2024年惠州市一中高二數(shù)學(xué)4月第一次階段考試卷附答案解析

2024年惠州市一中高二數(shù)學(xué)4月第一次階段考試卷（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）2024.04一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列的前n項和為，（

）A．7 B．8 C．9 D．103．已知曲線與曲線在交點處有相同的切線，則（

）A．1 B． C． D．4．2020年12月17日，嫦娥五號的返回器攜帶1731克月球樣本成功返回地球，我國成為第三個實現(xiàn)月球采樣返回的國家，中國人朝著成功登月又邁進了重要一步．下圖展示了嫦娥五號采樣返回器從地球表面附近運行到月球表面附近的大致過程．點表示地球中心，點表示月球中心．嫦娥五號采樣返回器先沿近地球表面軌道作圓周運動，軌道半徑約為地球半徑．在地球表面附近的點處沿圓的切線方向加速變軌后，改為沿橢圓軌道運行，并且點為該橢圓的一個焦點．一段時間后，再在近月球表面附近的點處減速變軌作圓周運動，此時軌道半徑約為月球半徑．已知月球中心與地球中心之間距離約為月球半徑的222倍，地球半徑約為月球半徑的3.7倍．則橢圓軌道的離心率約為（

）A．0.67 B．0.77 C．0.87 D．0.975．已知直線l經(jīng)過點，則“直線l的斜率為”是“直線l與圓C：相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知，則滿足的有序數(shù)組共有（）個A． B． C． D．7．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)，則（

）A． B． C． D．8．依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“第一次拋擲骰子的點數(shù)為2”，表示事件“第一次拋擲骰子的點數(shù)為奇數(shù)”，表示事件“兩次拋擲骰子的點數(shù)之和為6”，表示事件“兩次拋擲骰子的點數(shù)之和為7”，則（

）A．與為對立事件 B．與為相互獨立事件C．與為相互獨立事件 D．與為互斥事件二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．若數(shù)列的前n項和，數(shù)列的通項，則（

）A． B．數(shù)列的前n項和C．若，數(shù)列的前n項和 D．的前20項積為10．布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）．把三片這樣的達芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體，若圖3中每個正方體的棱長為1，則（

）

A．B．若M為線段上的一個動點，則的最大值為2C．點P到直線的距離是D．異面直線與所成角的正切值為11．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上的動點，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是（

）A．雙曲線的離心率B．為定值C．的最小值為3D．若直線與雙曲線的漸近線交于、兩點，點為的中點，（為坐標原點）的斜率為，則三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．在的展開式中，的一次項的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.13．2024年3月17日惠州馬拉松賽事設(shè)置了江北體育館、惠州西湖、東坡祠、金山湖、惠州奧林匹克體育場等5個志愿者服務(wù)點，小明和另3名同學(xué)要去以上5個服務(wù)點中的某一個服務(wù)點參加志愿者服務(wù)活動，則小明去東坡祠服務(wù)點，且4人中恰有兩人去同一志愿者服務(wù)點的概率為．14．已知函數(shù)滿足若，函數(shù)，則．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知點，動點P滿足，(1)求動點P的軌跡方程；(2)設(shè)動點P的軌跡為曲線C，若直線l過點，且曲線C截l所得弦長等于，求直線l的方程．16．如圖，在直三棱柱中，分別為的中點，點Q在線段上．(1)當時，證明：B，N，M，Q四點共面；(2)若平面與平面夾角的余弦值為時，求的長度．17．已知等比數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)保持數(shù)列中的各項順序不變，在每兩項與之間插入一項（其中）組成新的數(shù)列記數(shù)列的前n項和為，若，求n的最小值．18．設(shè)函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)當時，討論的單調(diào)性；(3)在（1）條件下，若對任意，有恒成立，求m的最大值．19．已知拋物線，過焦點F的直線交拋物線于兩點，且.(1)求拋物線的方程；(2)若線段交軸于兩點，判斷是否是定值，若是，求出該值，否則說明理由.(3)若直線交拋物線于兩點，，是否存在整數(shù)，使得的重心恰在拋物線上.若存在，求出滿足條件的所有的值，否則說明理由.1．C【分析】由斜率直接求解傾斜角即可.【詳解】設(shè)傾斜角為，則，則.故選：C.2．B【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前n項和公式即可得到，再由等差數(shù)列的求和公式即可得到結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，又，則，即，則，故選：B3．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，從而可求解.【詳解】由題知曲線和曲線在交點處有相同的切線，即斜率相等，所以對于曲線，求導(dǎo)得，所以在點處的切線斜率為，對于曲線，求導(dǎo)得，所以，得，故B正確.故選：B.4．D【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓軌道的長半軸長及半焦距即可計算得出.【詳解】設(shè)此橢圓的長半軸長為，半焦距為，月球半徑為，地球半徑為，月球中心與地球中心距離為，則，，于是，，所以離心率為．故選：5．C【分析】由題求得過且與圓相切的直線方程，即可判斷命題關(guān)系【詳解】由題，圓是圓心為，半徑為的圓，當直線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心到直線距離為1，不等于半徑，與圓不相切不符合；當直線的斜率存在時，設(shè)直線為，化為一般式即，則圓心到直線距離為，解得,所以“直線的斜率為”是“直線與圓相切”的充要條件,故選：C.6．A【分析】分步乘法原理，先判斷有序數(shù)組中包含個0，再剩余兩個數(shù)在或中選擇，每個位置有2種選擇，最后結(jié)合組合數(shù)計算得出結(jié)果.【詳解】所有有序數(shù)組中,滿足的有序數(shù)組中包含個0，另外兩個數(shù)在或中選擇，每個位置有2種選擇，由乘法計數(shù)原理得不同的種數(shù)為故選：A.7．A【分析】設(shè)，利用求導(dǎo)判斷該函數(shù)的單調(diào)性，比較的大小，再設(shè)，利用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到，可比較的大小，即得.【詳解】設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.因，則，即得；再設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.故時，，則，即，故得.綜上，可得.故選：A.8．C【分析】利用列舉法與古典概型的概率公式求得各事件的概率，由即可判斷A；由即可判斷B；由即可判斷C，由即可判斷D.【詳解】依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，兩次的結(jié)果用有序數(shù)對表示，其中第一次在前，第二次在后，樣本空間如下：，共36個．則事件包括，共6個，，事件包括，共18個，，事件包括，共5個，，事件包括，共6個，.對于A，，所以與不為對立事件，故A錯誤；對于B，事件且包括，則，又，，所以，即與不相互獨立，故B錯誤；對于C，事件且包括，則，又，，所以，即與相互獨立，故C正確；對于D，事件且包括，則，即與不為互斥事件，故D錯誤.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用列舉法和古典概型的概率公式求得各事件的概率是解決本題的關(guān)鍵.9．AC【分析】由的關(guān)系判斷A，根據(jù)等比數(shù)列求和公式判斷B，由裂項相消法求和判斷C，由等差數(shù)列求和公式判斷D.【詳解】對于A，當時，，當時，，時，符合，綜上，，故A正確；對于B，由，可知，故B錯誤；對于C，由，所以，故C正確；對于D，因為，故D錯誤.故選：AC10．BCD【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)坐標運算可判斷A；利用坐標表示出，即可判斷B；根據(jù)點到直線的向量公式可判斷C；利用向量夾角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解，可判斷D.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，故，，所以，A錯誤；記，則，所以，當時，取得最大值2，B正確；記同向的單位向量為，則點P到直線的距離，C正確；記異面直線與所成角為，則，所以，所以，D正確.故選：BCD

11．ABD【分析】利用點到直線的距離求出，可求出離心率，判斷A，利用點到線距離結(jié)合在雙曲線上證明為定值判斷B，聯(lián)立方程組解出交點坐標求出的距離的最小值判斷C，對D選項，設(shè)、，則，由，兩式相加和兩式相減化簡可得，，從而得到，可判斷D.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，圓與漸近線相切，則，即，所以，則，故A正確；由A選項可得雙曲線的兩條漸近線方程為，設(shè)為雙曲線上任意一點，則，所以點到兩漸近線的距離，，所以為定值，故B正確；過與漸近線垂直的方程分別與漸近線組成方程組求出交點坐標，，解得交點，同理得，因為為雙曲線右支上的動點，所以，則，故C錯誤；對D選項，設(shè)、，則，又、在雙曲線的兩條漸近線上，則，兩式相減可得，即，兩式相加可得，即，又，，所以，故D正確.故選：ABD12．【分析】利用二項式定理得到的展開通項公式，再分別求含項與常數(shù)項的系數(shù)即可得解.【詳解】因為的展開通項公式為，所以的一次項的系數(shù)為.故答案為：.13．【分析】先求出4名同學(xué)共有種選擇，再分兩種情況，得到明去東坡祠服務(wù)點，且4人中恰有兩人去同一志愿者服務(wù)點的情況數(shù)，從而求出概率.【詳解】4名同學(xué)各自有5種選擇，故共有種選擇，小明去東坡祠服務(wù)點，且4人中恰有兩人去同一志愿者服務(wù)點分為兩種情況，①除小明外的3人中有1人和小明組成一隊，此時有種選擇，剩余的2人從剩余的4個服務(wù)點各選一個，有種選擇，故此時有種選擇，②除小明外的3人中有2人組成一隊，且從剩余的4個服務(wù)點各選一個，此時有種選擇，綜上，共有種選擇，故小明去東坡祠服務(wù)點，且4人中恰有兩人去同一志愿者服務(wù)點的概率為故答案為：14．3036【分析】根據(jù)題意利用累乘法可得，進而可得，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)以及函數(shù)的對稱性分析運算.【詳解】因為，則，所以，則，所以，又，所以，故答案為：303615．(1)(2)或【分析】（1）直接根據(jù)條件列式，化簡整理可得曲線的方程，進而判斷曲線類型；（2）分為兩種情況討論：若直線的斜率不存在，直接驗證即可；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由弦長可得圓心到直線的距離，列出方程可求得，從而得出答案.【詳解】（1）由題知，設(shè)點，由，則，所以，即，整理得，所以曲線是圓心為，半徑等于的圓，故曲線的方程為：.（2）如圖，若直線的斜率不存在，則直線的方程為：，與的交點坐標為，此時弦長等于，滿足題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，曲線截所得弦長等于，所以，解得：，圓心到直線的距離，所以，解得，則直線的方程為：，即綜上，直線的方程為：或.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點坐標，通過證明三向量共面，即可證得結(jié)論；（2）分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量的夾角公式列出方程，求解即得.【詳解】（1）如圖，因三棱柱是直三棱柱，且，故可分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系.又由分別為的中點，且，則得：,于是，,易得：，因則,故三向量共面，即B，N，M，Q四點共面.（2）由題意及（1）可得：易得平面平面，故平面的法向量可取為；不妨設(shè)，則，,設(shè)平面的一個法向量為，則故可取.設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，或（舍去）.即的長度為.17．(1)(2)15【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列求和公式化簡得出公比即可求出通項公式；（2）根據(jù)題意可以先分組求和，再并項后利用錯位相減法求，分析可知，只需比較與大小即可得解.【詳解】（1）因為，所以，解得，所以.（2）因為所以，，所以，兩式相減得：，所以，易知隨著增大而增大，當時，，當時，，而綜上，的最小值為.18．(1)極小值為，無極大值(2)詳解見解析(3)【分析】（1）求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性即可確定極值；（2）求導(dǎo)可得，分類討論當、、、時函數(shù)對應(yīng)的單調(diào)性，即可求解；（3）分離參數(shù)并構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)可得，判斷函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可求解.【詳解】（1）當時，，則，，令，得，令，得.故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極小值，無極大值.（2）當時，，則，當時，，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，由，解得或0，若即時，令，或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增；若即時，，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減；若即時，令，或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增.（3）對恒成立，即對恒成立.令，則只需即可..易知均在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增且.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增..故，即的最大值為.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問題的求解策略：形如的恒成立的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進而得到不等式恒成立.19．(1)(2)為定值，且定值為2(3)存在，【分析】（1）聯(lián)立直線和拋物線方程由韋達定理可得，即可求出拋物線的方程；（2）求出直線的方程得出的表達式，由韋達定理化簡可得；（3）利用弦長公式可求出關(guān)于的式子，再結(jié)合為整數(shù)即可得出.【詳解】（1）易知焦點，設(shè)過焦點的直線的方程為