河南省名校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理科）試題

絕密★啟用前姓名：_________考生號：________河南名校聯(lián)盟2020—2021學(xué)年高二（下）期末考試數(shù)學(xué)（理科）考生注意：1．本試卷共8頁．時間120分鐘，滿分150分．答題前，考生先將自己的姓名、考生號填寫在試卷指定位置，并將姓名、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上，然后認(rèn)真核對條形碼上的信息、并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知全集，則（）A．B．C．D．2．已知為虛數(shù)單位，則（）A．B．5C．D．3．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A．3B．4C．5D．64．已知方程，命題甲：是該方程的解；命題乙：是該方程的解，則命題甲是命題乙的（）A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S為（）A．1B．2C．3D．46．已知拋物線的焦點(diǎn)為，若，則的最小值為（）A．0B．1C．2D．37．已知向量為單位向量且滿足，若向量，則（）A．B．C．D．38．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，其外接球的表面積為，則這個幾何體的體積為（）A．20B．16C．20或12D．16或209．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為B．函數(shù)有兩個零點(diǎn)C．函數(shù)為奇函數(shù)D．過坐標(biāo)原點(diǎn)有兩條直線與函數(shù)的圖象相切10．已知函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的最大值為2C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱11．如圖，在正三棱錐中，下列表述不正確的是（）A．B．當(dāng)時，正三棱錐的外接球的表面積為C．當(dāng)時，二面角的大小為D．若，點(diǎn)M，N分別為上一點(diǎn)，則周長的最小值為312．已知，則（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知棱臺．正方形的邊長為2，正方形的邊長為4，平面平面且平面，則棱臺的體積為________．14．已知點(diǎn)滿足不等式組，則的最大值為_______．15．的展開式中，的系數(shù)為________．16．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上一動點(diǎn)，設(shè)的最小值為m，則m的值為___________．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個考題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本小題滿分12分）某公司為獎勵員工實(shí)施了兩種獎勵方案，方案一：每賣出一件產(chǎn)品獎勵4．5元；方案二：賣出30件以內(nèi)（含30件）的部分每賣出一件產(chǎn)品獎勵4元，超出30件的部分每賣出一件產(chǎn)品獎勵7元，員工甲在前10天內(nèi)賣出的產(chǎn)品數(shù)依次為22，23，23，23，25，25，25，29，32，32，若將頻率視為概率，回答以下問題．（Ⅰ）記利用方案二員工甲獲得的日獎勵為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）如果僅從日平均獎勵的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識為員工甲選擇獎勵方案，并說明理由．18．（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．（本小題滿分12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖所示，三棱柱可分解成一個陽馬和一個鱉臑，其中側(cè)面是邊長為3的正方形，，M為線段上一點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求的長，使得線段與平面所成角的正弦值為．20．（本小題滿分12分）已知點(diǎn)，都在橢圓C上，點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)點(diǎn)F為橢圓C的右焦點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）已知直線l的傾斜角為，且與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，問是否存在這樣的直線l使得？若存在，求l的方程；若不存在，說明理由．21．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題計(jì)分．22．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程以及直線l的普通方程；（Ⅱ）若，直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，求的值．23．[選修45：不等式選講]（10分）已知函數(shù)的最小值為m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若，證明：．河南名校聯(lián)盟2020—2021學(xué)年高二（下）期末考試數(shù)學(xué)（理科）答案第Ⅰ卷123456789101112ACACCBBDDDCB一、必做題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】A【解析】根據(jù)公式直接得解，也可用韋恩圖證明，故選A．2．【答案】C【解析】，故選C．3．【答案】A【解析】依題意，，則，又因?yàn)?，所以，則，故選A．4．【答案】C【解析】方程，即，解得或，令可得，同時時，；令可得，同時時，，故選C．5．【答案】C【解析】由程序框圖可知，一共進(jìn)行4次循環(huán)，循環(huán)結(jié)束時，所以最后輸出的值為，故選C．6．【答案】B【解析】由，得，令得，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．故選B．7．【答案】B【解析】根據(jù)題意知，所以，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，所以，故選B．8．【答案】D【解析】根據(jù)題意，外接球的直徑為，該幾何體可看作長方體截得的一部分，如下圖兩種圖形，該幾何體外接球的直徑為長方體的體對角線長，設(shè)長方體底面的寬為x，，∴，故該幾何體的體積為或，故選D．9．【答案】D【解析】由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞増，所以A不正確；分析函數(shù)的大致圖象（也可另，得），可知B錯誤；設(shè)切點(diǎn)為，可得切線方程為，又因?yàn)檫^坐標(biāo)原點(diǎn)，可得，該方程有兩個解，所以D正確；因?yàn)椋訡錯誤．故選D．10．【答案】D【解析】依題意，，函數(shù)，因此點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，故選D．11．【答案】C【解析】易證正三棱錐的對棱垂直，所以，故A正確；當(dāng)時，正三棱錐為正四面體，可放到邊長為2的正方體內(nèi)，所以正三棱錐的外接球的半徑為，外接球的表面積為，故B正確；當(dāng)時，取的中點(diǎn)為M，連接，則即為所求角，令，，則，所以，故C不正確；將側(cè)面沿展開（如圖），則周長的最小值為3，故D正確．故選C．12．【答案】B【解析】由，得，由，得，由，得，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，，畫出的大致圖象如圖所示，分析可得，故選B．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．【答案】28【解析】由棱臺的體積公式可得，所以棱臺的體積為28．14．【答案】6【解析】不等式組表示的可行域如圖所示，由圖可知：當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，z取得最大值，即．15．【答案】401【解析】，分析可知，展開式中的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為401．16．【答案】8【解析】如圖，P為圓上一動點(diǎn)，Q為圓上一動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取，連接，，則，所以易得，所以，又易知，所以．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個考題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．【解析】（Ⅰ）X的分布列為:X8892100116134P（4分）（元）．（6分）（Ⅱ）根據(jù)數(shù)據(jù)，可估算員工甲日平均賣出的產(chǎn)品件數(shù)為；．（8分）員工甲根據(jù)方案一的日平均獎勵為（元），（10分）因?yàn)?，所以建議員工甲選擇方案一．（12分）18．【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，（2分）令，則，解得或1，所以，．所以，從而可得．（6分）（Ⅱ）．（12分）（本題為分組求和法求和：每一組求和正確，得3分）19．【解析】（Ⅰ）由鱉臑的概念，可知平面，平面，，（2分）又∵四邊形是正方形，∴，∵，∴平面，（4分）∵平面，∴平面平面．（6分）（Ⅱ）∵兩兩垂直，∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，（7分）設(shè)，則，∴，（8分）設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則平面的一個法向量為．（10分）線段與平面所成角的正弦值等于，∴，（11分）所以或，故或．（12分）20．【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，由已知有，（2分）解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，假設(shè)存在直線l滿足題意，并設(shè)l的方程為．由，得，（6分）由，得．（8分）由題意易知點(diǎn)F為的重心，所以，即，解得，（10分）當(dāng)時，不滿足，所以不存在直線l，使得．（12分）21．【解析】（Ⅰ），（2分）令，得，令，得或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；故函數(shù)的極小值為，當(dāng)時，分析可得，所以函數(shù)的最小值為．（4分）（Ⅱ）令，當(dāng)時，只有一個零點(diǎn)，由題意知，（6分）因?yàn)?，所以，所以?dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)．故當(dāng)時，存在極小值；又因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)各有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，由，得．當(dāng)，即時，隨著x的變化，與的變化情況如下表：x1+00+極大值極小值所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又因?yàn)椋?，，使得，?0分）所以函數(shù)在區(qū)間只有一個零點(diǎn)；當(dāng)，即時，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以在上單調(diào)遞增，此時，函數(shù)至多一個零點(diǎn)；當(dāng)，即．時，隨著x的變化，與的變化情況如下表：x1+00+極大值極小值所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又因?yàn)?，所以?dāng)時，，此時，函數(shù)在區(qū)間無零點(diǎn)，在區(qū)間上至多一個零點(diǎn)；又∵，∴當(dāng)時，．∵，∴當(dāng)時，零點(diǎn)的個數(shù)與的零點(diǎn)個數(shù)相同．當(dāng)時，只有一個零點(diǎn)；綜上可知，若有兩個不同的零點(diǎn)，．（12分）（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題計(jì)分．22．【解析】（Ⅰ）依題意，曲線，故，（1分）即曲線C的極坐標(biāo)方程為；（3分）由消去參數(shù)t可得直線l的普通方程為．（5分）（Ⅱ）先將直線l的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程為代入中，（7分）化簡可得，