湖南省長沙市師大附屬中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

湖南省長沙市師大附屬中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出空間下列結(jié)論，則其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行④垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行．A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】利用空間直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系判斷即可．【解答】解：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，可能是異面直線，所以不正確；②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行，滿足直線與平面垂直的性質(zhì)定理，正確；③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行，滿足直線與平面垂直的性質(zhì)定理，正確；④垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行，也可能相交，所以不正確；故選：C．2.在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1，則=+；類比此性質(zhì)，如圖，在四面體P﹣ABC中，若PA，PB，PC兩兩相垂直，底面ABC上的高為h，則得到的正確結(jié)論為（）A．=++

B．=++C．=++ D．=++參考答案：B【考點(diǎn)】F3：類比推理．【分析】直角三角形的斜邊上的高，可以類比到兩兩垂直的三棱錐的三條側(cè)棱和過頂點(diǎn)向底面做垂線，垂線段的長度與三條側(cè)棱之間的關(guān)系與三角形中的關(guān)系類似．【解答】解：由平面類比到空間，是常見的一種類比形式，直角三角形的斜邊上的高，可以類比到兩兩垂直的三棱錐的三條側(cè)棱和過頂點(diǎn)向底面做垂線，垂線段的長度與三條側(cè)棱之間的關(guān)系與三角形中的關(guān)系類似：=++，故選：B【點(diǎn)評】本題考查類比推理，是一個(gè)平面圖形與空間圖形之間的類比，注意兩個(gè)圖形中的條件的相似的地方．3.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，設(shè)∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e1，以C，D為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率為e2，則（）A．隨著角度θ的增大，e1增大，e1e2為定值B．隨著角度θ的增大，e1減小，e1e2為定值C．隨著角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．隨著角度θ的增大，e1減小，e1e2也減小參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】連接BD、AC，假設(shè)AD=t，根據(jù)余弦定理表示出BD，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷e1的單調(diào)性；同樣表示出橢圓中的c'和a'表示出e2的關(guān)系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的關(guān)系．【解答】解：連接BD，AC設(shè)AD=t，則BD==∴雙曲線中a=e1=∵y=cosθ在（0，）上單調(diào)減，進(jìn)而可知當(dāng)θ增大時(shí)，y==減小，即e1減小∵AC=BD∴橢圓中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣cosθ）AC+AD=+t，∴a'=（+t）e2==∴e1e2=×=1故選B．4.先后拋3枚均勻的硬幣,至少出現(xiàn)一次正面的概率為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D5.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A．]

B．

C．

D．參考答案：C6.已定義在R上的函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)，且對任意都有，若函數(shù)在[－1,2]上與f(x)具有相同的單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A.(－∞,0] B.(－∞,12] C.[0,+∞) D.[1,+∞)參考答案：A分析：易得函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，令，則，（為常數(shù)），求出的單調(diào)性，從而求出在的單調(diào)性，得到在恒成立，求出的范圍即可．詳解：∵定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)無零點(diǎn)，∴函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，

令，則，在]恒成立，故在遞增，

結(jié)合題意在上遞增，

故在恒成立，

故在恒成立，故，

故選：A．點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題7.直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)出橢圓的方程，求出直線的方程，利用已知條件列出方程，即可求解橢圓的離心率．【解答】解：設(shè)橢圓的方程為：，直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，則直線方程為：，橢圓中心到l的距離為其短軸長的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故選：B．8.橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則a的值是(

）A.

B.1或–2

C.1或 D.1參考答案：D

9.從0，2，4中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.24 B.27 C.30 D.36參考答案：C【分析】分兩種情況討論：選0或2，4，分別求出組成無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)，再求和即可.【詳解】第一類，從0，2，4中選一個(gè)數(shù)字，若選0，則0只能排在十位，故有個(gè)奇數(shù)，第二類，從0，2，4中選一個(gè)數(shù)字，若不選0，先把奇數(shù)排個(gè)位，再排其它，故有個(gè)奇數(shù)，綜上可得，從0，2，4中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.10.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(n∈N*),若前n項(xiàng)和為9,則項(xiàng)數(shù)n為(

)A.99

B.100

C.101

D.102參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復(fù)數(shù)z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(z1－z2)i的實(shí)部為________．參考答案：略12.已知等差數(shù)列{an}中，a3、a15是方程x2﹣6x﹣1=0的兩根，則a7+a8+a9+a10+a11=

．參考答案：15【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得a3+a15=6，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15，由此求得要求式子的值．【解答】解：由題意可得a3+a15=6，又a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15，∴a7+a8+a9+a10+a11=（2+）（a3+a15）=×6=15，故答案為15．【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程等于系數(shù)的關(guān)系，等差數(shù)列的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．13.若滿足

．參考答案：－2則，據(jù)此可得：.

14.已知中，AB=4，AC=5，且的面積等于5，則=

．參考答案：或

15.投擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和為12的概率為______.參考答案：【分析】計(jì)算出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中基本事件的個(gè)數(shù)后可得所求的概率.【詳解】記為“投擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和為12”，則投擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)共有種，而投擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和為只有1種，故，故填.【點(diǎn)睛】古典概型的概率計(jì)算，關(guān)鍵在于基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中基本事件的個(gè)數(shù)的計(jì)算，可用枚舉法或排列組合的知識來計(jì)算，注意基本事件要符合等可能這個(gè)要求.16.直線y=x+1被橢圓x2+2y2=4所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是

參考答案：(—,)17.某同學(xué)在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，得到如下的結(jié)論：①的單調(diào)遞減區(qū)間是；②無最小值，無最大值；③的圖象與它在（0，0）處切線有兩個(gè)交點(diǎn)；④的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)．其中正確結(jié)論的序號是

.參考答案：①④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，，直線與曲線切于點(diǎn)，且與曲線切于點(diǎn).

（Ⅰ）求，的值和直線的方程；

（Ⅱ）證明：參考答案：見解析：（Ⅰ），，

則，，又，.

則曲線在點(diǎn)處的切線方程為；

曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，

則，直線的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

設(shè)，則，由，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.由上可知，，且兩個(gè)等號不同時(shí)成立，故.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知（－3，0）（3，0）P（x，y）M（，0），若向量滿足（1）

求P點(diǎn)的軌跡方程，并判斷P點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線；（2）

過點(diǎn)且斜率為1的直線與（1）中的曲線相交的另一點(diǎn)為B，能否在直線x＝－9上找一點(diǎn)C，使為正三角形。參考答案：解：（1）由已知可得----------2’-------------4’即P點(diǎn)的軌跡方程是即，故P點(diǎn)的軌跡是與6為長軸，2為焦距的橢圓---------6’（只答橢圓的扣1分）（2）過點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x＋3---------7’由得-----------10’從而------------11’設(shè)C（－9，y），-----------12’因?yàn)槭钦切?，，即，無解，---------13’所以在直線x＝-9上找不到點(diǎn)C，使是正三角形。-----略20.（12分）如圖，在底面是正三角形的三棱錐P﹣ABC中，D為PC的中點(diǎn)，PA=AB=1，PB=PC=．（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABC；（Ⅱ）求BD與平面ABC所成角的大??；（Ⅲ）求二面角D﹣AB﹣C的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出PA⊥AB，PA⊥AC，由此能證明PA⊥平面ABC．（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AP為z軸，平面ABC中垂直于AB的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BD與平面ABC所成角．（Ⅲ）求出平面ABD的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出二面角D﹣AB﹣C的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）∵PA=AB=1，PB=，∴PA⊥AB，…（1分）∵底面是正三角形，∴AC=AB=1，∵PC=，∴PA⊥AC，…（2分）∵AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，∴PA⊥平面ABC．…（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AP為z軸，平面ABC中垂直于AB的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（，0），P（0，0，1），…∴D（），=（﹣）．…平面ABC的法向量為=（0，0，1），…（6分）記BD與平面ABC所成的角為θ，則sinθ==，…（7分）∴，∴BD與平面ABC所成角為．…（8分）（Ⅲ）設(shè)平面ABD的法向量為=（x，y，z），則，取y=2，得=（0，2，﹣）．

…（11分）記二面角D﹣AB﹣C的大小為α，則cosα==，∴二面角D﹣AB﹣C的余弦值為．…（12分）【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的證明，考查線面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．21.如圖所示，ABCD是邊長為40cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè).（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積最大，試問x應(yīng)取何值？（2）若廣告商要求包裝盒容積最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值。參考答案：(1).(2)當(dāng)時(shí)，包裝盒的容積最大，此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值為.分析】設(shè)包裝盒的高為，底面邊長為，（1）中，求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.（2）中，求得容積，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】設(shè)包裝盒的高為，底面邊長為.由已知得，，.（1），所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.（2）由題意，可得，則.由得（舍去）或.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，此時(shí).即當(dāng)時(shí)，包裝盒的容積最大，此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，設(shè)出變量，列出函數(shù)的解析