專題3 函數(shù)值域倍增或倍減（周期性與類周期性）（講義）2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題《數(shù)學(xué)》函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解析版

第第頁專題3函數(shù)的值域倍增或倍減1.函數(shù)的周期對于函數(shù)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期。【常用結(jié)論】A、，函數(shù)的周期.B、，函數(shù)的周期.C、或，函數(shù)的周期.2.函數(shù)的值域（1）.函數(shù)的值域周期性倍增若函數(shù)滿足或（），那么此函數(shù)的圖像會以，值域每次經(jīng)過一個T，都會周期性變大A倍；（2）.函數(shù)的值域周期性倍減若函數(shù)滿足或（），那么此函數(shù)的圖像會以，值域每次經(jīng)過一個T，都會周期性變大A倍；（3）.函數(shù)的周期性若函數(shù)滿足或，那么此函數(shù)的圖像會以，用周期函數(shù)的性質(zhì)求解即可。(一)函數(shù)周期性的應(yīng)用例1．（1）、（2023·全國·模擬預(yù)測）已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．是偶函數(shù)【答案】B【分析】利用是奇函數(shù)、可判斷C；利用奇函數(shù)求出，令可判斷A；判斷出是以4為周期的周期函數(shù)，利用是奇函數(shù)可判斷D；舉反例可判斷B.【詳解】由是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足，得，故C正確；由是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，得．令，則，即，故A正確；由，得．將兩式相減，得，所以是以4為周期的周期函數(shù)，所以，因?yàn)椋?，即．由是奇函?shù)，得，所以是偶函數(shù)，所以也是偶函數(shù)，故D正確；設(shè)，則滿足已知條件，但，，故B錯誤．故選：B．（2）、（2023·廣東·校聯(lián)考二模）設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且是偶函?shù)，若，則.【答案】【分析】根據(jù)所給函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)周期，利用周期化簡即可得解.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且是偶函數(shù)，所以，所以，即，故是4為周期的周期函數(shù)，且有，則.故答案為：1、（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，若，則．【答案】5【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)分析得出該函數(shù)的對稱性，借助雙對稱性的周期將求轉(zhuǎn)換為求即可得.【詳解】由為奇函數(shù)，可得，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，又的定義域?yàn)?，則有．由為偶函數(shù)得，則的圖象關(guān)于直線對稱，則，從而，則，則，故是周期為4的偶函數(shù)，所以．而，所以，，故.故答案為：5.2、（2020·安徽·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，，都有，當(dāng)時，，則.【答案】5【分析】由題意可知周期為2，從而可求出，，進(jìn)而可求出的值.【詳解】解：由可知，關(guān)于對稱，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以周期為2，則，.故答案為:5.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)，考查了函數(shù)的周期性的應(yīng)用.由奇偶性和對稱性求出函數(shù)的周期是求解本題的關(guān)鍵.

(二)函數(shù)值域倍減或倍增例2.（1）、已知定義在上的函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，若方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】分別求出，，的解析式，畫出的圖象，由圖象即可求解.【詳解】當(dāng)時，則，所以，即，當(dāng)時，則，所以，即，則，當(dāng)時，則，所以，即，畫出的圖象如下：

由圖象可知，當(dāng)時，方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為（2）、（2022·遼寧沈陽·高三階段練習(xí)）定義在上函數(shù)滿足，且當(dāng)時，．若對任意，都有，則的取值范圍是___________．【答案】【分析】由，根據(jù)，即，依此類推，作出函數(shù)的圖象求解．【詳解】因?yàn)楫?dāng)，時，，所以，因?yàn)椋?dāng)，時，即時，所以，即，當(dāng)，，即，時，，當(dāng)，，即，時，，所以，依此類推，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知：，,當(dāng)時，，當(dāng)時,因?yàn)閷θ我猓?，都有，則，解得：，故答案為：（3）、已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，．若對任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得當(dāng)時，，且，令，解得或，結(jié)合圖像即可得到結(jié)果.【詳解】由得，因?yàn)楫?dāng)時，，所以；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；且，如圖令，得或；若對任意，都有，結(jié)合圖像則的取值范圍是.故選：B.（2）、（2021·全國高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時，．若對任意，都有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得當(dāng)時，，其中，結(jié)合函數(shù)在上的解析式和函數(shù)在的圖象可求的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，故，因?yàn)椋十?dāng)時，，，同理，當(dāng)時，，依次類推，可得當(dāng)時，，其中.所以當(dāng)時，必有.如圖所示，因?yàn)楫?dāng)時，的取值范圍為，故若對任意，都有，則，令，或，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：此類問題考慮函數(shù)的“類周期性”，注意根據(jù)已知區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)推證函數(shù)在其他區(qū)間上的性質(zhì)，必要時應(yīng)根據(jù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，借助形來尋找臨界點(diǎn).定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，當(dāng)時，的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得在區(qū)間上，可得，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由函數(shù)滿足，且當(dāng)時，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，所以在區(qū)間上，可得，作函數(shù)的圖象，如圖所示，所以當(dāng)時，，故選：B.

2．（2020·江蘇泰州市·泰州中學(xué)高三月考）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則的取值范圍是______.【答案】【分析】可結(jié)合圖像大致特點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)區(qū)間由右移，函數(shù)值逐漸減小，當(dāng)函數(shù)區(qū)間由左移，函數(shù)值逐漸增大，則確定應(yīng)是比2大的一個值，再由可推出通式，令可解得，再由圖像可確定的臨界值應(yīng)為，即可求解【詳解】由題可知，則可得一般規(guī)律：，可畫出大致函數(shù)圖像，如圖：由圖可知，當(dāng)時，，則，，此時，由圖像可知，要對任意，都有，則的最大值只能取，故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的遞推式找出一般函數(shù)圖像規(guī)律，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題3、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時，．若對任意，都有，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出圖示，求出當(dāng)時，函數(shù)的解析式，求出成立的x的值，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想可得選項(xiàng)．【詳解】解：時，，，，即右移1個單位，圖像變?yōu)樵瓉淼?倍．如圖所示：當(dāng)時，，令，解得，所以要使對任意，都有，則，，故選：B．【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：圖像解析式求解過程容易求反，畫錯示意圖，畫成向左側(cè)擴(kuò)大到2倍，導(dǎo)致題目出錯，需加深對抽象函數(shù)表達(dá)式的理解，平時應(yīng)加強(qiáng)這方面練習(xí)，提高抽象概括、數(shù)學(xué)建模能力．4．（2021·陜西·長安一中高二期中（文））設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則m的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題先求出的分段函數(shù)表達(dá)式，分析圖象變化規(guī)