高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)2.2基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程練習(xí)

PAGEPAGE12.2基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程【課時作業(yè)】A級1．(2018·福建市第一學(xué)期高三期末考試)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))則函數(shù)y＝f(x)＋3x的零點個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：令f(x)＋3x＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2－2x＋3x＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,1＋\f(1,x)＋3x＝0，))解得x＝0或x＝－1，所以函數(shù)y＝f(x)＋3x的零點個數(shù)是2.故選C.答案：C2．若函數(shù)f(x)滿足f(1－lnx)＝eq\f(1,x)，則f(2)等于()A.eq\f(1,2) B．eC.eq\f(1,e) D．－1解析：法一：令1－lnx＝t，則x＝e1－t，于是f(t)＝eq\f(1,e1－t)，即f(x)＝eq\f(1,e1－x)，故f(2)＝e.法二：由1－lnx＝2，得x＝eq\f(1,e)，這時eq\f(1,x)＝eq\f(1,\f(1,e))＝e，即f(2)＝e.答案：B3．(2018·惠州市第二次調(diào)研)若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sineq\f(2π,5)，則()A．b>c>a B．b>a>cC．c>a>b D．a(chǎn)>b>c解析：依題意，得a>1,0<b＝logπ3<logππ＝1，而由0<sineq\f(2π,5)<1，2>1，得c<0，故a>b>c，故選D.答案：D4．(2018·河南濮陽一模)函數(shù)f(x)＝ln2x－1的零點所在區(qū)間為()A．(2,3) B．(3,4)C．(0,1) D．(1,2)解析：由f(x)＝ln2x－1，得函數(shù)是增函數(shù)，并且是連續(xù)函數(shù)，f(1)＝ln2－1<0，f(2)＝ln4－1>0，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理可得，函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(1,2)上，故選D.答案：D5．已知函數(shù)f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－1，－log32) B．(0，log52)C．(log32,1) D．(1，log34)解析：∵單調(diào)函數(shù)f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點，∴f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<a<1，故選C.答案：C6．在數(shù)學(xué)課外活動中，小明同學(xué)進行了糖塊溶于水的試驗，將一塊質(zhì)量為7克的糖塊放入到一定量的水中，測量不同時刻未溶解糖塊的質(zhì)量，得到若干組數(shù)據(jù)，其中在第5分鐘末測得的未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克，同時小明發(fā)現(xiàn)可以用指數(shù)型函數(shù)S＝ae－kt(a，k為常數(shù))來描述以上糖塊的溶解過程，其中S(單位：克)代表t分鐘末未溶解糖塊的質(zhì)量，則k＝()A．ln2 B．ln3C.eq\f(ln2,5) D．eq\f(ln3,5)解析：由題意可得，當t＝0時，S＝a＝7，因為在第5分鐘末測得的未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝eq\f(ln2,5).答案：C7．已知函數(shù)f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)＋a))是奇函數(shù)，且在x＝0處有意義，則該函數(shù)為()A．(－∞，＋∞)上的減函數(shù)B．(－∞，＋∞)上的增函數(shù)C．(－1,1)上的減函數(shù)D．(－1,1)上的增函數(shù)解析：由題意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)－1))＝lgeq\f(x＋1,1－x)，令eq\f(x＋1,1－x)>0，則－1<x<1，排除A、B，又y＝eq\f(2,1－x)－1＝－1＋eq\f(－2,x－1)在(－1,1)上是增函數(shù)，∴f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)．選D.答案：D8．(2018·山東濰坊一模)若函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)y＝loga(|x|－1)的圖象可以是()解析：因函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù)，故0<a<1.易知函數(shù)y＝loga(|x|－1)是偶函數(shù)，定義域為{x|x>1或x<－1}，x>1時函數(shù)y＝loga(|x|－1)的圖象可以通過函數(shù)y＝logax的圖象向右平移1個單位得到，故選C.答案：C9．已知x0是f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\f(1,x)的一個零點，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，則()A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)>0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)<0，f(x2)>0解析：因為x0是函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\f(1,x)的一個零點，所以f(x0)＝0，因為f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)，且x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，所以f(x1)>f(x0)＝0>f(x2)．答案：C10．已知f(x)是偶函數(shù)，當x>0時，f(x)單調(diào)遞減，設(shè)a＝－21.2，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.8，c＝2log52，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關(guān)系為()A．f(c)<f(b)<f(a) B．f(c)<f(a)<f(b)C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b)解析：依題意，注意到21.2>20.8＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.8>20＝1＝log55>log54＝2log52>0，又函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，于是有f(21.2)<f(20.8)<f(2log52)，由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)得f(a)＝f(21.2)，因此f(a)<f(b)<f(c)，選C.答案：C11．(2018·安徽安慶二模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x∈[0，1，,2－x2，x∈[－1，0，))且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，則函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)內(nèi)的零點個數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0解析：由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x)的周期是2，畫出函數(shù)f(x)和g(x)的部分圖象，如圖所示，由圖象可知f(x)與g(x)的圖象有2個交點，故F(x)有2個零點．故選B.答案：B12．若關(guān)于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)對于任意的x>2恒成立，則a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)解析：不等式4ax－1<3x－4等價于ax－1<eq\f(3,4)x－1.令f(x)＝ax－1，g(x)＝eq\f(3,4)x－1.當a>1時，在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，如圖1所示，由圖知不滿足條件；當0<a<1時，在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，如圖2所示，則f(2)≤g(2)，即a2－1≤eq\f(3,4)×2－1，即a≤eq\f(1,2)，所以a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：B13．已知a>0，且a≠1，函數(shù)y＝loga(2x－3)＋eq\r(2)的圖象恒過點P.若點P也在冪函數(shù)的圖象上，對應(yīng)的冪函數(shù)f(8)＝________.解析：函數(shù)y＝loga(2x－3)＋eq\r(2)的圖象恒過點P(2，eq\r(2))．設(shè)冪函數(shù)為f(x)＝xa，則2a＝eq\r(2)，所以a＝eq\f(1,2)，所以冪函數(shù)為f(x)＝xeq\f(1,2)，所以f(8)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)14．(2018·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)＋1，f(a)＝4，則f(－a)＝________.解析：∵f(x)＋f(－x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)＋1＋ln(eq\r(1＋x2)＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2.答案：－215．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x>0))有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：當x>0時，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，則當x≤0時，函數(shù)f(x)＝2x－a有一個零點，令f(x)＝0，得a＝2x，因為0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以實數(shù)a的取值范圍是0<a≤1.答案：(0,1]16．某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°(如圖)，考慮到防洪堤的堅固性及水泥用料等因素，要求設(shè)計其橫斷面的面積為9eq\r(3)平方米，且高度不低于eq\r(3)米，記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底與兩腰長的和)為y米，若要使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長最小)，則防洪堤的腰長x＝________.解析：設(shè)橫斷面的高為h，由題意得AD＝BC＋2·eq\f(x,2)＝BC＋x，h＝eq\f(\r(3),2)x，所以9eq\r(3)＝eq\f(1,2)(AD＋BC)h＝eq\f(1,2)(2BC＋x)·eq\f(\r(3),2)x，得BC＝eq\f(18,x)－eq\f(x,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝\f(\r(3),2)x≥\r(3)，,BC＝\f(18,x)－\f(x,2)>0，))得2≤x<6，所以y＝BC＋2x＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)(2≤x<6)，從而y＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)≥2eq\r(\f(18,x)·\f(3x,2))＝6eq\r(3)，當且僅當eq\f(18,x)＝eq\f(3x,2)(2≤x<6)，即x＝2eq\r(3)時等號成立．答案：2eq\r(3)B級1．設(shè)函數(shù)f(x)＝e|lnx|(e為自然對數(shù)的底數(shù))．若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，則下列結(jié)論一定不成立的是()A．x2f(x1)>1 B．x2f(x1)＝1C．x2f(x1)<1 D．x2f(x1)<x1f(x2)解析：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(elnx＝x，x≥1，,e－lnx＝\f(1,x)，0<x<1，))作出y＝f(x)的圖象如圖所示，若0<x1<1<x2，則f(x1)＝eq\f(1,x1)>1，f(x2)＝x2>1，x2f(x1)>1，則A成立．若0<x2<1<x1，則f(x2)＝eq\f(1,x2)>1，f(x1)＝x1>1，則x2f(x1)＝x2x1＝1，則B成立．對于D，若0<x1<1<x2，則x2f(x1)>1，x1f(x2)＝1，則D不成立；若0<x2<1<x1，則x2f(x1)＝1，x1f(x2)>1，則D成立．故選C.答案：C2．(2018·廣州市高中綜合測試(一))已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x2)，x<－1，,lnx＋2，x≥－1，))g(x)＝x2－2x－4.設(shè)b為實數(shù)，若存在實數(shù)a，使得f(a)＋g(b)＝1成立，則b的取值范圍為________．解析：x<－1時，f(x)＝eq\f(1,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，故－eq\f(1,4)≤f(x)<0；x≥－1時，x＋2≥1，ln(x＋2)≥0，故f(x)≥0，所以函數(shù)f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))，若存在實數(shù)a，使得f(a)＋g(b)＝1成立，則有g(shù)(b)＝b2－2b－4≤eq\f(5,4).即4b2－8b－21≤0，解得－eq\f(3,2)≤b≤eq\f(7,2)，則b的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(7,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(7,2)))3．已知f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常數(shù)，a∈R)．(1)當a＝1時，求不等式f(x)≥0的解集；(2)如果函數(shù)y＝f(x)恰有兩個不同的零點，求a的取值范圍．解析：(1)當a＝1時，f(x)＝|2x－1|＋x－5＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－6，x≥\f(1,2)，,－x－4，x<\f(1,2).))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)，,3x－6≥0，))解得x≥2；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)，,－x－4≥0，))解得x≤－4.所以f(x)≥0的解集為{x|x≥2或x≤－4}．(2)由f(x)＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的圖象，觀察可以知道，當－2<a<2時，這兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，即函數(shù)y＝f(x)有兩個不同的零點．故a的取值范圍是(－2,2)．4．(2018·江蘇卷)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點)和線段MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上．設(shè)OC與MN所成的角為θ.(1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍；(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3.求當θ為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．解析：(1)如圖，連接PO并延長交MN于點H，則PH⊥MN，所以O(shè)H＝10.過點O作OE⊥BC于點E，則OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，則矩形ABCD的面積為2×40cosθ·(40sinθ＋10)＝800(4sinθcosθ＋cosθ)，△CDP的面積為eq\f(1,2)×2×40cosθ(40－40sinθ)＝1600(cosθ－sinθcosθ)．過點N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于點G和K，則GK＝KN＝10.令∠GOK＝θ0，則sinθ0＝eq\f(1,4)，θ0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))).當θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ0，\f(π,2)))時，才能作出