2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第三章 培優(yōu)課(二) 隱零點與極值點偏移問

培優(yōu)課(二)隱零點與極值點偏移問題[知識解讀]1.隱零點利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題常與函數(shù)單調(diào)性的判斷有關(guān),而函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的零點有著緊密的聯(lián)系,按導(dǎo)函數(shù)零點能否求精確解可以分為兩類:一類是數(shù)值上能精確求解的,稱之為“顯零點”;另一類是能夠判斷其存在但無法直接表示的,稱之為“隱零點”.對于隱零點問題,由于涉及靈活的代數(shù)變形、整體代換、構(gòu)造函數(shù)、不等式應(yīng)用等技巧,對學(xué)生綜合能力的要求較高,成為考查的難點.(3)極值點偏移問題的一般題設(shè)形式①若函數(shù)f(x)存在兩個零點x1,x2且x1≠x2,求證:x1+x2>2x0(x0為函數(shù)f(x)的極值點);②若函數(shù)f(x)存在x1,x2且x1≠x2滿足f(x1)=f(x2),求證:x1+x2>2x0(x0為函數(shù)f(x)的極值點);關(guān)鍵能力·課堂突破類分考點,落實四翼隱零點問題[典例1]已知函數(shù)f(x)=(x-a)ex(a∈R).(1)討論f(x)的單調(diào)性;函數(shù)最值中的“隱零點”解:(1)由題意,函數(shù)f(x)=(x-a)ex(a∈R),可得f′(x)=(x-a+1)ex,當(dāng)x∈(-∞,a-1)時,f′(x)<0;當(dāng)x∈(a-1,+∞)時,f′(x)>0,故函數(shù)f(x)在(-∞,a-1)上單調(diào)遞減,在(a-1,+∞)上單調(diào)遞增.[典例1]已知函數(shù)f(x)=(x-a)ex(a∈R).零點問題求解“三步曲”(1)用函數(shù)零點存在定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性,列出零點方程f′(x0)=0,并結(jié)合f′(x)的單調(diào)性得到零點的取值范圍.(2)以零點為分界點,說明導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù),進(jìn)而得到f(x)的最值表達(dá)式.(3)將零點方程適當(dāng)變形,整體代入最值式子進(jìn)行化簡證明,有時(1)中的零點范圍還可以適當(dāng)縮小.注意:當(dāng)題設(shè)條件中出現(xiàn)“參數(shù)為整數(shù)”(如本題“b∈Z”)時,此類問題一般為隱零點的卡點問題,要利用零點存在定理,把隱零點的范圍精準(zhǔn)地找出來,才能正確求出參數(shù)的值.[拓展演練]設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx(a為大于零的常數(shù)),已知f′(x)=0有唯一零點,求f(x)的最小值.不等式證明中的“隱零點”解決“隱零點”問題的關(guān)鍵是利用隱零點等式進(jìn)行零點的代換,從而達(dá)到“指、對轉(zhuǎn)冪”的目的.把“隱零點”等式代入最值式是證明不等式的常用技巧.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)證明:f(x)-x<ln2-2.極值點偏移問題[典例3]已知函數(shù)f(x)=aex-x,a∈R.若f(x)有兩個不同的零點x1,x2,證明:x1+x2>2.對稱化構(gòu)造對稱化構(gòu)造,主要用來解決與兩個極值點之和、積相關(guān)的不等式的證明問題.其解題要點如下:(1)定函數(shù)(極值點為x0),即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性,進(jìn)而確定函數(shù)的極值點x0.(3)判斷單調(diào)性,即利用導(dǎo)數(shù)討論F(x)的單調(diào)性.(4)比較大小,即判斷函數(shù)F(x)在某段區(qū)間上的正負(fù),并得出f(x)與f(2x0-x)的大小關(guān)系.(5)轉(zhuǎn)化,即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性,將f(x)與f(2x0-x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2x0-x之間的關(guān)系,進(jìn)而得到所證或所求.[拓展演練]已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-a,a∈R.(1)若函數(shù)f(x)有兩個零點,求a的取值范圍;(1)解:由f(x)=0得a=(x-1)ex,令g(x)=(x-1)ex,因為g′(x)=ex+(x-1)ex=xex,由g′(x)>0得x>0,所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由g′(x)<0得x<0,所以函數(shù)g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=0時,函數(shù)g(x)有極小值同時也是最小值,g(x)min=g(0)=-1,當(dāng)x→+∞時,g(x)→+∞,當(dāng)x→-∞時,g(x)<0,且g(x)→0,則要使a=g(x)有兩個不同的零點,則-1<a<0,即當(dāng)-1<a<0時,函數(shù)f(x)有兩個零點.[拓展演練]已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-a,a∈R.(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點,證明:x1+x2<0.(2)證明:因為x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點,所以由(1)知x1x2<0,且f(x1)=f(x2)=0,不妨設(shè)x1<0,x2>0,則-x2<0,令F(x)=f(x)-f(-x)=(x-1)ex+(1+x)e-x,則F′(x)=x(ex-e-x),當(dāng)x<0時,F′(x)=x(ex-e-x)>0,此時F(x)在(-∞,0)上為增函數(shù),所以F(x)<F(0),即F(x)=f(x)-f(-x)<0,即f(x)<f(-x),因為-x2<0,所以f(-x2)<f(x2),因為f(x1)=f(x2)=0,所以f(-x2)<f(x1),由(1)知,f(x)在(-∞,0)上為減函數(shù),所以-x2>x1,即x1+x2<0.比值換元(2)若g(x)=f(x)-mlnx,存在x1,x2∈(0,+∞),且當(dāng)x1≠x2時,g(x1)=g(x2),求證:x1x2<4m2.比值換元的目的也是消參、減元,就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關(guān)系,然后利用兩個極值點之比作為變量,從而實現(xiàn)消參、減元的目的