高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-大題專項突破-高考大題專項1-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合(壓軸大題)-文-北師大版-北師大版

wordwordword高考大題專項一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合壓軸大題突破1利用導(dǎo)數(shù)求極值、最值、參數(shù)X圍1.已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.2.(2018某某濰坊一模,21)已知函數(shù)f(x)=alnx+x2.(1)若a=-2,判斷f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性;(2)求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值.3.(2018某某師大附中一模,21)已知函數(shù)f(x)=(x-a)ex(a∈R).(1)當(dāng)a=2時,求函數(shù)f(x)在x=0處的切線方程;(2)求f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.4.(2018某某某某3月模擬,21改編)已知函數(shù)f(x)=ax-2lnx(a∈R).若f(x)+x3>0對任意x∈(1,+∞)恒成立,求a的取值X圍.5.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值X圍.6.(2018某某某某一模,21改編)已知函數(shù)f(x)=ex-alnx-e(a∈R),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若當(dāng)x∈[1,+∞)時,f(x)≥0恒成立,求a的取值X圍.突破2利用導(dǎo)數(shù)證明問題及討論零點個數(shù)1.(2018全國3,文21)已知函數(shù)f(x)=ax(1)求曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程;(2)證明:當(dāng)a≥1時,f(x)+e≥0.2.(2018某某某某一模,21改編)已知函數(shù)f(x)=x+.設(shè)函數(shù)g(x)=lnx+1.證明:當(dāng)x∈(0,+∞)且a>0時,f(x)>g(x).3.已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,求a的取值X圍.4.(2018某某某某期末,21改編)已知函數(shù)f(x)=x3-alnx(a∈R).若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,e]上存在兩個不同零點,某某數(shù)a的取值X圍.5.設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)零點的個數(shù);(2)證明:當(dāng)a>0時,f(x)≥2a+aln6.(2018某某中學(xué)押題三,21)已知函數(shù)f(x)=ex-x2+a,x∈R,曲線y=f(x)的圖像在點(0,f(0))處的切線方程為y=bx.(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;(2)當(dāng)x∈R時,求證:f(x)≥-x2+x;(3)若f(x)>kx對任意的x∈(0,+∞)恒成立,某某數(shù)k的取值X圍.高考大題專項一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合壓軸大題突破1利用導(dǎo)數(shù)求極值、最值、參數(shù)X圍1.解(1)由題意知f'(x)=(x-k+1)ex.令f'(x)=0,得x=k-1.當(dāng)x∈(-∞,k-1)時,f'(x)<0,當(dāng)x∈(k-1,+∞)時,f'(x)>0.所以f(x)的遞減區(qū)間是(-∞,k-1),遞增區(qū)間是(k-1,+∞).(2)當(dāng)k-1≤0,即k≤1時,f(x)在[0,1]上遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=-k;當(dāng)0<k-1<1,即1<k<2時,f(x)在[0,k-1]上遞減,在[k-1,1]上遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k-1)=-ek-1;當(dāng)k-1≥1,即k≥2時,f(x)在[0,1]上遞減,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e.綜上,當(dāng)k≤1時,f(x)在[0,1]上的最小值為f(0)=-k;當(dāng)1<k<2時,f(x)在[0,1]上的最小值為f(k-1)=-ek-1;當(dāng)k≥2時,f(x)在[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e.2.解(1)當(dāng)a=-2時,f'(x)=2x-2x由于x∈(1,+∞),故f'(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)遞增.(2)f'(x)=2x+ax=2x2+ax,當(dāng)a≥0時f'(x)≥0,f(x)在[1,e]上遞增,∴fmin當(dāng)a<0時,由f'(x)=0解得x=±-a2(負(fù)值舍去),設(shè)x0=若-a2≤1,即a≥-2,也就是-2≤a<0時,x∈[1,e],f'(x)>0,f(∴fmin(x)=f(1)=1.若1<-a2<e,即-2e2<a<-2時,x∈[1,x0],f'(x)≤0,f(x)遞減,x∈[x0,e],f'(x)≥0,f(x故fmin(x)=f(x0)=-a2+aln-若-a2≥e,即a≤-2e2時,x∈[1,e],f'(x)<0,f(x∴fmin(x)=f(e)=e2+a.綜上所述:當(dāng)a≥-2時,f(x)的最小值為1;當(dāng)-2e2<a<-2時,f(x)的最小值為a2當(dāng)a≤-2e2時,f(x)的最小值為e2+a.3.解(1)設(shè)切線的斜率為k.因為a=2,所以f(x)=(x-2)ex,f'(x)=ex(x-1).所以f(0)=-2,k=f'(0)=e0(0-1)=-1.所以所求的切線方程為y=-x-2,即x+y+2=0.(2)由題意得f'(x)=ex(x-a+1),令f'(x)=0,可得x=a-1.①若a-1≤1,則a≤2,當(dāng)x∈[1,2]時,f'(x)≥0,則f(x)在[1,2]上遞增.所以f(x)min=f(1)=(1-a)e.②若a-1≥2,則a≥3,當(dāng)x∈[1,2]時,f'(x)≤0,則f(x)在[1,2]上遞減.所以f(x)min=f(2)=(2-a)e2.③若1<a-1<2,則2<a<3,所以f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x(1,a-1)a-1(a-1,2)f'(x)-0+f(x)遞減極小值遞增所以f(x)的遞減區(qū)間為[1,a-1],遞增區(qū)間為[a-1,2].所以f(x)在[1,2]上的最小值為f(a-1)=-ea-1.綜上所述:當(dāng)a≤2時,f(x)min=f(1)=(1-a)e;當(dāng)a≥3時,f(x)min=f(2)=(2-a)e2;當(dāng)2<a<3時,f(x)min=f(a-1)=-ea-1.4.解由題意f(x)+x3>0,即a>-x2+2lnxx對任意x∈(1,記p(x)=-x2+2lnxx,定義域為(1,則p'(x)=-2x+2-設(shè)q(x)=-2x3+2-2lnx,q'(x)=-6x2-2x則當(dāng)x>1時,q(x)遞減,所以當(dāng)x>1時,q(x)<q(1)=0,故p'(x)<0在(1,+∞)上恒成立,所以函數(shù)p(x)=-x2+2lnxx在(1,所以當(dāng)x>1時,p(x)<p(1)=-1,得a≥-1,所以a的取值X圍是[-1,+∞).5.解(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4.而f'(x)=2x+a,g'(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.從而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).設(shè)函數(shù)F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,則F'(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由題設(shè)可得F(0)≥0,即k≥1.令F'(x)=0得x1=-lnk,x2=-2.①若1≤k<e2,則-2<x1≤0.從而當(dāng)x∈(-2,x1)時,F'(x)<0;當(dāng)x∈(x1,+∞)時,F'(x)>0.即F(x)在(-2,x1)遞減,在(x1,+∞)遞增.故F(x)在[-2,+∞)的最小值為F(x1).而F(x1)=2x1+2-x12-4x1-2=-x1(x1+故當(dāng)x≥-2時,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,則F'(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).從而當(dāng)x>-2時,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)遞增.而F(-2)=0,故當(dāng)x≥-2時,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2,則F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.從而當(dāng)x≥-2時,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.綜上,k的取值X圍是[1,e2].6.解由f(x)=ex-alnx-e(a∈R),得f'(x)=ex-,當(dāng)a<0時,f'(x)=ex-ax>0,f(x)在x∈[1,+∞)上遞增,f(x)min=f(1)=0(合題意)當(dāng)a>0時,f'(x)=ex-ax,當(dāng)x∈[1,+∞)時,y=ex≥e①當(dāng)a∈(0,e]時,因為x∈[1,+∞),所以y=ax≤e,f'(x)=ex-af(x)在[1,+∞)上遞增,f(x)min=f(1)=0(合題意).②當(dāng)a∈(e,+∞)時,存在x0∈[1,+∞),滿足f'(x)=ex-ax=f(x)在x0∈[1,x0)上遞減,在(x0,+∞)上遞增,故f(x0)<f(1)=0.不滿足x∈[1,+∞)時,f(x)≥0恒成立,綜上所述,a的取值X圍是(-∞,e].突破2利用導(dǎo)數(shù)證明問題及討論零點個數(shù)1.(1)解f'(x)=-ax2+(2因此曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程是2x-y-1=0.(2)證明當(dāng)a≥1時,f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,則g'(x)=2x+1+ex+1.當(dāng)x<-1時,g'(x)<0,g(x)遞減;當(dāng)x>-1時,g'(x)>0,g(x)遞增;所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.2.證明令h(x)=f(x)-g(x)=x+-lnx-1(x>0),h'(x)=1-ax設(shè)p(x)=x2-x-a=0,函數(shù)p(x)的圖像的對稱軸為x=12∵p(1)=1-1-a=-a<0,設(shè)p(x)=0的正根為x0,∴x0>1,由對稱性知,p(x)=0的另一根小于0,且x02-x0h(x)在(0,x0)上是減少的,在(x0,+∞)上是增加的,h(x)min=h(x0)=x0+ax0-lnx0-1=x0+x02-x0x0-lnx0-1=2令F(x)=2x-lnx-2(x>1),F'(x)=2-1x=所以F(x)在(1,+∞)上是增加的.∵F(1)=2-0-2=0,∴F(x)>0,即h(x)min>0,所以,當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)>g(x).3.解法1函數(shù)f(x)的定義域為R,當(dāng)a=0時,f(x)=-3x2+1,有兩個零點±33原函數(shù)草圖∴a=0不合題意;當(dāng)a>0時,當(dāng)x→-∞時,f(x)→-∞,f(0)=1,f(x)存在小于0的零點x0,不合題意;當(dāng)a<0時,f'(x)=3ax2-6x,由f'(x)=3ax2-6x=0,得x1=0,x2=2a<∴在區(qū)間-∞,2a內(nèi)f'(在區(qū)間2a,0內(nèi)f'(x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)f'(x)<0.∴f(x)在區(qū)間-∞,2a內(nèi)是減少的,在區(qū)間2∴若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0?f(x)min=f2a>0?8a2-12a2+1>0?4∵a<0,∴a<-2.解法2曲線y=ax3與曲線y=3x2-1僅在y軸右側(cè)有一個公共點,當(dāng)a≥0時,由圖像知不符合題意;當(dāng)a<0時,設(shè)曲線y=ax3與曲線y=3x2-1相切于點(x0,y0),則ax03=3x0解法3分離成a=-1x3+31x=-t3+3t,令y=a,g(t)=-t3+g'(t)=-3t2+3=3(1-t2),當(dāng)t∈(-1,1)時,g'(t)>0,當(dāng)t>1或t<-1時,g'(x)<0.所以g(t)在(-∞,-1)遞減,在區(qū)間(-1,1)遞增,在(1,+∞)遞減,所以當(dāng)t=-1時,g(t)min=-2,由g(t)=-t3+3t的圖像可知,t=1時,g(t)max=2.x→+∞時,g(t)→+∞,當(dāng)a<-2時,直線y=a與g(t)=-t3+3t的圖像只有一個交點,交點在第四象限,所以滿足題意.4.解由f(x)=0,得a=x3即函數(shù)y=a的圖像與函數(shù)g(x)=x3ln因為g'(x)=x2令g'(x)=0得x=3e所以當(dāng)x∈(1,3e)時,g'(x)<0,函數(shù)在(1,3當(dāng)x∈(3e,e]時,g'(x)>0,函數(shù)在(3則g(x)min=g(3e)=3e,而g(e127)=e327lne127=27要使函數(shù)y=a的圖像與函數(shù)g(x)=x3∴a的取值X圍為(3e,e3].5.(1)解f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=2e2x-(x>0).當(dāng)a≤0時,f'(x)>0,f'(x)沒有零點,當(dāng)a>0時,因為e2x遞增,-ax遞增,所以f'(x)在(0,+∞)遞增又f'(a)>0,當(dāng)b滿足0<b<a4且b<14時,f'(b)故當(dāng)a>0時,f'(x)存在唯一零點.(2)證明由(1),可設(shè)f'(x)在(0,+∞)的唯一零點為x0,當(dāng)x∈(0,x0)時,f'(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時,f'(x)>0.故f(x)在(0,x0)遞減,在(x0,+∞)遞增,所以當(dāng)x=x0時,f(x)取得最小值,最小值為f(x0).由于2e2x所以f(x0)=a2x0+2ax0+aln2a≥2故當(dāng)a>0時,f(x)≥2a+aln26.(1)解根據(jù)題意,得f'(x)=ex-2x,則f'(0)=1=b.由切線方程可得切點坐標(biāo)為(0,0),將其代入y=f(x),得a=-1,故f(x)=ex-x2-1.(2)證明令g(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1.由g'(x)=ex-1=0,得x=0,當(dāng)x∈(-∞,0)