2023-2024學年河北省石家莊市趙縣八年級（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年河北省石家莊市趙縣八年級（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題有12個小題，每小題3分，共36分）1．（3分）下列根式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．，， C．1，，2 D．，，83．（3分）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣24．（3分）下列計算不正確的是（）A． B． C． D．+＝＝＝35．（3分）在下列命題中，正確的是（）A．對角線相等的四邊形是平行四邊形 B．有一個角是直角的四邊形是矩形 C．有一組鄰邊相等的平行四邊形式菱形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形6．（3分）如圖，平行四邊形ABCD中，若∠B＝2∠A，則∠C的度數(shù)為（）A．60° B．120° C．72° D．36°7．（3分）如圖，有一個繩索拉直的木馬秋千，繩索AB的長度為5米，若將它往水平方向向前推進3米（即DE＝3米），且繩索保持拉直的狀態(tài)，則此時木馬上升的高度為（）A．1米 B．米 C．2米 D．4米8．（3分）如圖，在?ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長是（）A．8 B．9 C．10 D．119．（3分）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（）A．2a B．2b C．﹣2b D．010．（3分）如圖，在一個長為20m，寬為16m的矩形草地上放著一根長方體木塊，已知該木塊的較長邊和場地寬AD平行，橫截面是邊長為2m的正方形，一只螞蟻從點A處爬過木塊到達點C處需要走的最短路程是（）m．A． B． C． D．11．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，動點P從點B出發(fā)，沿著BC勻速向終點C運動，則線段EF的值大小變化情況是（）A．一直增大 B．一直減小 C．先減小后增大 D．先增大后減少12．（3分）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2＝c2，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù)，某同學將自己探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為（）A．47 B．62 C．79 D．98二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）若最簡二次根式與能合并，則＝．14．（3分）若x＝+1，則代數(shù)式x2﹣2x+2的值為．15．（3分）如圖所示，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，過點O的直線分別交AD和BC于點E、F，AB＝2，BC＝3，則圖中陰影部分的面積為．16．（3分）在平面直角坐標系中，已知點A（﹣1，0）、B（2，2）、C（0，3），在坐標平面內(nèi)找一點D，使得以A，B，C，D四點組成的四邊形為平行四邊形，請寫出D點坐標．三、解答題（本大題共8小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（8分）（1）計算：；（2）．18．（8分）一個三角形的三邊長分別為，，．（1）求它的周長（要求結(jié)果化簡）；（2）請你給出一個適當?shù)膞的值，使它的周長為整數(shù)，并求出此時三角形的周長．19．（8分）定義：如圖，點M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割點．（1）已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，則點M、N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由．（2）已知點M、N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若AB＝12，AM＝5，求BN的長．20．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）求四邊形ABCD的面積．21．（9分）閱讀下面的材料，解答后面所給出的問題：兩個含二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：與，與．（1）請你寫出兩個二次根式，使它們互為有理化因式：．化簡一個分母含有二次根式的式子時，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：．（2）請仿照上述方法化簡：．（3）比較與的大?。?2．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點E，∠BCD的平分線交AD于點F，交BE于點G．（1）若∠EFG＝32°，求∠FEG的度數(shù)；（2）求證：AF＝DE．23．（10分）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE∥AC，且DE＝AC，連接CE、OE，連接AE交OD于點F．（1）求證：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的邊長為8，∠ABC＝60°，求AE的長．24．（11分）如圖，我把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解決問題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．①如圖2，當∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；②如圖3，當∠ACB≠90°，點M、N分別是AC、AP中點連接MN．若MN＝2，則S△ABC＝．

2023-2024學年河北省石家莊市趙縣八年級（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題有12個小題，每小題3分，共36分）1．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，被開方數(shù)中不含分母，判斷即可．【解答】解：A.＝，故不是最簡二次根式，不符合題意；B.＝，故不是最簡二次根式，不符合題意；C．﹣，是最簡二次根式，符合題意；D.＝2，故不是最簡二次根式，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．2．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可知，當三角形中三邊的關(guān)系為：a2+b2＝c2時，則三角形為直角三角形．【解答】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；B、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能組構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；C、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；D、（）2+（）2≠82，不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意．故選：C．【點評】此題考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足：a2+b2＝c2時，則三角形ABC是直角三角形．解答時，只需看兩較小數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方．3．【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)，即可確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍．【解答】解：∵在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴2x﹣4≥0，解得：x≥2，∴x的取值范圍是：x≥2．故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，即二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．4．【分析】利用二次根式的加減法對A、D進行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對B進行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對C進行判斷．【解答】解：A．原式＝2，所以A選項不符合題意；B．原式＝＝，所以B選項不符合題意；C．原式＝，所以C選項不符合題意；D．與不能合并，所以D選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則解決問題的關(guān)鍵．5．【分析】根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定一一判斷即可．【解答】解：A、對角線相等的四邊形是平行四邊形，錯誤，比如等腰梯形的對角線相等，不是平行四邊形，本選項不符合題意．B、有一個角是直角的四邊形是矩形，錯誤，應該是有三個角是直角的四邊形是矩形，本選項不符合題意．C、有一組鄰邊相等的平行四邊形式菱形，正確，本選項符合題意．D、對角線互相垂直平分的四邊形是正方形，錯誤，應該是對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，本選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是記住特殊四邊形的判定方法，屬于中考?？碱}型．6．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合已知條件即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°，∠A＝∠C，∵∠B＝2∠A，∴3∠A＝180°，∴∠C＝∠A＝60°，故選：A．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．【分析】作CF⊥AB，根據(jù)勾股定理求得AF的長，可得BF的長度．【解答】解：過點C作CF⊥AB于點F，根據(jù)題意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3，由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，∴AF＝，∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1，∴此時木馬上升的高度為1米，故選：A．【點評】本題主要考查勾股定理的應用，添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)得出AO的長，再利用勾股定理得出BO的長，進而得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，∴AO＝3，則BO＝＝5，∴BD＝2BO＝10．故選：C．【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理，正確得出BO的長是解題關(guān)鍵．9．【分析】利用數(shù)軸得出b＜0＜a，|b|＞|a|，進而利用二次根式的性質(zhì)化簡求出即可．【解答】解：由數(shù)軸可得：b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a﹣b＞0，則＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|＝a+b﹣（a﹣b）＝a+b﹣a+b＝2b，故選：B．【點評】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握二次根式的化簡方法是關(guān)鍵．10．【分析】將長方體木塊拉伸，結(jié)合兩點間距離及勾股定求解即可得到答案．【解答】解：由題意可得，如圖所示，，∴AB＝20+2×2＝24（m），∴最短路程是：（m），故選：A．【點評】本題考查勾股定理解決最短距離問題，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．11．【分析】連接AP，先判斷出四邊形AFPE是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得EF＝AP，再根據(jù)垂線段最短可得AP⊥AB時，線段EF的值最小，即可判斷出動點P從點B出發(fā)，沿著BC勻速向終點C運動，線段EF的值大小變化情況．【解答】解：如圖，連接AP．∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC∴四邊形AFPE是矩形，∴EF＝AP，由垂線段最短可得AP⊥BC時，AP最短，則線段EF的值最小，∴動點P從點B出發(fā)，沿著BC勻速向終點C運動，則線段EF的值大小變化情況是先減小后增大．故選：C．【點評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出CP⊥AB時，線段EF的值最小是解題的關(guān)鍵．12．【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，進而得出x+y的值．【解答】解：由題可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴當c＝n2+1＝65時，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故選：C．【點評】本題主要考查了勾股數(shù)，滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．【分析】根據(jù)題意可得與是同類二次根式，并且被開方數(shù)相同，進而可得方程，再解即可．【解答】解：由題意得：2x﹣1＝x+3，解得：x＝4，∴＝＝3．故答案為：3．【點評】此題主要考查了同類二次根式，關(guān)鍵是掌握把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．14．【分析】利用完全平方公式將原式進行變形，然后代入求值．【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1，當x＝+1時，原式＝（+1﹣1）2+1＝（）2+1＝2+1＝3，故答案為：3．【點評】本題考查二次根式的化簡求值，理解二次根式的性質(zhì)，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2是解題關(guān)鍵．15．【分析】觀察圖形，陰影部分顯然不規(guī)則，想想怎么將它們進行拼組，組成規(guī)則圖形；首先結(jié)合矩形的性質(zhì)可得OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，試著證明△AOE≌△COF，進而可得△AOE與△COF的面積相等；接下來即可將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為△BCD的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO．∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF，則S△AOE＝S△COF，∴S陰影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，∴S△BCD＝BC?CD＝×3×2＝3，故S陰影＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形的面積公式的運用，解題的關(guān)鍵是把陰影圖形的面積補為一個直角三角形的面積．16．【分析】需要分類討論：以AB為邊的平行四邊形和以AB為對角線的平行四邊形．【解答】解：①當AB為邊且AB、AC為鄰邊時：如圖1，因為點A（﹣1，0）、B（2，2），所以點A先向右平移3個單位，再向上平移2個單位得點B，相應的點C先向右平移3個單位，再向上平移2個單位得點D，∵C（0，3），∴D（3，5）；②當AB為邊且AB、AD為鄰邊時：如圖2，因為點B（2，2）、C（0，3），所以點B先向左平移2個單位，再向上平移1個單位得點C，相應的點A先向左平移2個單位，再向上平移1個單位得點D，∵A（﹣1，0），∴D（﹣3，1）；③當AB為對角線時：如圖因為點B（2，2）、C（0，3），所以點C先向右平移2個單位，再向下平移1個單位得點B，相應的點A先向右平移2個單位，再向下平移1個單位得點D，∵A（﹣1，0），∴D（1，﹣1）；故答案為：（3，5），（﹣3，1），（1，﹣1）．【點評】本題考查平行四邊形的判定及點的平移問題，解題關(guān)鍵是準確作出對應圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想解決．三、解答題（本大題共8小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．【分析】（1）先化為最簡二次根式，再合并同類二次根式；（2）先展開，再去括號合并同類二次根式．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+﹣3＝﹣；（2）原式＝3﹣1+2﹣（3﹣4+4）＝3﹣1+2﹣3+4﹣4＝6﹣5．【點評】本題考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式相關(guān)運算的法則．18．【分析】（1）把三角形的三邊長相加，即為三角形的周長．運用二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，選擇一個符合題意的x的值即可解答本題．【解答】解：（1）∵一個三角形的三邊長分別為，，，∴這個三角形的周長是：++＝++＝；（2）當x＝20時，這個三角形的周長是：＝×10＝25（答案不唯一）．【點評】本題考查二次根式的應用，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)與運算法則．19．【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷．（2）設BN＝x，則MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分兩種情形①當MN為最長線段時，依題意MN2＝AM2+NB2；②當BN為最長線段時，依題意BN2＝AM2+MN2；分別列出方程即可解決問題．【解答】解：（1）是．理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形．故點M、N是線段AB的勾股分割點．（2）設BN＝x，則MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，①當MN為最長線段時，依題意MN2＝AM2+NB2，即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；②當BN為最長線段時，依題意BN2＝AM2+MN2．即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．綜上所述BN的長為或．【點評】本題參考勾股定理的逆定理、解題的關(guān)鍵是理解題意，學會分類討論，注意不能漏解，屬于中考?？碱}型．20．【分析】（1）連接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的長，∠BAC＝∠ACB＝45°，然后利用勾股定理的逆定理證明△ADC是直角三角形，從而可得∠DAC＝90°，最后進行計算即可解答；（2）根據(jù)四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積+△ADC的面積，進行計算即可解答．【解答】解：（1）連接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝＝＝2，∠BAC＝∠ACB＝45°，∵CD＝3，DA＝1，∴AD2+AC2＝12+（2）2＝9，CD2＝32＝9，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ADC是直角三角形，∴∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°，∴∠DAB的度數(shù)為135°；（2）由題意得：四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積+△ADC的面積＝AB?BC+AD?AC＝×2×2+×1×2＝2+，∴四邊形ABCD的面積為2+．【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．21．【分析】（1）根據(jù)有理化因式的概念寫出乘積不含二次根式的兩個式子即可；（2）分子，分母同時乘以分母的有理化因式即可；（3）分母有理化后再比較．【解答】解：（1）+2與﹣2互為有理化因式，故答案為：+2與﹣2（答案不唯一）；（2）＝＝+；（3）＝，＝，∵＜，∴＜．【點評】本題考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的分母有理化．22．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到∠EGF＝90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠FEG的度數(shù)；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得：AB＝CD，AD∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線的定義求出∠ABE＝∠AEB，推出AB＝AE，同理求出DF＝CD，即可證明AE＝DF．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC+∠BCD＝180°，又∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，∴∠EGF＝90°，又∵∠EFG＝32°，∴∠FEG＝90°﹣32°＝58°；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，同理可得：DF＝CD，∴AE＝DF，即AF+EF＝DE+EF，∴AF＝DE．【點評】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識的運用，能綜合運用平行四邊形的性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．23．【分析】（1）先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直求出∠COD＝90°，證明OCED是矩形，可得OE＝CD；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理，得出AC與CE的長，再根據(jù)勾股定理得出AE的長度即可．【解答】解：（1）在菱形ABCD中，OC＝AC，AC⊥BD．又∵DE＝AC，∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四邊形OCED是平行四邊形．∵∠COD＝90°，∴平行四邊形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝8，AO＝4．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝4．又∵矩形DOCE中，∠OCE＝90°，∴在Rt△ACE中，AE＝＝＝4．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，熟記矩形的判定方法與菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．【分析】（1）利用勾股定理即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)SAS可證明△PBC≌△ABQ，得∠BPC＝∠BAQ，得∠PDA＝90°，可求出PQ的長；②方法一：連接PC、AQ交于點D，同①可證△PBC≌△