函數(shù)的應(yīng)用（一）（6大題型）精講（原卷版）

函數(shù)的應(yīng)用（一）重點：了解函數(shù)模型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)、冪函數(shù)等）的廣泛應(yīng)用；難點：能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實際問題。一、一次函數(shù)模型1、一次函數(shù)為：2、求最值的方法：常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時，注意系數(shù)a的正負，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．3、解決實際應(yīng)用問題的一般步驟（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題．以上過程用框圖表示如圖：二、二次函數(shù)模型1、二次函數(shù)：形如2、求最值的方法：在根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實際問題中的最值問題.二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象來解答.3、解決實際應(yīng)用問題的注意事項（1）函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)，是常見的解題錯誤．所以，要理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型．（2）要特別關(guān)注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域．（3）注意問題反饋，在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學(xué)解對實際問題的合理性．三、冪函數(shù)模型1、冪函數(shù)模型為y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)，2、在計算冪函數(shù)解析式、求冪函數(shù)最值的時候，通常利用冪函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性等解題.四、對勾函數(shù)模型解決“對勾”函數(shù)的實際應(yīng)用問題時，需關(guān)注該函數(shù)的定義域、單調(diào)性、值域和圖像等，一般通過變形，構(gòu)造利用基本不等式的條件求最值。五、應(yīng)用分段函數(shù)時的三個注意點1、分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏；2、分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集；3、分段函數(shù)的值域求法為逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論。六、圖像信息應(yīng)用題的解答策略1、明確橫軸、縱軸的意義，分析題中的具體含義；2、由圖象判定函數(shù)模型；3、抓住特殊點的實際意義，特殊點一般包括最高點（最大值點）、最低點（最小值點）及折線的拐角點等；4、通過方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型化實際問題。題型一一次函數(shù)模型的應(yīng)用【例1】（2022秋·北京·高一校考期中）果蔬批發(fā)市場批發(fā)某種水果，不少于千克時，批發(fā)價為每千克元，小王攜帶現(xiàn)金3000元到市場采購這種水果，并以此批發(fā)價買進，如果購買的水果為千克，小王付款后剩余現(xiàn)金為元，則與之間的函數(shù)關(guān)系為（）A．B．C．D．【變式11】（2023秋·四川·高一校考開學(xué)考試）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分別是2022年北京冬奧會、冬殘奧會的吉樣物．冬奧會來臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國．小雅在某網(wǎng)店選中兩種玩偶，決定從該網(wǎng)店進貨并銷售，第一次小雅用1400元購進了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個，已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容融玩偶可獲利20元．（1）求兩種玩偶的進貨價分別是多少？（2）第二次小雅進貨時，網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶的進貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進貨數(shù)量的倍．小雅計劃購進兩種玩偶共40個，應(yīng)如何設(shè)計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？【變式12】（2022秋·安徽合肥·高一校考期中）車管站在某個星期日保管的自行車和電動車共有輛次，其中電動車保管費是每輛一次元，自行車保管費是每輛一次元．（1）若設(shè)停放的自行車的輛次為，總的保管費收入為元，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（2）若估計前來停放的輛次自行車和電動車中，電動車的輛次數(shù)不小于，但不大于，試求該車管站這個星期日收入保管費總數(shù)的范圍．【變式13】（2023·全國·高一假期作業(yè)）某商場準(zhǔn)備購進A，兩種型號電腦，每臺A型號電腦進價比每臺型號電腦多500元，用40000元購進A型號電腦的數(shù)量與用30000元購進型號電腦的數(shù)量相同，請解答下列問題：（1）A，型號電腦每臺進價各是多少元？（2）若每臺A型號電腦售價為2500元，每臺型號電腦售價為1800元，商場決定用不超過35000元同時購進A，兩種型號電腦20臺，且全部售出，請寫出所獲的利潤（單位：元）與A型號電腦（單位：臺）的函數(shù)關(guān)系式并求此時的最大利潤．題型二二次函數(shù)模型的應(yīng)用【例2】（2023秋·江西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達到最高點時爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度（單位：米）與時間（單位：秒）之間的關(guān)系式為，則煙花在沖擊后爆裂的時刻是（）A．第4秒B．第5秒C．第秒D．第3秒【變式21】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本（萬元）與年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為噸.（1）求年產(chǎn)量為多少噸時，總成本最低，并求最低成本（2）若每噸產(chǎn)品平均出廠價為萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤最大利潤是多少【變式22】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤分別是（單位：萬元）和（單位：萬元），它們與投入資金（單位：萬元）的關(guān)系有經(jīng)驗公式.今將4萬元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其中對甲種產(chǎn)品投資（單位：萬元）.（1）試建立總利潤（單位：萬元）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）如何安排投入資金使得該企業(yè)所獲利潤最大？并求出獲利潤的最大值.【變式23】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是（單位：萬元）和）（單位：萬元），它們與投入資金t（單位：萬元）的關(guān)系有經(jīng)驗公式分別為，，其中為常數(shù)．今將5萬元資金經(jīng)營甲、乙兩種商品，設(shè)對甲種商品投入獎金x萬元，其中．（1）當(dāng)時，如何進行投資甲、乙兩種商品才能使得總利潤y最大；（2）存在，使得甲、乙兩種商品投資總利潤等于，求a的取值范圍．題型三冪函數(shù)模型的應(yīng)用【例3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標(biāo)，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：）（）A．10%B．20%C．22%D．32%【變式31】（2023秋·全國·高一隨堂練習(xí)）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（）A．B．C．D．【變式32】（2022·全國·高一專題練習(xí)）為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現(xiàn)在加密密鑰為，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是（）A．B．C．2D．【變式33】（2021秋·高一校考課時練習(xí)）某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關(guān)系為(為常數(shù))，其中x不超過5萬元.已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年投入廣告費用5萬元，預(yù)計今年藥品利潤為萬元.題型四對勾函數(shù)模型的應(yīng)用【例4】（2023秋·重慶·高一校考階段練習(xí)）第19屆亞運會2023年9月在杭州市舉辦，本屆亞運會以“綠色、智能、節(jié)儉、文明”為辦會理念，展示杭州生態(tài)之美、文化之韻，充分發(fā)揮國際重大賽事對城市發(fā)展的牽引作用，從而促進經(jīng)濟快速發(fā)展，籌備期間，某公司帶來了一種智能設(shè)備供采購商洽談采購，并決定大量投放當(dāng)?shù)厥袌?，已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬元，每生產(chǎn)一萬臺需另投入80萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備萬臺且全部售完.當(dāng)時，每萬臺的年銷售收入

（萬元）與年產(chǎn)量（萬臺）滿足關(guān)系式:;當(dāng)時，每萬臺的年銷售收入

（萬元）與年產(chǎn)量（萬臺）滿足關(guān)系式:（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式（利潤=銷售收入一成本）;（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大?并求最大利潤.【變式41】（2023秋·重慶·高一?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)為了迎接建校100周年校慶，決定在學(xué)校校史館利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面積為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的榮譽室.由于榮譽室的后背靠墻，無需建造費用.甲乙兩支隊伍參與競標(biāo)，甲工程隊給出的報價為：榮譽室前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計12600元，設(shè)榮舉室的左右兩面墻的長度均為米，乙工程隊給出的整體報價為元，綜合考慮各種條件，學(xué)校決定選擇報價較低的隊伍施工，如果報價相同，則選擇乙隊伍.（1）若，問學(xué)校該怎樣選擇；（2）在競爭壓力下，甲工程隊主動降價5400元，若乙工程隊想要確保自己被選中，求實數(shù)的最大值.【變式42】（2023秋·江蘇南京·高一校考階段練習(xí)）某廠家擬在2023年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用m萬元滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是4萬件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為24萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入18萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來計算）（1）計算k的值為多少，并將2023年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)：（2）該廠家2023年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大?最大利潤是多少?【變式43】（2023秋·山東青島·高一?？茧A段練習(xí)）為了減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻通常需要建造隔熱層，某地正在建設(shè)一座購物中心，現(xiàn)在計劃對其建筑物建造可使用40年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費用P（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：．若不建隔熱層，每年能源消耗費用為9萬元．設(shè)S為隔熱層建造費用與40年的能源消耗費用之和．（1）求m的值及用x表示S；（2）當(dāng)隔熱層的厚度為多少時，總費用S達到最小，并求最小值．題型五分段函數(shù)模型的應(yīng)用【例5】（2022秋·山東菏澤·高一校考期中）核酸檢測是新冠肺炎確診的有效快捷手段.某醫(yī)院在成為新冠肺炎核酸檢測定點醫(yī)院并開展檢測工作的第天，每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成平均耗時（單位：小時）大致服從的關(guān)系為（、為常數(shù)）.已知第16天檢測過程平均耗時為16小時，第64天和第67天檢測過程平均耗時均為8小時，那么可得到第49天檢測過程平均耗時大致為（）A．16小時B．11小時C．9小時D．7小時【變式51】（2023秋·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）年，月日，華為在華為商城正式上線，成為全球首款支持衛(wèi)星通話的大眾智能.其實在年月日，華為被美國列入實體名單，以所謂科技網(wǎng)絡(luò)安全為借口，對華為施加多輪制裁.為了進一步增加市場競爭力，華為公司計劃在年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新，通過市場分析，生產(chǎn)此款全年需投入固定成本萬，每生產(chǎn)千部，需另投入成本萬元，且由市場調(diào)研知此款售價萬元，且每年內(nèi)生產(chǎn)的當(dāng)年能全部銷售完.（1）求出年的利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量千部的表達式（2）年年產(chǎn)量為多少千部時，企業(yè)所獲利潤最大最大利潤是多少【變式52】（2023秋·山東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）今年中秋國慶雙節(jié)假期“合體”，人們的出游意愿進一步增強，國內(nèi)長線游預(yù)訂人次占比為.數(shù)據(jù)顯示，中秋國慶假期，長線游預(yù)訂占比近六成預(yù)訂出游平均時長在5天以上.某旅游平臺上，跨省游訂單占比達，較2022年同期提升10個百分點.秋高氣爽最適合登高爬山，某戶外登山運動裝備生產(chǎn)企業(yè)，2023年的固定成本為1000萬元，每生產(chǎn)x千件裝備，需另投入資金（萬元）.經(jīng)計算與市場評估得，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)生產(chǎn)10千件裝備時需另投入資金萬元.每千件裝備的市場售價為300萬元，從市場調(diào)查來看，2023年最多能售出150千件.（1）寫出2023年利潤W（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)；（利潤＝銷售總額－總成本）（2）當(dāng)2023年產(chǎn)量為多少千件時，該企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【變式53】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）某服裝廠生產(chǎn)一批羽絨服，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會產(chǎn)生一些次品，其次品率p與日產(chǎn)量x（萬件）之間滿足關(guān)系：（其中m為小于12的正整數(shù)）.已知每生產(chǎn)1萬件合格的羽絨服可以盈利3萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量（注：次品率＝次品數(shù)/生產(chǎn)量，如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品）.（1）試將生產(chǎn)這批羽絨服每天的盈利額y（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？題型六圖象信息應(yīng)用題【例6】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）某打車平臺欲對收費標(biāo)準(zhǔn)進行改革，現(xiàn)制定了甲?乙兩種方案供乘客選擇，其支付費用與打車里程數(shù)的函數(shù)關(guān)系大致如圖所示，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)打車距離為時，乘客選擇乙方案省錢B．當(dāng)打車距離為時，乘客選擇甲?乙方案均可C．打車以上時，每公里增加的費用甲方案比乙方案多D．甲方案內(nèi)（含）付費5元，行程大于每增加1公里費用增加元【變式61】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為，觀影人數(shù)記為，關(guān)于的函數(shù)圖像如圖（1）所示．由于目