高二數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)復(fù)習(xí)知識(shí)精講(二)人教實(shí)驗(yàn)版(B)

..PAGEDOC版.高二數(shù)學(xué)選修2－1知識(shí)復(fù)習(xí)知識(shí)精講（二）人教實(shí)驗(yàn)版（B）【本講教育信息】一.教學(xué)內(nèi)容：◆選修2－1知識(shí)復(fù)習(xí)（二）二.教學(xué)目的通過(guò)對(duì)選修2－1各章節(jié)重點(diǎn)知識(shí)分析及例題講解，加強(qiáng)對(duì)本冊(cè)知識(shí)的掌握。三.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)問(wèn)題專(zhuān)題講解四.知識(shí)分析（八）拋物線拋物線是平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（Fl）距離相等的點(diǎn)的軌跡。拋物線部分的重點(diǎn)是拋物線的定義及相關(guān)概念、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)。難點(diǎn)是利用拋物線的定義解題，求拋物線的方程以及拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用。下面通過(guò)幾例來(lái)體驗(yàn)一下如何突破拋物線的重難點(diǎn)。例1.如圖所示，AB為拋物線上的動(dòng)弦，且（a為常數(shù)且），則弦AB的中點(diǎn)M與x軸的最小距離為_(kāi)_________。 分析：將M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為A，B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為A，B兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，從而利用定義解題。 解：設(shè)A，M，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，且A，M，B三點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為。 由拋物線的定義知： ， 所以 又M是線段AB的中點(diǎn)， 所以 等號(hào)在定長(zhǎng)為a的弦AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)成立，此時(shí)M點(diǎn)與x軸的距離最小，最小值為（）。 點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用了拋物線的定義，并注意挖掘題目中隱含的幾何條件（三角形的性質(zhì)），使解題過(guò)程簡(jiǎn)明快捷。另外，拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦的最小長(zhǎng)度為1，故的條件保證了AB過(guò)焦點(diǎn)，即本題的最小值可以取到。例2.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且拋物線上一點(diǎn)（－3，m）到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程。分析：應(yīng)分焦點(diǎn)在y軸正半軸和負(fù)半軸兩種情況考慮，利用拋物線的定義，結(jié)合待定系數(shù)求拋物線方程。 解：若焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，則可設(shè)方程為 準(zhǔn)線方程為， 所以 又因?yàn)?，所以，所以。解得p=1或。 所以?huà)佄锞€方程為或 若焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，則可設(shè)方程為 準(zhǔn)線方程為，所以 又因?yàn)?，所以?所以。解得p=1或p=9 所以?huà)佄锞€方程為或。例3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)A，B滿(mǎn)足AO⊥BO，如圖所示。 （1）求△AOB的重心G（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；（2）△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：求動(dòng)點(diǎn)軌跡的常規(guī)方法，就是設(shè)動(dòng)點(diǎn)（x，y），找該點(diǎn)與A（），B（）的關(guān)系，再求軌跡方程。求面積的最小值經(jīng)常與二次函數(shù)以及均值不等式聯(lián)系在一起。解：（1）設(shè)△AOB的重心為G（x，y），點(diǎn)A（），B（），則 因?yàn)锳O⊥BO，所以 即 ③ 又點(diǎn)A，B在拋物線上，所以 代入③化簡(jiǎn)得 由①得 所以 即重心G的軌跡方程為。 （2） 由（1）得 因?yàn)?所以，且當(dāng)x=0時(shí)， 所以 故△AOB的面積存在最小值，最小值為1。 點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡問(wèn)題、最值問(wèn)題，同時(shí)考查了同學(xué)們推理運(yùn)算能力及綜合運(yùn)用知識(shí)解題的能力，應(yīng)注意代入法的使用。（九）直線與圓錐曲線 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，也是近年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容。只要是考查圓錐曲線問(wèn)題，一般都是與直線結(jié)合。因此我們?cè)鷮?shí)地掌握基礎(chǔ)，熟練地掌握各種技能是必須的。本文對(duì)這一小塊內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)，希望會(huì)對(duì)你有所幫助。一、重點(diǎn)再現(xiàn) 直線與圓錐曲線問(wèn)題的求解思路通常有兩條：其一是借助方程，將直線l的方程與圓錐曲線C的方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程（當(dāng)然，也可以消去x得到關(guān)于y的方程），通過(guò)分析方程產(chǎn)生結(jié)論；其二是數(shù)形結(jié)合，由于拋物線及雙曲線的特殊性，有時(shí)借助于數(shù)形結(jié)合可能會(huì)更直觀、更方便。我們知道當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行或與雙曲線的漸近線平行時(shí)，都只有一個(gè)交點(diǎn)，但此時(shí)并非相切。二、難點(diǎn)回顧 由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可以涉及直線與圓錐曲線的所有基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，又可以與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)進(jìn)行交匯，因而它是解析幾何的難點(diǎn)之一。三、典例解析例1.求過(guò)點(diǎn)P（2，1）且被點(diǎn)P平分的橢圓的弦所在直線的方程。 解法一：設(shè)所求直線方程為， 則 消去y，并整理得： 由得。 于是所求直線方程為 解法二：設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為（）與（）， 則由 可得： 所以 于是所求直線方程為 評(píng)析：直線與圓錐曲線相交，出現(xiàn)“中點(diǎn)弦”問(wèn)題的常規(guī)處理方法有兩種： （1）通過(guò)方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解；（2）點(diǎn)差法：設(shè)出弦的兩端點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解。例2.已知直線與雙曲線關(guān)于A，B兩點(diǎn)。 （1）若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若A，B在雙曲線的兩支上，求實(shí)數(shù)a的范圍。解：由 可得： 由于直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)， 因此，可得： （1）設(shè)A（），B（）， 則 即 也就是 所以 解得 （2）若A，B在雙曲線的兩支上，則 即 于是可得。 評(píng)析：涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題，常常將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，消元后，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，這是常用的方法，本題就是利用這個(gè)解題方法進(jìn)行求解的。例3.過(guò)點(diǎn)（－2，0）的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)的軌跡方程。 解：易知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為 設(shè)A（），B（），AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則。 于是 相減得： 那么 由于 所以 即 又由，得： 由，得： k>0或。又k=2x， 所以x>0或x<－4 因此軌跡方程為。 評(píng)析：整體運(yùn)算是一種運(yùn)算策略，它通過(guò)整體推理、整體代換等手段有效地繞過(guò)許多中間環(huán)節(jié)使運(yùn)算直指結(jié)論。它既可優(yōu)化解題過(guò)程又可給我們帶來(lái)一種賞心悅目的享受，本題借助整體運(yùn)算產(chǎn)生中點(diǎn)軌跡方程，其過(guò)程既簡(jiǎn)練又運(yùn)算簡(jiǎn)單。 好了，說(shuō)了這么多，你看后有收獲嗎？若有，別忘了把它推薦給你的同學(xué)，讓你們共同提高?。。ㄊ┛臻g向量及其運(yùn)算一、知識(shí)要點(diǎn)1.空間任意兩向量共線的充要條件是存在惟一實(shí)數(shù)，使。 注：與任一向量共線。2.空間中與不共線向量共面的充要條件是存在惟一一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使。該定理的推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在惟一一對(duì)有序?qū)崝?shù)x，y，使，或?qū)臻g一點(diǎn)O有。 注：空間任意兩向量必共面。3.如果不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使。 注：空間上四個(gè)點(diǎn)共面的充要條件為：若存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，有，且成立，則P，A，B，C四點(diǎn)共面。4.空間向量的數(shù)量積及向量平行或垂直的坐標(biāo)表示。 設(shè)=（），=（），則有： 二、典例精析例1.已知非零向量不共線，如果，，求證：A，B，C，D共面。 分析：要證A，B，C，D共面，只須證共面，即找到惟一一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使。 證明：觀察易得： 即。 所以共面，即A，B，C，D共面。 點(diǎn)評(píng)：要證四點(diǎn)共面，可證從同一點(diǎn)出發(fā)的三向量共面，此時(shí)應(yīng)注意待定系數(shù)法的使用。例2.如下圖，已知ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABCD內(nèi)的射影恰好是正方形的中心O。Q是CD的中點(diǎn)，求下列各題中x，y的值。 （1）；（2）。 分析：要求x，y的值，實(shí)際上是求如何用，來(lái)表示，用來(lái)表示。 解：（1） 所以 （2）因?yàn)?，所以?又，所以。 所以 所以。 點(diǎn)評(píng)：空間任一向量都可以用基底惟一表示，所以將用基底表示，其系數(shù)是惟一的。解題中應(yīng)多注意結(jié)合圖形使用加法、減法、數(shù)乘等運(yùn)算法則。例3.已知空間三點(diǎn)A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），設(shè)。 （1）設(shè)，求；（2）求；（3）若與互相垂直，求k。解：（1）因?yàn)?（－2，－1，2）且，所以設(shè)所以解得所以=（－2，－1，2）或=（2，1，－2）。（2）=（1，1，0），=（－1，0，2）所以 因?yàn)椋?所以 （3）易知 又 所以 即 解得或。 點(diǎn)評(píng)：在運(yùn)用夾角公式求解時(shí)，應(yīng)注意角的范圍。通過(guò)列方程、解方程解決問(wèn)題，這種思路在解決空間向量問(wèn)題時(shí)應(yīng)用十分廣泛。（十一）空間向量在立體幾何中的應(yīng)用由于向量具有“形（幾何形式）神（坐標(biāo)形式）兼?zhèn)洹钡奶卣?，且向量以及向量平行、垂直的充要條件都具有坐標(biāo)表示形式和幾何表示形式，加之向量的數(shù)量積不僅是一個(gè)實(shí)數(shù)，而且與向量夾角的余弦值緊密相關(guān)，這使得它成為溝通數(shù)學(xué)各個(gè)分支，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)之間橫向聯(lián)系的橋梁和紐帶。從近幾年全國(guó)及單獨(dú)命題的省、市高考題中可知，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用是高考必考內(nèi)容。解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，“平移是手段，垂直是關(guān)鍵”，向量的運(yùn)算中，兩向量的共線易解決平行問(wèn)題，向量的數(shù)量積則易解決垂直、兩向量所成角及線段的長(zhǎng)度等問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)掌握了用向量的方法解決立體幾何問(wèn)題這套強(qiáng)有力的工具時(shí)，應(yīng)該說(shuō)不僅降低了學(xué)習(xí)的難度，而且增強(qiáng)了可操作性，為我們提供了嶄新的視角，豐富了思維結(jié)構(gòu)。專(zhuān)題一：向量與平行關(guān)系例1.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，的中點(diǎn)，求證：平面EFG//平面。證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），（1，0，1），（1，1，1），（0，0，1）。于是得E（1，，0），F(xiàn)（，0，0），G（1，0，）。設(shè)為平面EFG的法向量，（）為平面的法向量。則，且取可得：=（1，―1，―1），=（1，―1，―1）。由，得平面EFG//平面。評(píng)注：設(shè)分別為平面α，β的法向量，要證α//β，只需證明：存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足。本題也可轉(zhuǎn)化為由線線平行證面面平行，即用向量證明，從而證明平面EFG//平面。專(zhuān)題二：向量與垂直關(guān)系例2.如圖所示，在正方體ABCD—中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為的中點(diǎn)，求證：平面平面GBD。 分析：要證明平面平面GBD，只要證明平面內(nèi)的一條直線垂直于平面GBD中的兩條相交直線即可，而從圖中觀察，證，較容易成功。 證明：設(shè) 則 而 所以 又BDOG=O 所以平面GBD 而平面 所以平面⊥平面GBD。 評(píng)注：向量垂直于向量的充要條件是=0。據(jù)此可以證明直線與直線垂直，進(jìn)而還可證明直線與平面垂直及兩個(gè)平面垂直。在證明一對(duì)向量垂直時(shí)，往往用一組基底先表示這一對(duì)向量，再考慮它們的數(shù)量積是否為零。 專(zhuān)題三：空間向量與空間角1.求異面直線所成的角。例3.在長(zhǎng)方體ABCD—中，已知DA=DC=4，，求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）。 解：如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz。 則A1（4，0，3），B（4，4，0），（4，4，3），C（0，4，0） 于是=（0，4，－3），=（－4，0，－3） 設(shè)與的夾角為θ， 則 所以與的夾角大小為。 故異面直線與所成角的大小為。 評(píng)注：以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積來(lái)求異面直線所成的角，思路自然，靈活簡(jiǎn)便。2.求直線與平面所成的角。（略）3.求二面角。例4.在直三棱柱ABC—中，AB=BC，D，E分別為，的中點(diǎn)。若，求二面角的大小。 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)。 不妨設(shè)A（1，0，0），則B（0，1，0），C（－1，0，0），（1，0，2）。 于是=（―1，―1，0），=（－1，1，0），=（0，0，2）。 所以， 所以BC⊥AB，BC⊥AA1 又AB=A，所以BC⊥平面A1AD 又E（0，0，1），D（0，1，1） 所以（－1，0，－1），（－1，0，1），=（0，1，0）。 易知，，所以EC⊥AE，EC⊥ED。 又，所以EC⊥面。 因?yàn)?所以和的夾角為60°。 故二面角的大小為60°。 專(zhuān)題四：空間向量與空間距離例5.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，PC⊥面ABCD，PC=2，求