2020中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)25概率解析版

2501隨機(jī)事件

K案例分析H“明天是晴天”這個(gè)事件是（）

A.確定事件B.不可能事件C.必然事件D.不確定事件

【分析】在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.

【解答】解：“明天是晴天”這個(gè)事件是隨機(jī)事件，屬于不確定事件，故

選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.事先能肯定它一定

會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然

事件和不可能事件都是確定的.

K課堂練習(xí)》下列選項(xiàng)中的事件，屬于隨機(jī)事件的是（）

A.在一個(gè)只裝有黑球的袋中，摸出紅球

B.兩個(gè)正數(shù)相加，和是正數(shù)

C.翻開數(shù)學(xué)書，恰好翻到第16頁

D.水漲船高

【分析】在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.

【解答】解：4在一個(gè)只裝有黑球的袋中，摸出紅球是不可能事件，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

員兩個(gè)正數(shù)相加，和是正數(shù)是必然事件，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

a翻開數(shù)學(xué)書，恰好翻到第16頁是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)正確；

久水漲船高是必然事件，故本選項(xiàng)錯(cuò)

誤.故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查的是隨機(jī)事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)

事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，

定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事

件.

K課后鞏固』下列事件中，隨機(jī)事件是（）

A.通常溫度降到0匕以下，純凈的水結(jié)冰

B.隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是偶數(shù)

C.明天太陽從東方升起

D.三角形的內(nèi)角和是360°

【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的意義，這個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：“通常溫度降到0℃以下，純凈的水結(jié)冰”是必然事件；

“隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼可能是偶數(shù)，也可能是奇數(shù)”因此選項(xiàng)8符合題

意；

“明天太陽從東方升起”是必然事件，不符合題意；

“三角形的內(nèi)角和是180°”因此“三角形的內(nèi)角和是360°”是確定事件中的不可能事

件，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評】考查隨機(jī)事件的意義，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件是隨機(jī)事件，理解意義

是關(guān)鍵.

R考前再練》下列事件中，屬于隨機(jī)事件的是（）

A.投擲骰子時(shí)，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于0

B.任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為360°

C.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心

I）.暗盒中有5球（3黑2白），從中摸出3球，必有黑球

【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念可得答案.

【解答】解：4、投擲骰子時(shí)，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于0,屬于必然事件，故A不合題意；

B、任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為360°,屬于不可能事件，故8不合題意；

a射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心，屬于隨機(jī)事件，故C符合題意；

D、暗盒中有5球（3黑2白），從中摸出3球，必有黑球，屬于必然事件，故〃不合

題意；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定

條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件.不確定事

件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

2502可能性的大小

K案例分析》一個(gè)不透明的盒子中裝有5個(gè)紅球和1個(gè)白球，它們除顏色外都相同.若從

中任意摸出一個(gè)球，則下列敘述正確的是（）

A.摸到紅球是必然事件

B.摸到白球是不可能事件

C.摸到紅球與摸到白球的可能性相等

D.摸到紅球比摸到白球的可能性大

【分析】利用隨機(jī)事件的概念，以及個(gè)數(shù)最多的就得到可能性最大分別分析即可.

【解答】解：A.摸到紅球是隨機(jī)事件，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.摸到白球是隨機(jī)事件，故8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.根據(jù)不透明的盒子中裝有5個(gè)紅球和1個(gè)白球，得出摸到紅球比摸到白球的可能性大,

故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.根據(jù)不透明的盒子中裝有5個(gè)紅球和1個(gè)白球，得出摸到紅球比摸到白球的可能性大,

故D選項(xiàng)正確；

故選：

【點(diǎn)評】此題主要考查了隨機(jī)事件以及可能性大小，利用可能性大小的比較：只要總情

況數(shù)目相同，誰包含的情況數(shù)目多，誰的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當(dāng)，那

么它們的可能性就相等得出是解題關(guān)鍵.

K課堂練習(xí)力下列各選項(xiàng)的事件中，發(fā)生的可能性大小相等的是（）

A.小明去某路口，碰到紅燈，黃燈和綠燈

B.擲一枚圖釘，落地后釘尖“朝上”和“朝下”

C.小亮在沿著RtZ\4%7三邊行走他出現(xiàn)在AB,AC與BC邊上

D.小紅擲一枚均勻的骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)為“偶數(shù)”和“奇數(shù)”

【分析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可.求比例時(shí)，應(yīng)注意記

清各自的數(shù)目.

【解答】解：4；交通信號燈有“紅、綠、黃”三種顏色，但是紅黃綠燈發(fā)生的時(shí)間一般

不相同，

,它們發(fā)生的概率不相同，

...選項(xiàng)A不正確；

8、?；圖釘上下不一樣，

...釘尖朝上的概率和釘尖著地的概率不相同，

二選項(xiàng)B不正確；

C、：“直角三角形”三邊的長度不相同，

二小亮在沿著R4BC三邊行走他出現(xiàn)在AB,AC與BC邊上走，他出現(xiàn)在各邊上的概

率不相同，

.?.選項(xiàng)C不正確；

。、小紅擲一枚均勻的骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)為“偶數(shù)”和“奇數(shù)”的可能性大小相等，

選項(xiàng)D正

確.故選：D.

【點(diǎn)評】考查了基本概率的計(jì)算及比較可能性大小，用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能性等于所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

K課后鞏固H下列說法正確的是（）

A.可能性很大的事件在一次試驗(yàn)中一定發(fā)生

B.可能性很大的事件在一次試瞼中不一定會(huì)發(fā)生

C.必然事件在一次試驗(yàn)中有可能不會(huì)發(fā)生

D.不可能事件在一次試驗(yàn)中也可能發(fā)生

【分析】根據(jù)不可能事件、隨機(jī)事件、必然事件的有關(guān)概念和題意分別對每一項(xiàng)進(jìn)行判

斷即可.

【解答】解：兒可能性很大的事件在一次試驗(yàn)中不一定會(huì)發(fā)生，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

員可能性很大的事件在一次試驗(yàn)中不一定會(huì)發(fā)生，正確；

a必然事件在一次實(shí)驗(yàn)中一定會(huì)發(fā)生，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；A

不可能事件在一次實(shí)驗(yàn)中不可能發(fā)生，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：

B.

【點(diǎn)評】此題考查可能性大小：只要總情況數(shù)目相同，誰包含的情況數(shù)目多，誰的可能

性就大；反之也成立；若包含的情況相當(dāng)，那么它們的可能性就相等.

K考前再練》一個(gè)布袋里裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黑球，4個(gè)白球，它們除顏色外都相同，從

中任意摸出1個(gè)球，則下列事件中，發(fā)生可能性最大的是（）

A.摸出的是白球B.摸出的是黑球

C.摸出的是紅球D.摸出的是綠球

【分析】個(gè)數(shù)最多的就是可能性最大的.

【解答】解：因?yàn)榘浊蜃疃啵?/p>

所以被摸到的可能性最

大.故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查可能性大小的比較：只要總情況數(shù)目相同，誰包含的情況數(shù)目多，誰

的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當(dāng)，那么它們的可能性就相等.

2503概率的意義

K案例分析』某個(gè)事件發(fā)生的概率是工，這意味著（）

2

A.在一次試臉中沒有發(fā)生，下次肯定發(fā)生

B.在一次事件中已經(jīng)發(fā)生，下次肯定不發(fā)生

C.每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的可能性是50%

D.在兩次重復(fù)試驗(yàn)中該事件必有一次發(fā)生

【分析】概率是反映事件發(fā)生機(jī)會(huì)的大小的概念，只是表示發(fā)生的機(jī)會(huì)的大小，可能發(fā)

生也可能不發(fā)生.

【解答】解：.??某個(gè)事件發(fā)生的概率是-1,

n

???根據(jù)概率的意義：該事件在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，每次試驗(yàn)中事件發(fā)

生的可能性是50%,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了概率的意義.正確理解概率的含義是解決本題的關(guān)鍵.

R課堂練習(xí)》下列說法正確的是（）

A.天氣預(yù)報(bào)說明天降水的概率為10%,則明天一定是晴天

B.任意拋擲一枚均勻的1元硬幣，若上一次正面朝上，則下一次一定反面朝上

C.13人中至少有2人的出生月份相同

D.任意拋擲一枚均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)小于3的概率是工

2

【分析】根據(jù)概率的意義對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：4天氣預(yù)報(bào)說明天的降水概率為1佻，則明天不一定是晴天，原說法錯(cuò)誤，

故這個(gè)選項(xiàng)不符合題意；

6、任意拋擲一枚均勻的1元硬幣，若上一次正面朝上，則下一次可能正面朝上，可能反

面朝上，原說法錯(cuò)誤，故這個(gè)選項(xiàng)不符合題意；

a13人中至少有2人的出生月份相同，原說法正確，故這個(gè)選項(xiàng)符合題意；

〃、任意拋擲一枚均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)小于3的概率是上，原說法錯(cuò)誤，故這個(gè)選項(xiàng)

3

不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了概率的意義，概率是反映事件發(fā)生機(jī)會(huì)的大小的概念，只是表示發(fā)

生的機(jī)會(huì)的大小，機(jī)會(huì)大也不一定發(fā)生，機(jī)會(huì)小也有可能發(fā)生.

K課后鞏固』下列說法正確的是（）

A.一顆質(zhì)地均勻的骰子已連續(xù)拋擲了2000次，其中拋擲出5點(diǎn)的次數(shù)最少，則第2001

次一定拋擲出5點(diǎn)

B.拋擲一枚圖釘，釘尖觸地和釘尖朝上的概率不相等

C.明天降雨的概率是80%,表示明天有80%的時(shí)間降雨

D.某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%,因此買100張?jiān)摲N彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)

【分析】事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與11事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近

于0.依據(jù)概率的意義進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A.一顆質(zhì)地均勻的骰子已連續(xù)拋擲了2000次，其中拋擲出5點(diǎn)的次數(shù)最

少，則第2001次不一定拋擲出5點(diǎn)，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.拋擲一枚圖釘，釘尖觸地和釘尖朝上的概率不相等，本選項(xiàng)正確；

C.明天降雨的概率是80%,表示明天不一定有80%的時(shí)間降雨，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%,因此買100張?jiān)摲N彩票不一定會(huì)中獎(jiǎng)，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了概率的意義，概率是頻率（多個(gè)）的波動(dòng)穩(wěn)定值，是對事件發(fā)

生可能性大小的量的表現(xiàn).

R考前再練》下列說法正確的是（）

A.擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，6點(diǎn)朝上是必然事件

B.甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績平均數(shù)相同，方差分別是S甲2=

0.4,S乙2=o.6,則乙的射擊成績較穩(wěn)定

C.“明天降雨的概率為工”，表示明天有半天都在降雨

2

D.在3張卡片上分別寫有實(shí)數(shù)0,1,返，從中隨機(jī)抽取一張，抽到無理數(shù)的概率是1

343

【分析】利用事件的分類、普查和抽樣調(diào)查的特點(diǎn)、概率的意義以及方差的性質(zhì)即可作

出判斷.

【解答】解：4擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后6點(diǎn)朝上是隨機(jī)事件，故本項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績平均數(shù)相同，方差分別是S甲2=

0.4,S乙2=0.6,則甲的射擊成績較穩(wěn)定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

G”明天降雨的概率為上”，表示明天可能降雨，故本項(xiàng)錯(cuò)誤；

C

D、在3張卡片上分別寫有實(shí)數(shù)0,1,返，從中隨機(jī)抽取一張，抽到無理數(shù)的概率是1,

343

故本選項(xiàng)正確；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了方差、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、隨機(jī)事件以及概率的意義等知識(shí)，解

答本題的關(guān)鍵是熟練掌握方差性質(zhì)、概率的意義以及抽樣調(diào)查與普查的特點(diǎn)，此題難度不

大.

2504概率計(jì)算

K案例分析H有一個(gè)正方體骰子，6個(gè)面分別標(biāo)有1?6這6個(gè)整數(shù)，投擲這個(gè)正方體骰

子一次，朝上一面出現(xiàn)奇數(shù)的概率是（）

A.AB.ATc.A

3246

D.

【分析】根據(jù)題意，可以得到出現(xiàn)奇數(shù)有幾種可能性，從而可以求得相應(yīng)的概率.

【解答】解：由題意可得，

投擲這個(gè)正方體骰子一次，朝上一面出現(xiàn)的奇數(shù)是1,3,5,

故投擲這個(gè)正方體骰子一次，朝上一面出現(xiàn)奇數(shù)的概率是旦=工，

62

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的概率.

R課堂練習(xí)1幅，二，屈,n四個(gè)實(shí)數(shù)，任取一個(gè)數(shù)是無理數(shù)的概率為（

3

【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，可以判斷其中有幾個(gè)無理數(shù)，從而可以求得任取一個(gè)數(shù)是

無理數(shù)的概率.

【解答】解：在行，工，呵n四個(gè)實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是歷，兀，

n

故任取一個(gè)數(shù)是無理數(shù)的概率為2」，

42

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查概率公式、無理數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的概率.

K課后鞏固』小思去延慶世界園藝博覽會(huì)游覽，如果從永寧瞻勝、萬芳華臺(tái)、絲路花雨、九州花

境四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)進(jìn)行參觀，那么他選擇的景點(diǎn)恰為絲路花雨的概率為

()

A.AB.AJ-c.A

24168

D.

【分析】根據(jù)概率公式直接解答即可.

【解答】解：：共有四個(gè)景點(diǎn)，分別是永寧瞻勝、萬芳華臺(tái)、絲路花雨、九州花境，

.??他選擇的景點(diǎn)恰為絲路花雨的概率為

4

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了概率的知識(shí).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

K考前再練』只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)且大于1的自然數(shù)叫做素?cái)?shù)，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在

有關(guān)素?cái)?shù)的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.從5,7,11這3個(gè)素?cái)?shù)

中隨機(jī)抽取一個(gè)，則抽到的數(shù)是7的概率是()

A.AB.工C.A

753

D.1

【分析】根據(jù)概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比解答即可.

【解答】解：?.?共3個(gè)素?cái)?shù)，分別是5,7,11,

抽到的數(shù)是7的概率是工；

3

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了概率的知識(shí).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

2505幾何概率

K案例分析》如圖，一飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成，向游戲板隨機(jī)投擲一枚

飛鏢，擊中黑色區(qū)域的概率是二.

-2~

【分析】利用黑色區(qū)域的面積除以游戲板的面積即可.

【解答】解：黑色區(qū)域的面積=3X5-AX3X1-AX2X2-AX3X1=10,

222

所以擊中黑色區(qū)域的概率=改=

202

故答案為：1.

2

【點(diǎn)評】本題考查了幾何概率：求概率時(shí)，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率.計(jì)

算方法是長度比，面積比，體積比等.

［課堂練習(xí)』一只小狗自由自在地在如圖所示的某個(gè)正方形場地跑動(dòng)，然后隨意停在圖中陰

【分析】確定黑色方格的面積在整個(gè)方格中占的比例，根據(jù)這個(gè)比例即可求出小狗停在

黑色方格中的概率.

【解答】解：圖上共有16個(gè)方格，黑色方格為7個(gè),

小狗最終停在黑色方格上的概率是

7故答案為：_L.

1616

【點(diǎn)評】此題主要考查了幾何概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.

K課后鞏固》如圖，在半徑為3的。。中，隨意向圓內(nèi)投擲一個(gè)小球，經(jīng)過大量重復(fù)投擲

后發(fā)現(xiàn)，小球落在陰影部分的概率穩(wěn)定乩，則定的長約為口.（結(jié)果保留「）

6

B

A

\0

【分析】首先利用概率公式求得陰影扇形的面積，然后利用扇形面積公式求解.

【解答】解：??,圓的半徑為3,

二?面積為9n,

?:大量重復(fù)投擲后發(fā)現(xiàn)，小球落在陰影部分的概率穩(wěn)定在工，

6

二扇形的面積為"=3n,

62

設(shè)扇形的弧長為1,則上1X3=",

22

解得：1=n,

二篇的長約為口，

故答案為：n.

【點(diǎn)評】此題主要考查了幾何概率問題，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積

之比.

K考前再練》如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形除顏色外都相同.若某人向游戲板投擲飛鏢一

次（假設(shè)飛鏢落在游戲板上），則飛鏢落在陰影部分的概率是二.

【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積

的比值.

【解答】解：:?總面積為3X3=9,其中陰影部分面積為4X4X1X2=4,

飛鏢落在陰影部分的概率是名，

9

故答案為：居.

9

【點(diǎn)評】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用

陰影區(qū)域表示所求事件（4）；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例

10

即事件（/）發(fā)生的概率.

2506列表法與樹狀圖

K案例分析U現(xiàn)有兩個(gè)不透明的袋子，一個(gè)裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，另一個(gè)裝有1個(gè)黃球、

2個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同，從兩個(gè)袋子中各隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的兩個(gè)球

顏色相同的概率是（）

A.AB.2o'c.A

339

D.

【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到兩個(gè)球顏色相同的結(jié)果數(shù)，利用概率公式

計(jì)算可得.

【解答】解：列表如下：

黃紅紅

紅（黃，紅）（紅，紅）（紅，紅）

紅（黃，紅）（紅，紅）（紅，紅）

白（黃，白）（紅,白）（紅，白）

由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中摸出的兩個(gè)球顏色相同的有4種結(jié)果,

所以摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率為A,

9

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠用列表或列樹狀圖將所

有等可能的結(jié)果列舉出來，難度不大.

R課堂練習(xí)I2019年9月8日第十一屆全國少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運(yùn)動(dòng)會(huì)在鄭州奧體中心隆

重開幕，某單位得到了兩張開幕式的門票，為了弘揚(yáng)勞動(dòng)精神，決定從本單位的勞動(dòng)模

范小李'小張、小楊、小王四人中選取兩人去參加開幕式，那么同時(shí)選中小李和小張的

概率為（）

A?'1B?'1—C.1-i.

161208

D.

【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和同時(shí)選中小李和小張的情況數(shù)，

11

然后根據(jù)概率公式即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：

12

開始

小張〃地小王小李J順小王小李小張小王小李小張〃地

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中同時(shí)選中小李和小張的有2種，

則同時(shí)選中小李和小張的概率為2=工；

126

故選：D.

【點(diǎn)評】此題考查的是用樹狀圖法求概率；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；

解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與

總情況數(shù)之比.

K課后鞏固》現(xiàn)有從B、C三個(gè)不透明的盒子，A盒中裝有紅、黃、藍(lán)球各1個(gè)，8盒中

裝有紅、黃球各1個(gè)，C盒中裝有紅、藍(lán)球各1個(gè)，這些球除顏色外都相同.現(xiàn)分別從4

氏C三個(gè)盒子中任意摸出一個(gè)球，摸出的三個(gè)球至少有一個(gè)紅球的概率是（）

A.2B.53C.旦

36,4

D.

【分析】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的結(jié)

果有10種，由概率公式即可得出結(jié)果.

【解答】解：畫樹形圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的結(jié)果有10種，

所以摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率為：蛇="；

126

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果

13

再從中選出符合事件A或8的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概

14

率.

K考前再練》有三個(gè)質(zhì)地、大小一樣的紙條上面分別寫著三個(gè)數(shù)，其中兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)，

任意抽取一張，記下數(shù)的符號后，放回?fù)u勻，再重復(fù)同樣的操作一次，試問兩次抽到的

數(shù)字之積是正數(shù)的概率為()

2

A.，1B.4&—4c.R2

39,9

D.

【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果與兩次抽到的數(shù)字之積是正數(shù)的情

況數(shù)，然后利用概率公式求解即可.

【解答】解：兩個(gè)正數(shù)分別用a,6表示，一個(gè)負(fù)數(shù)用c表示，畫樹狀圖如下：

/WA\

abcat,cabc

共有9種等情況數(shù)，其中兩次抽到的數(shù)字之積是正數(shù)的有5種,

則兩次抽到的數(shù)字之積是正數(shù)的概率是互；

9

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所

有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解

題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比.

2507游戲的公平性

K案例分析》同時(shí)拋擲3枚硬幣做游戲，其中1元硬幣1枚，5角硬幣兩枚.

(1)求3枚硬幣同時(shí)正面朝上的概率.

(2)小張、小王約定：正面朝上按面值算，背面朝上按0元算.3枚落地后，若面值和

為1.5元，則小張獲得1分；若面值和為1元，則小王得1分.誰先得到10分，誰獲

勝，請問這個(gè)游戲是否公平？并說明理由.

【分析】(1)用列表法或樹狀圖法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進(jìn)而求出3枚硬幣同時(shí)

15

正面朝上的概率.

16

（2）求出小張獲得1分；小王得1分的概率，再判斷游戲的公平性.

【解答】解：（1）用樹狀圖表示所有可能出現(xiàn)的情況如下：

,,jP<3枚硬幣同時(shí)正面朝上〉=—

（2）公平，所有面值出現(xiàn)的情況如圖所示:

:小微獲得11尸m巔=看=3

8484

二1

?（小張獲得1分）=p（小王得1分）

4

因此對于他們來說是公平的.

1元5角5角所有可能情況

正《正正正》2元

正

<反（正正反）1.5元

正（正反正）1.5元

反

反（正反反）阮

開始

正（反正正）阮

正

<反《反正反》0.5元

正（反反正）0.5元

反

反（反反反）。元

【點(diǎn)評】考查等可能事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是利用列表法或樹狀圖列舉出所有可能出現(xiàn)

的結(jié)果.

K課堂練習(xí)》四張形狀相同的卡片如圖所示，將卡片洗勻后背面朝上放置在桌面上，小明先隨機(jī)

抽一張卡片，記下數(shù)字為X后放回，小亮再隨機(jī)抽一張卡片，記下數(shù)字為二兩人在此基

礎(chǔ)上共同協(xié)商一個(gè)游戲規(guī)則：當(dāng)x>y時(shí)小明獲勝，否則小亮獲勝，問他們規(guī)定的游戲規(guī)

則公平嗎？請說明理由.

1234

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)和小明、小亮獲勝的情況數(shù)，然后

利用概率公式求得其概率，再比較概率，則可得到他們制定的游戲規(guī)則是否公平.

【解答】解：畫樹狀圖得：

17

開始

???共有16種等可能的結(jié)果，小明獲勝的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),

(4,3)共6種情況，小亮獲勝的有10種情況，

小明獲勝)且=3,小亮獲勝)改=上.

168168

??3V5

'S-百，

.?.他們規(guī)定的游戲規(guī)則不公平.

【點(diǎn)評】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，

概率相等就公平，否則就不公平.

K課后鞏固》2019年9月30日，由著名導(dǎo)演李仁港執(zhí)導(dǎo)的電影《攀登者》在各大影院上

映后，好評不斷，小亮和小麗都想去觀看這部電影，但是只有一張電影票，于是他們決定

采用模球的辦法決定勝負(fù)，獲勝者去看電影，游戲規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的袋子中裝

有編號1-4的四個(gè)球(除編號外都相同)，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下數(shù)字后放回，再

從中摸出一個(gè)球，記下數(shù)字，若兩次數(shù)字之和大于5,則小亮獲勝，若兩次數(shù)字之和小于5,

則小麗獲勝.

(1)請用列表或畫樹狀圖的方法表示出隨機(jī)摸球所有可能的結(jié)果；

(2)分別求出小亮和小麗獲勝的概率，并判斷這種游戲規(guī)則對兩人公平嗎？

【分析】(1)根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)；

(2)找出次數(shù)字之和大于5的結(jié)果數(shù)和兩次數(shù)字之和小于5的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率

公式計(jì)算即可.

【解答】解：(1)畫樹狀圖如下:

兩數(shù)和的所有可能結(jié)果為：2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,5,6,7,8共16

18

種.

(2)因?yàn)閮纱螖?shù)字之和大于5的結(jié)果數(shù)為6,

所以小亮獲勝的概率=g=3,

168

因?yàn)閮纱螖?shù)字之和小于5的結(jié)果數(shù)為6,

所以小麗獲勝的概率=g=3,

168

所以此游戲是公平的.

【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n,

再從中選出符合事件A或6的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式求事件A或6的概率.

K考前再練》有一個(gè)可以自由旋轉(zhuǎn)的圓盤，被分成面積相等的3個(gè)扇形區(qū)，分別標(biāo)有數(shù)字1,

2,3,另有一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4(如

圖所示)，小穎和小亮想通過游戲來決定誰代表學(xué)校參加歌詠比賽，游戲規(guī)則為：一個(gè)人轉(zhuǎn)

動(dòng)圓盤，另一人從口袋中摸出一個(gè)小球，如果所摸球上的數(shù)字與圓盤上轉(zhuǎn)出數(shù)字之和小于

4,那么小穎去；否則小亮去.

(1)用畫樹狀圖或列表的方法求出小穎參加比賽的概率；

(2)你認(rèn)為該游戲公平嗎？請說明理由.

【分析】(1)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩指針?biāo)?/p>

數(shù)字之和和小于4的情況，則可求得小穎參加比賽的概率；

(2)根據(jù)小穎獲勝與小亮獲勝的概率，比較概率是否相等，即可判定游戲是否公平.

【解答】解：(1)畫樹狀圖得：

/T\/N/N/K

123123123123

..?共有12種等可能的結(jié)果，所指數(shù)字之和小于4的有3種情況,

19

和小于4）=』_="1,

124

二小穎參加比賽的概率為：工;

（2）不公平,

■:P（小穎）=—,

4

P（小亮）=

4

二尸（和小于4）WP（和大于等于4）,

游戲不公平.

【點(diǎn)評】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率,

概率相等就公平，否則就不公平.

2508利用頻率估計(jì)概

率

（案例分析X某小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，繪出的某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率折線圖，

則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)可能是（）

頻率

才公

0~~100200300

A.拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上

B.擲一個(gè)正六面體的骰子，出現(xiàn)3點(diǎn)朝上

C.任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是360°

D.從一個(gè)裝有2個(gè)紅球1個(gè)黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

【分析】利用折線統(tǒng)計(jì)圖可得出試驗(yàn)的頻率在0.33左右，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：/、拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為0.5,不符合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)

錯(cuò)誤；

反擲一個(gè)正六面體的骰子，出現(xiàn)3點(diǎn)朝上為工，不符合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

20

a任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是360°的概率為：0,不符合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)錯(cuò)

21

誤；

〃、從一個(gè)裝有2個(gè)紅球1個(gè)黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率為：1,符

3

合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，正確求出各試驗(yàn)的概率是解題關(guān)鍵.

K課堂練習(xí)》某小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如

圖的折線統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是（）

頻率

A

0.8...........................

0；4二二

0.2...........................

~100200300400500>百

A.在“石關(guān)、剪刀、布”的游戲中，小時(shí)隨機(jī)出的是“剪刀”

B.擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)

C.袋子中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球

D.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌花色是紅桃

【分析】利用折線統(tǒng)計(jì)圖可得出試驗(yàn)的頻率在0.5左右，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：兒在“石關(guān)、剪刀、布”的游戲中，小時(shí)隨機(jī)出的是“剪刀”為工，不符

3

合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率是2=1=0.5,符合這

62

一結(jié)果，故此選項(xiàng)正確；

C、從一個(gè)裝有1個(gè)紅球2個(gè)黃球的袋子中任取一球，取到的是黃球的概率為：2,不

3

符合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

A一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率為：0.25,不符

合這一結(jié)果，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，正確求出各試驗(yàn)的概率是解題關(guān)鍵.

K課后鞏固』某魚塘里養(yǎng)了100條鯉魚、若干條草魚和50條羅非魚，通過多次捕撈實(shí)驗(yàn)后

22

發(fā)現(xiàn)，捕撈到草魚的頻率穩(wěn)定在0.5左右，可估計(jì)該魚塘中草魚的數(shù)量為（）

A.150B.100C.50D.200

【分析】根據(jù)大量重復(fù)試驗(yàn)中的頻率估計(jì)出概率，利用概率公式求得草魚的數(shù)量即可.

【解答】解：二?通過多次捕撈實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，捕撈到草魚的頻率穩(wěn)定在0.5左右，

???捕撈到草魚的概率約為0.5,

設(shè)有草魚x條，根據(jù)題意得：

x=05

lOO+x+50-

解得：x=150,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查用樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是明確題意，由草魚出現(xiàn)的頻率可以計(jì)

算出魚的數(shù)量.

K考前再練》一個(gè)盒子中裝有2個(gè)藍(lán)球，3個(gè)紅球和若干個(gè)黃球，小明通過多次摸球試驗(yàn)

后發(fā)現(xiàn)，摸取到黃球的頻率穩(wěn)定在0.5左右，則黃球有（）個(gè).

A.4B.5C.6D.10

【分析】設(shè)黃球有x個(gè)，根據(jù)重岑=黃球的頻率，列出算式，求出x的之即可.

【解答】解：設(shè)黃球有x個(gè)，根據(jù)題意得：

--——=0.5,

2+3+x

解得：x=5,

答：黃球有5個(gè)；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，難度適中.大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率