2024年進(jìn)才高一下期中試卷含答案

上海市進(jìn)才中學(xué)2024學(xué)年第二學(xué)期期中考試高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題命（時(shí)間90分鐘，滿分100分）題教師：審題教師一、填空題（滿分36分，共12小題，每小題3分）1.與反向的單位向量為__________．2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______．3.設(shè)，是不共線向量，與共線，則實(shí)數(shù)為__________．4.已知，，則______.5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是______.6.已知，且，則實(shí)數(shù)______．7.已知單位向量，滿足，則______．8.已知向量，則在方向上數(shù)量投影為___________9.如圖，在中，P為線段AB上一點(diǎn)，則，若，，，且與的夾角為，則的值為_______.10.如圖，中，，，CD與BE交于F，設(shè)，，，則__________．11.如圖，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，，，直線交的圖象于點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為的重心三條邊中線的交點(diǎn)，其中，則__________．12.在斜三角形△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，的最小值為____________二、選擇題（本大題共4題，每題4分，共16分，每題只有一個(gè)正確答案）13.設(shè)，是兩個(gè)非零向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若|＋|＝||－||，則⊥B.若⊥，則|＋|＝||－||C.若|＋|＝||－||，則存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λD.若存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ，則|＋|＝||－||14.已知和都是銳角，向量，，則（）A.存在和，使得 B.存在和，使得C.存在和，使得 D.存在和，使得15.已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且直線與函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)之間的最短距離為，則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.的最小正周期為B.單調(diào)遞減區(qū)間是，C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)16.有下面兩個(gè)命題：①若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)；②若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）．A.①②都正確 B.①正確②錯(cuò)誤 C.①錯(cuò)誤②正確 D.①②都錯(cuò)誤三、解答題（本大題共5題，滿分48分，解答要有論證過(guò)程與運(yùn)算步驟）17.已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，是否存在實(shí)數(shù)m，使得A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18.已知向量，，．（1）若向量，能構(gòu)成一組基底，求實(shí)數(shù)m的范圍；（2）若，且，求向量與的夾角大小．19.為解決社區(qū)老年人“一餐熱飯”的問(wèn)題，某社區(qū)與物業(yè)、第三方餐飲企業(yè)聯(lián)合打造了社區(qū)食堂，每天為居民提供品種豐富的飯菜，還可以提供送餐上門服務(wù)，既解決了老年人的用餐問(wèn)題，又能減輕年輕人的壓力，受到群眾的一致好評(píng).如圖，送餐人員小夏從處出發(fā)，前往，，三個(gè)地點(diǎn)送餐.已知，，，且，.（1）求的長(zhǎng)度.（2）假設(shè)，，，均為平坦的直線型馬路，小夏騎著電動(dòng)車在馬路上以的速度勻速行駛，每到一個(gè)地點(diǎn)，需要2分鐘的送餐時(shí)間，到第三個(gè)地點(diǎn)送完餐，小夏完成送餐任務(wù).若忽略電動(dòng)車在馬路上損耗的其他時(shí)間（例如：等紅綠燈，電動(dòng)車的啟動(dòng)和停止…），求小夏完成送餐任務(wù)的最短時(shí)間.20.如圖，梯形，，，，為中點(diǎn)，．（1）當(dāng)時(shí)，用向量表示的向量；（2）若為大于零常數(shù)），求的最小值，并指出相應(yīng)的實(shí)數(shù)的值．21.已知函數(shù)是定在上函數(shù)，且滿足關(guān)系．（1）若，若，求的值域；（2）若，存在，對(duì)任意，有恒成立，求的最小值；（3）若，要使得在內(nèi)恰有2022個(gè)零點(diǎn)，請(qǐng)求出所有滿足條件的與．

上海市進(jìn)才中學(xué)2024學(xué)年第二學(xué)期期中考試高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題命（時(shí)間90分鐘，滿分100分）題教師：顧彥知審題教師：張軼平一、填空題（滿分36分，共12小題，每小題3分）1.與反向的單位向量為__________．【答案】【解析】【分析】反向單位向量即為，代入即可.【詳解】與反向的單位向量為.故答案為：.2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______．【答案】（）【解析】【分析】根據(jù)正切型三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法求得正確答案.【詳解】由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）故答案為：（）3.設(shè)，是不共線向量，與共線，則實(shí)數(shù)為__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量平行列出方程組，求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，是不共線向量，與共線，所以存實(shí)數(shù)使得，所以，解得：.故答案為：4.已知，，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即，所以，故答案為?5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是______.【答案】【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?；所以由可得x∈所以函數(shù)的遞減區(qū)間為．考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì).6.已知，且，則實(shí)數(shù)______．【答案】##-0.2【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：7.已知單位向量，滿足，則______．【答案】##0.2【解析】【分析】由向量垂直及向量數(shù)量積的運(yùn)算律、數(shù)量積的定義列方程求夾角余弦值即可.【詳解】由題意，解得．故答案為：8.已知向量，則在方向上的數(shù)量投影為___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量投影的定義計(jì)算即可【詳解】向量，，，所以在方向上的數(shù)量投影為；故答案為：9.如圖，在中，P為線段AB上一點(diǎn)，則，若，，，且與的夾角為，則的值為_______.【答案】-3【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算及平面向量基本定理，用表示與，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可【詳解】因?yàn)椋裕裕矗蚀鸢笧椋?310.如圖，中，，，CD與BE交于F，設(shè)，，，則為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)平面向量基本定理，將用已知向量，表示出來(lái)，列出方程組即可求解.【詳解】解：設(shè)，，同理設(shè)，，根據(jù)平面向量基本定理，得，解得，，故答案為：11.如圖，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，，，直線交的圖象于點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為的重心三條邊中線的交點(diǎn)，其中，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象，求得函數(shù)的解析式，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】因?yàn)镺為的重心，且，可得，解得，所以，所以，所以，所以，解得，可得，由，即，可得，解得，又由，所以，所以，于是，所以..故答案為：.12.在斜三角形△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，的最小值為____________【答案】##【解析】【分析】利用正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系和基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，又因?yàn)?，所以，整理可得，因?yàn)?，所以，且，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，故答案為：.二、選擇題（本大題共4題，每題4分，共16分，每題只有一個(gè)正確答案）13.設(shè)，是兩個(gè)非零向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若|＋|＝||－||，則⊥B.若⊥，則|＋|＝||－||C.若|＋|＝||－||，則存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λD.若存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ，則|＋|＝||－||【答案】C【解析】【詳解】利用排除法可得選項(xiàng)C是正確的，∵|＋|＝||－||，則，共線，即存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ．如選項(xiàng)A：|＋|＝||－||時(shí)，，可為異向的共線向量；選項(xiàng)B：若⊥，由正方形得|＋|＝||－||不成立；選項(xiàng)D：若存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ，，可為同向的共線向量，此時(shí)顯然|＋|＝||－||不成立14.已知和都是銳角，向量，，則（）A.存在和，使得 B.存在和，使得C.存在和，使得 D.存在和，使得【答案】B【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及和角公式得到，即可判斷A、C，當(dāng)時(shí)可以判斷B，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷D.【詳解】因?yàn)楹投际卿J角，所以，又，，所以，，，因?yàn)椋?，故，因此A和C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即，所以B正確；，所以D錯(cuò)誤；故選：B.15.已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且直線與函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)之間的最短距離為，則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.的最小正周期為B.的單調(diào)遞減區(qū)間是，C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.【詳解】由題知直線與函數(shù)的交點(diǎn)之間的最短距離為，所以，故A正確；所以，所以，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，令，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，故B正確；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，故D正確．故選:C．16.有下面兩個(gè)命題：①若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)；②若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）．A.①②都正確 B.①正確②錯(cuò)誤 C.①錯(cuò)誤②正確 D.①②都錯(cuò)誤【答案】B【解析】【分析】由周期函數(shù)的定義判斷兩個(gè)命題即可.【詳解】若是周期函數(shù)，設(shè)周期為，則，則也是周期函數(shù)，故①正確；若是周期函數(shù)，設(shè)周期為，則，不一定成立，故②錯(cuò)誤.故選：B.三、解答題（本大題共5題，滿分48分，解答要有論證過(guò)程與運(yùn)算步驟）17.已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，是否存在實(shí)數(shù)m，使得A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】存在；m的取值集合為．【解析】【分析】假設(shè)存在，再通過(guò)分類討論以及利用平面向量處理垂直問(wèn)題進(jìn)行求解.【詳解】存在實(shí)數(shù)m，理由如下：由題意，得，，．若A為直角，則，得．若B為直角，則，得．若C為直角，則，，所以方程無(wú)解．故m的取值集合為．18.已知向量，，．（1）若向量，能構(gòu)成一組基底，求實(shí)數(shù)m的范圍；（2）若，且，求向量與的夾角大?。敬鸢浮浚?）且（2）【解析】分析】（1）若向量，能構(gòu)成一組基底，則向量，不共線，則，從而可得答案；（2）由，可得，從而可求的得，再根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】若向量，能構(gòu)成一組基底，則向量，不共線，則，解得且；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，即，解得，所以，，則，又因?yàn)?，所以，即向量與的夾角為.19.為解決社區(qū)老年人“一餐熱飯”的問(wèn)題，某社區(qū)與物業(yè)、第三方餐飲企業(yè)聯(lián)合打造了社區(qū)食堂，每天為居民提供品種豐富的飯菜，還可以提供送餐上門服務(wù)，既解決了老年人的用餐問(wèn)題，又能減輕年輕人的壓力，受到群眾的一致好評(píng).如圖，送餐人員小夏從處出發(fā)，前往，，三個(gè)地點(diǎn)送餐.已知，，，且，.（1）求的長(zhǎng)度.（2）假設(shè)，，，均為平坦的直線型馬路，小夏騎著電動(dòng)車在馬路上以的速度勻速行駛，每到一個(gè)地點(diǎn)，需要2分鐘的送餐時(shí)間，到第三個(gè)地點(diǎn)送完餐，小夏完成送餐任務(wù).若忽略電動(dòng)車在馬路上損耗的其他時(shí)間（例如：等紅綠燈，電動(dòng)車的啟動(dòng)和停止…），求小夏完成送餐任務(wù)的最短時(shí)間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求解；（2）根據(jù)余弦定理求解，進(jìn)而得，由兩角和與差的余弦公式可得，進(jìn)而由余弦定理求解，根據(jù)三種不同的送餐路線，計(jì)算路程的大小，即可比較求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，在中，由余弦定理，?【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理，得，所以，所以.在中，由余弦定理，得，解得.假設(shè)小夏先去地，走路線，路長(zhǎng)，假設(shè)小夏先去地，因?yàn)椋宰呗肪€，路長(zhǎng)，假設(shè)小夏先去地，走路線，路長(zhǎng)，由于，所以小夏走路線，且完成送餐任務(wù)的最短時(shí)間為.20.如圖，梯形，，，，為中點(diǎn)，．（1）當(dāng)時(shí)，用向量表示的向量；（2）若為大于零的常數(shù)），求的最小值，并指出相應(yīng)的實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形，先證得四邊形是平行四邊形，從而利用向量的線性運(yùn)算即可得解.（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，得到關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求模得到關(guān)于的二次表達(dá)式，從而可求得的最小值及相應(yīng)的值.【小問(wèn)1詳解】過(guò)作交于，如圖，因?yàn)?，所以，，則四邊形是平行四邊形，故，即是的中點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以．.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，，，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取得最小值．所以的最小值為，此時(shí)．21.已知函數(shù)是定在上的函數(shù)，且滿足關(guān)系．（1）若，若，求的值域；（2）若，存在，對(duì)任意，有恒成立，求的最小值；（3）若，要使得在內(nèi)恰有2022個(gè)零點(diǎn)，請(qǐng)求出所有滿足條件的與．【答案】（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的解析式，即可得出在上的值域；（2）化簡(jiǎn)函數(shù)，通過(guò)對(duì)應(yīng)圖像即可得出恒成立，求的最小值；（3）化簡(jiǎn)函數(shù)，設(shè)將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖像與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)討論二次函數(shù)的周期性，即可得出在內(nèi)恰有2022個(gè)零點(diǎn)，所有滿足條件的與．【小問(wèn)1詳解】由題意，在中，，在中，，當(dāng)時(shí)，，∴的值域?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】由題意及（1）得，在中，①當(dāng)即，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，，②當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，，③當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，④當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，，∴函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，圖像如下：在中，存在，對(duì)任意，有恒成立，∴∴當(dāng)最小時(shí)，由圖像可知，，【小問(wèn)3詳解】由題意，，在中，，中，，在中，，∵，設(shè)，，∴函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，在上最多與軸有1~2個(gè)交點(diǎn)，∵在周期內(nèi)，與有1~2個(gè)交點(diǎn)，∴在上有1~4個(gè)交點(diǎn)，∴若在內(nèi)恰有2022個(gè)零點(diǎn)，則，在中，當(dāng)即或，此時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)，①當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，若均不為-1和1，此時(shí)與有2個(gè)交點(diǎn)，則在有4個(gè)交點(diǎn)，，解得：，∴當(dāng)有2022個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，若有一個(gè)為-1或1，此時(shí)與有2個(gè)交點(diǎn)，則在有3個(gè)交點(diǎn)，，解得：，或，解得：，∴當(dāng)有2022個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，，②當(dāng)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，此時(shí)與有1個(gè)交點(diǎn)，則在有2個(gè)交點(diǎn)，，解得：，或，解得：，∴當(dāng)有2022個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，，綜上：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖像，二次函數(shù)，零點(diǎn)問(wèn)題等，考查學(xué)生的作圖能力，三角函數(shù)的恒等變換能力，分段函數(shù)的應(yīng)用及去絕對(duì)值的能力，具有極強(qiáng)的綜合性.

2024學(xué)年南模中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.1.終邊落在軸負(fù)半軸的角的集合為______.2.已知,則________3已知，，則=_____4.若，則的取值范圍是______.5.一個(gè)扇形的面積為1，周長(zhǎng)為4，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為______．6.方程的解集為______.7.在內(nèi)，使成立的的取值范圍為____________8.若，則函數(shù)的最大值為_________．9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知任意角以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為始邊，若終點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且（），定義：，稱“”為“正余弦函數(shù)”，對(duì)于“正余弦函數(shù)”，有同學(xué)得到以下性質(zhì)，其中正確的是______.（填上所有正確的序號(hào)）①該函數(shù)的值域?yàn)?；②該函?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④該函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為.10.函數(shù)的值域?yàn)開_______.11.已知，則取值范圍是______.12.已知函數(shù)，（），若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍為_______.二、選擇題（本大題共有4小題，滿分18分）每小題給出四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，13、14題每個(gè)空格填對(duì)得4分，15、16題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則得0分.13.若在中，是的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要14.已知知△ABC內(nèi)接于單位圓.則長(zhǎng)為sinA、sinB、sinC的三條線段（）.A.能構(gòu)成一個(gè)三角形，其面積大于△ABC面積的B.能構(gòu)成一個(gè)三角形，其面積等于△ABC面積C.能構(gòu)成一個(gè)三角形，其面積小于△ABC面積的D.不一定能構(gòu)成三角形15.把化成時(shí)，下列關(guān)于輔助角的表述中，不正確的是（）A.輔助角一定同時(shí)滿足，B.滿足條件的輔助角一定是方程的解C.滿足方程的角一定都是符合條件的輔助角D.在平面直角坐標(biāo)系中，滿足條件的輔助角的終邊都重合16.有一個(gè)解三角形的題因紙張破損有一個(gè)條件不清，具體如下：“在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知，，______，求角.”經(jīng)推斷破損處的條件為三角形一邊的長(zhǎng)度，且答案提示.在同學(xué)的相互討論中，甲同學(xué)認(rèn)為應(yīng)該填寫的條件為：“”；乙同學(xué)認(rèn)為應(yīng)該填寫條件為“”，則下列判斷正確的是（）A.甲正確，乙不正確 B.甲不正確，乙正確C.甲、乙都正確 D.甲、乙都不正確三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17已知.（1）求的值；（2）求的值.18.在中，，，分別為內(nèi)角，，所對(duì)的邊，且滿足.（1）求的大??；（2）現(xiàn)給出三個(gè)條件：（1）；（2）；（3）.試從中選出兩個(gè)可以確定的條件寫出你的選擇，并以此為依據(jù)求的面積.（需寫出所有可行的方案）19.如圖，在海岸線一側(cè)有一休閑游樂(lè)場(chǎng)，游樂(lè)場(chǎng)的前一部分邊界為曲線段，該曲線段是函數(shù)，的圖象，圖象的最高點(diǎn)為.邊界的中間部分為長(zhǎng)1千米的直線段，且.游樂(lè)場(chǎng)的后部分邊界是以為圓心的一段圓弧.(1)求曲線段的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，在扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)平行四邊形休閑區(qū)，平行四邊形的一邊在海岸線上，一邊在半徑上，另外一個(gè)頂點(diǎn)在圓弧上，且，求平行四邊形休閑區(qū)面積的最大值及此時(shí)的值.20.已知函數(shù)（，）的周期為，圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若與在軸右側(cè)的前三個(gè)交點(diǎn)分別為、、，求的面積的值；（3）當(dāng)，求實(shí)數(shù)與正整數(shù)，使在恰有2023個(gè)零點(diǎn).21.已知函數(shù)，（其中，）（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的嚴(yán)格遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值（其中常數(shù)）；（3）若函數(shù)為常值函數(shù)，求值.2024學(xué)年南模中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.1.終邊落在軸負(fù)半軸的角的集合為______.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)終邊相同角的表示方法，即可求解.【詳解】根據(jù)終邊相同角的表示方法，可得終邊軸負(fù)半軸的角的集合為.故答案為：.2.已知,則________【答案】【解析】【分析】先根據(jù)二倍角余弦公式化簡(jiǎn)，再利用弦化切，代入切的值計(jì)算得結(jié)果.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式以及切化弦方法，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.已知，，則=_____【答案】【解析】【分析】,然后由兩角和的正切公式可得.【詳解】根據(jù)兩角和的正切公式可得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和的正切公式,屬于基礎(chǔ)題.解題關(guān)鍵是將拆成兩個(gè)已知角之和.4.若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】通過(guò)討論取值范圍，即可得出，進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】由題意，，而，則，當(dāng)時(shí)，解得或；當(dāng)時(shí)，解得，綜上：.故答案為：.5.一個(gè)扇形的面積為1，周長(zhǎng)為4，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，圓心角為，根據(jù)題意，由，求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，圓心角為，則．①由扇形的面積公式，得．②由①②得，，∴．∴扇形的圓心角為．故答案為：6.方程的解集為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角函數(shù)的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】在上単調(diào)遞增，由，得，即，所以，，又，，，，即是第二象限角，即解集為.故答案為:.7.在內(nèi)，使成立的的取值范圍為____________【答案】【解析】【分析】把不等式變形為,不等式的左邊用輔助角公式變形為正弦型函數(shù)的形式,運(yùn)用正弦型函數(shù)的正負(fù)性,.可以求出的取值范圍.【詳解】,即,又因?yàn)?所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三角不等式的解法,應(yīng)用輔助角公式是解題的關(guān)鍵.本題還可以在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù),的圖象,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可以解出,還可以畫出單位圓,利用正弦線和余弦線的知識(shí)也可以解答出來(lái).8.若，則函數(shù)的最大值為_________．【答案】-8【解析】【詳解】試題分析：設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性與最值9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知任意角以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為始邊，若終點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且（），定義：，稱“”為“正余弦函數(shù)”，對(duì)于“正余弦函數(shù)”，有同學(xué)得到以下性質(zhì)，其中正確的是______.（填上所有正確的序號(hào)）①該函數(shù)的值域?yàn)椋虎谠摵瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④該函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為.【答案】①④【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義得到，，，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于①：由三角函數(shù)的定義可知，，，故①正確；對(duì)于②：由于，，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是錯(cuò)誤的，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：當(dāng)時(shí)，，圖象關(guān)于對(duì)稱是錯(cuò)誤的，故③錯(cuò)誤：對(duì)于④：由于，函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為，故④正確，綜上，故正確是①④.故答案為：①④10.函數(shù)的值域?yàn)開_______.【答案】【解析】【分析】分析函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，利用單調(diào)性得出函數(shù)的最大值和最小值，由此可得出函數(shù)的值域.【詳解】設(shè)，，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示：可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，又，，，，因此，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值域的求解，將函數(shù)分拆成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)分析單調(diào)性，進(jìn)而分析原函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.11.已知，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，求得或，結(jié)合，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，解得或，又由因?yàn)?，或，所?故答案為：.12.已知函數(shù)，（），若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍為_______.【答案】【解析】【分析】先由二倍角公式和輔助角公式得到，再令，得到，，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，得到，然后由，得到k的范圍，然后將函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在內(nèi)沒有整數(shù)求解.【詳解】解：，由，得，即，.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，，若則，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，等價(jià)于在內(nèi)沒有整數(shù)，則，即，若內(nèi)有整數(shù)，.則當(dāng)時(shí)，由，得，即若當(dāng)時(shí)，由，得，即，此時(shí).當(dāng)時(shí)，由，得，即此時(shí)超出范圍.即若內(nèi)有整數(shù)，則或.則若內(nèi)沒有整數(shù)，則或，故答案為：.二、選擇題（本大題共有4小題，滿分18分）每小題給出四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，13、14題每個(gè)空格填對(duì)得4分，15、16題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則得0分.13.若在中，是的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【答案】C【解析】【分析】在三角形中，結(jié)合正弦定理，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：在三角形中，若，根據(jù)大角對(duì)大邊可得邊，由正弦定理，得．若，則正弦定理，得，根據(jù)大邊對(duì)大角，可知．所以，“”是“”的充要條件．故選：C．14.已知知△ABC內(nèi)接于單位圓.則長(zhǎng)為sinA、sinB、sinC的三條線段（）.A.能構(gòu)成一個(gè)三角形，其面積大于△ABC面積的B.能構(gòu)成一個(gè)三角形，其面積等于△ABC面積的C.能構(gòu)成一個(gè)三角形，其面積小于△ABC面積的D.不一定能構(gòu)成三角形【答案】C【解析】【詳解】由正弦定理得，故以sinA、sinB、sinC組成的三角形與△ABC相似，其面積為△ABC面積的,選C.15.把化成時(shí)，下列關(guān)于輔助角的表述中，不正確的是（）A.輔助角一定同時(shí)滿足，B.滿足條件的輔助角一定是方程的解C.滿足方程的角一定都是符合條件的輔助角D.在平面直角坐標(biāo)系中，滿足條件的輔助角的終邊都重合【答案】C【解析】【分析】首先利用輔助角公式對(duì)式子化簡(jiǎn)，得到輔助角的正弦值、余弦值.選項(xiàng)A、B可直接代入來(lái)說(shuō)明是正確的；選項(xiàng)C通過(guò)所求解的不確定性來(lái)說(shuō)明是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)D根據(jù)三角函數(shù)的定義來(lái)說(shuō)明是正確的.【詳解】因?yàn)?，其中，，?選項(xiàng)A：由上述解答知，選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以滿足條件的輔助角一定是方程的解，故選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C：因?yàn)橛煽梢缘玫?，但也可以得到，所以滿足方程的角不一定都是符合條件的輔助角，故選項(xiàng)C不正確.選項(xiàng)D：因?yàn)楫?dāng)一個(gè)角的正弦值、余弦值都確定時(shí)，它與單位圓的交點(diǎn)就確定了，所以當(dāng)兩個(gè)角的正弦值、余弦值都相等時(shí)，它們與單位圓的交點(diǎn)必在同一點(diǎn)，所以它們的終邊相同，故選項(xiàng)D正確.故選：C16.有一個(gè)解三角形的題因紙張破損有一個(gè)條件不清，具體如下：“在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知，，______，求角.”經(jīng)推斷破損處的條件為三角形一邊的長(zhǎng)度，且答案提示.在同學(xué)的相互討論中，甲同學(xué)認(rèn)為應(yīng)該填寫的條件為：“”；乙同學(xué)認(rèn)為應(yīng)該填寫條件為“”，則下列判斷正確的是（）A.甲正確，乙不正確 B.甲不正確，乙正確C.甲、乙都正確 D.甲、乙都不正確【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，，得到，再利用正弦定理求得邊b，c，驗(yàn)證即可.【詳解】可得，，

，又，由正弦定理得，則，解得，.若條件為，則由正弦定理得：，解得，或，答案不唯一，不符合題意，若條件為，則由正弦定理得：，解得，或，，，答案唯一，符合題意，故答案為，故選：B.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化，然后利用兩角差的正切公式可得答案；（2）先利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后弦化切可得答案.【詳解】（1）；（2）.18.在中，，，分別為內(nèi)角，，所對(duì)的邊，且滿足.（1）求的大小；（2）現(xiàn)給出三個(gè)條件：（1）；（2）；（3）.試從中選出兩個(gè)可以確定的條件寫出你的選擇，并以此為依據(jù)求的面積.（需寫出所有可行的方案）【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角相互轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果.（2）根據(jù)題意，分別選（1）（3），（1）（2），（2）（3），結(jié)合正弦定理與余弦定理以及三角形的面積公式即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，結(jié)合正弦定理可得，，化簡(jiǎn)可得，即，又，得，，即.【小問(wèn)2詳解】①②③①若選擇（1）（3），由余弦定理可得，，即解得，則，②若選擇（1）（2）由正弦定理可得，，又，③若選擇（2）（3），則,由正弦定理可得，且，，即，所以這樣的三角形不存在.19.如圖，在海岸線一側(cè)有一休閑游樂(lè)場(chǎng)，游樂(lè)場(chǎng)的前一部分邊界為曲線段，該曲線段是函數(shù)，的圖象，