固體物理第章平面波法

關(guān)于固體物理第章平面波法§5.3平面波方法模型：平面波方法就是三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似。勢(shì)能是具有周期性的函數(shù)，可以作傅氏展開。由勢(shì)場(chǎng)的周期性因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以因?yàn)闉檎袷福员貫榈垢袷?，即?頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.3.1微擾計(jì)算哈密頓量可寫為為方便計(jì)算，我們?nèi)?shì)能平均值V0=0，這樣第3頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天考慮到后解薛定諤方程，由布洛赫定理可知波函數(shù)應(yīng)為：其中周期性因子展成傅里葉級(jí)數(shù)，將代入薛定諤方程第4頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天上式點(diǎn)乘并對(duì)整個(gè)晶體積分得：在上式求解過(guò)程中，利用了關(guān)系式：第5頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天因?yàn)橛袩o(wú)數(shù)多個(gè)取值，所以上式是一個(gè)無(wú)限多項(xiàng)的方程式。在計(jì)算精度范圍內(nèi)，可取有限項(xiàng)平面波來(lái)作的近似。在此情況下，上式就變?yōu)橐粋€(gè)有限項(xiàng)的方程。這樣的方程構(gòu)成了一個(gè)齊次方程組。有解的條件是，它的系數(shù)行列式為零。若以為行的指標(biāo)，為列的指標(biāo)，行列式的元素為如下形式：第6頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天由此行列式可求出電子的能量。如果電子的行為接近于自由電子時(shí)，其波函數(shù)與平面波相近:其他系數(shù)是小量；電子能量也與自由電子能量近似在中電子的近自由電子行為是由勢(shì)場(chǎng)決定的，此種情況的勢(shì)場(chǎng)起伏不大，中心方程中的系數(shù)是小量。若忽略掉二級(jí)小量，中心方程簡(jiǎn)化為：第7頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天即當(dāng)遠(yuǎn)離時(shí)，由于是小量，所以也是小量，但當(dāng)時(shí)，變得很大，此時(shí)中心方程中除和不能忽略外其它項(xiàng)仍是二級(jí)小量,可以忽略。中心方程化為:第8頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天利用：就可得到：由此可知，當(dāng)時(shí)，波矢k將對(duì)應(yīng)兩個(gè)能級(jí)，第9頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天這兩能極之間的能量區(qū)間稱為禁帶，禁帶寬度為相應(yīng)傅里葉分量絕對(duì)值的二倍。發(fā)生能量不連續(xù)的波矢滿足的條件可改寫為：在禁帶中不存在布洛赫波描述的電子態(tài)。禁帶寬度0

上式的幾何意義是：在空間中從原點(diǎn)所作的倒格矢的垂直平分面的方程。第10頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天我們令，則從圖中可以看出，不僅與的模相等，而且，若把看作中垂面的入射波矢，恰是中垂面的反射波矢。若不考慮雜質(zhì)和缺陷引起的散射，電子的散射只能是晶格引起的。波矢為態(tài)的反射波就是與垂直的晶面族引起的。由第一章知，這組晶面的面間距0

第11頁(yè),共13頁(yè)，2024年2月25日，星期天由圖可知這正是與垂直的晶面族對(duì)應(yīng)的布拉格反射公式。一維：屬于一個(gè)布里淵區(qū)的能級(jí)構(gòu)成一個(gè)能帶，不同的布里淵區(qū)對(duì)應(yīng)不同的能帶，在布里淵區(qū)邊界能帶與能帶之間出現(xiàn)能隙。5.3.2三維能帶與一維能帶的區(qū)別0