及直線的函數表達式；（2）若點是軸上的點，且，求點的坐標．33、（2020阿壩中考改編）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于A，B兩點，經過A，B兩點的拋物線與x軸的正半軸相交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）若P為線段AB上一點，，求AP的長；34、（2020內江中考改編）如圖，拋物線經過A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點，點D（x，y）為拋物線上第一象限內的一個動點．（1）求拋物線所對應的函數表達式；（2）過點D作，垂足為點E，是否存在點D，使得中的某個角等于的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．35、（2020常州中考改編）如圖，二次函數的圖像與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點B，拋物線過點，且頂點為D，連接、、、．（1）填空：________；（2）點P是拋物線上一點，點P的橫坐標大于1，直線交直線于點Q．若，求點P的坐標；36、（2020泰州中考改編）如圖，二次函數、的圖像分別為、，交軸于點，點在上，且位于軸右側，直線與在軸左側的交點為．（1）若點的坐標為，的頂點坐標為，求的值；（2）設直線與軸所夾的角為．①當，且為的頂點時，求的值；②若，試說明：當、、各自取不同的值時，的值不變；37、（2020朝陽中考改編）如圖，拋物線與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為直線，點C坐標為．（1）求拋物線表達式；（2）在拋物線上是否存在點P，使，如果存在，求出點P坐標；如果不存在，請說明理