高中數(shù)學選修2-2同步練習題庫：定積分的簡單應用(較難)

共頁，第頁定積分的簡單應用（較難）1、由直線,,曲線及軸所圍成的封閉圖形的面積是（

）A．

B．

C．

D．2、已知，，則展開式中，項的系數(shù)為（

）A．

B．

C．

D．

3、的值為(

)A．0

B．

C．2

D．4

4、設則多項式的常數(shù)項是（

）A．-332.

B．332

C．166

D．-166

5、由直線，曲線及軸所圍圖形的面積為（

）A．

B．

C．

D．

6、如圖，函數(shù)與相交形成一個閉合圖形（圖中的陰影部分），則該閉合圖形的面積是（

）

A．

B．

C．

D．

7、函數(shù)的圖象與軸所圍成的封閉圖形的面積為（

）A．

B．

C．

D．

8、設，則多項式的常數(shù)項（

）A．

B．

C．

D．

9、曲線在點（1,）處的切線與坐標軸圍成的三角面積為

（

）A．

B．

C．

D．

10、的值為A．0

B．

C．2

D．4

11、如圖，函數(shù)y=與y=1相交形成一個閉合圖形（圖中的陰影部分），則該閉合圖形的面積是（

）

A．1

B．

C．

D．2

12、設下列關系式成立的是

（

）A．

B．

C．

D．

13、設，則的值為（

）A．

B．

C．

D．

14、A．

B．

C．

D．

15、若S1＝dx，S2＝dx，S3＝dx，則S1，S2，S3的大小關系為(

)A．S1＜S2＜S3

B．S2＜S1＜S3

C．S2＜S3＜S1

D．S3＜S2＜S116、由曲線，直線及y軸所圍成的圖形的面積為（

）A．

B．4

C．

D．6

17、下列等于1的積分是

（

）

A．

B．

C．

D．18、下列計算錯誤的是

（）A．

B．

C．

D．19、由曲線所圍成的封閉圖形的面積為A．

B．

C．

D．

20、如圖，陰影部分的面積是(

)

A．2

B．2－

C．

D．

21、由曲線圍成的封閉圖形面積為

（

）A．

B．

C．

D．

22、定積分的值為，則（

）A．

B．

C．

D．

23、的值為

A．0

B．1

C．

D．2

24、函數(shù)與的圖象所圍成的封閉圖形的面積為（

）A．

B．

C．

D．

25、已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與直線在原點處相切，此切線與函數(shù)圖象所圍區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為，則a的值為________．26、隨機地向區(qū)域內(nèi)投點，點落在區(qū)域的每個位置是等可能的，則坐標原點與該點連線的傾斜角不大于的概率是________________．27、若，則從小到大的順序為

.28、曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為

.29、直線與曲線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為

.30、由直線，曲線及軸所圍成的圖形的面積是___________．31、函數(shù)在點(1，2)處的切線與函數(shù)圍成的圖形的面積等于__________．32、已知在區(qū)間上，，，對軸上任意兩點,

都有.

若,

,,則的大小關系為_________．33、若一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則直線與曲線圍成圖形的面積為

.34、．給出下列命題：

①已知線性回歸方程，當變量增加2個單位，其預報值平均增加4個單位；

②在進制計算中，

；

③若，且，則；

④“”是“函數(shù)的最小正周期為4”的充要條件；

⑤設函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則M＋m=4027，其中正確命題的個數(shù)是

個。35、已知（為自然對數(shù)的底數(shù)），函數(shù)，則__________.36、如圖1為某質點在4秒鐘內(nèi)作直線運動時，速度函數(shù)的圖象，則該質點運動的總路程

厘米．37、設函數(shù)，若，則

．

38、如圖所示，拋物線與軸所圍成的區(qū)域是一塊等待開墾的土地，現(xiàn)計劃在該區(qū)域內(nèi)圍出一塊矩形地塊ABCD作為工業(yè)用地，其中A、B在拋物線上，C、D在軸上.已知工業(yè)用地每單位面積價值為元，其它的三個邊角地塊每單位面積價值元.

（1）求等待開墾土地的面積；

（2）如何確定點C的位置，才能使得整塊土地總價值最大.

39、已知二次函數(shù)，直線，直線（其中為常數(shù)），若直線與函數(shù)的圖象以及軸與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形（陰影部分）如圖所示.

（1）求的值；

（2）求陰影面積關于的函數(shù)的解析式.40、已知函數(shù)的圖象如圖，直線在原點處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域（陰影）面積為.

（1）求的解析式；

（2）若常數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.41、已知．

（Ⅰ）若在處的切線方程為，求與

的值；

（Ⅱ）求．42、（1）求定積分的值；

（2）若復數(shù)且為純虛數(shù)，求.43、給定可導函數(shù)，如果存在，使得成立，則稱為函數(shù)在區(qū)間上的“平均值點”.

(1)函數(shù)在區(qū)間上的平均值點為；

(2)如果函數(shù)在區(qū)間上有兩個“平均值點”，則實數(shù)的取值范圍是.44、已知二次函數(shù)，直線，直線（其中為常數(shù)），若直線與函數(shù)的圖象以及軸與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形（陰影部分）如圖所示.

（1）求的值；

（2）求陰影面積關于的函數(shù)的解析式.45、如圖，已知二次函數(shù)的圖像過點和，直線，直線（其中，為常數(shù)）；若直線與函數(shù)的圖像以及直線與函數(shù)以及的圖像所圍成的封閉圖形如陰影所示.

（1）求；

（2）求陰影面積關于的函數(shù)的解析式；

（3）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.

46、已知．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)在上的最值．47、定義F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函數(shù)f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的圖象為曲線C1,曲線C1與y軸交于點A(0,m),過坐標原點O向曲線C1作切線,切點為B(n,t)(n>0),設曲線C1在點A,B之間的曲線段與線段OA,OB所圍成圖形的面積為S,求S的值.

48、下列說法：（1）命題“”的否定是“”；

（2）關于的不等式恒成立，則的取值范圍是；

（3）對于函數(shù)，則有當時，，使得函數(shù)

在上有三個零點；

(4）

（5）已知，且是常數(shù)，又的最小值是，則7.其中正確的個數(shù)是

.49、如下圖，過曲線：上一點作曲線的切線交軸于點，又過作軸的垂線交曲線于點，然后再過作曲線的切線交軸于點，又過作軸的垂線交曲線于點，，以此類推，過點的切線

與軸相交于點，再過點作軸的垂線交曲線于點（N）．

(1)求、及數(shù)列的通項公式；(2)設曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為，求的表達式；(3)在滿足(2)的條件下,若數(shù)列的前項和為，求證：N.

參考答案1、A2、C3、C4、A5、C6、A7、B8、D9、A10、C11、B12、A13、14、A15、B16、A17、C18、D19、B20、C21、A22、C23、A24、C25、-3．26、27、28、29、30、．31、32、33、

34、435、736、1137、38、（1）;（2）點C的坐標為.39、（1）（2）40、（1）（2）詳見解析.41、（Ⅰ），；（Ⅱ）.42、（1）；（2）．43、(1)1；(2)44、（1）（2）45、（1）；（2）；（3）.46、（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）在上的最大值是，最小值是.47、948、449、(1)，，；(2)；(3)見解析.【解析】1、試題分析：

的范圍為.所以，選A.

考點：定積分.2、

，

，因此

，項的系數(shù)為，選C.3、試題分析：原式等于，故選C.

考點：定積分4、試題分析：∵，則多項式

，故它的常數(shù)項為，故選：A．

考點：1.二項式系數(shù)的性質；2.定積分．5、試題分析：由直線，曲線及軸所圍圖形為下圖中的曲邊梯形ABCD，其面積為，故選C．

考點：定積分求面積．6、試題分析：函數(shù)與的交點為，則閉合圖形的面積為

考點：定積分7、試題分析：

根據(jù)定積分的面積計算當時，與軸所圍成的面積就是正方形的面積，減四分之一個圓的面積，即，當時，，當時，，面積相加等于.故選B.

考點：1.分段函數(shù)；2.定積分的面積計算.8、試題分析：，多項式等于，常數(shù)項為，故選D.

考點：1.定積分的計算；2.二項式定理指定項的求法.9、試題分析：，當時，，所以切線方程是，當時，，當時，,所以，都選

考點：1．導數(shù)的幾何意義；2．截距10、試題分析：根據(jù)定積分的計算公式，原式.

考點：定積分的計算11、試題分析：，選B．

考點：定積分的應用．12、試題分析：

,．

．所以．故A正確．

考點：1定積分;2三角函數(shù)值．13、試題分析：由已知得：

，

令，得：，知：曲線是以坐標原點為圓心，1為半徑的圓處在x軸上方部分的半圓，由定積分的幾何意義知：

，

又，

故選A．

考點：定積分．14、試題分析：由題，因為函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，故

考點：定積分15、S1＝dx＝x3＝×23－＝，S2＝dx＝lnx＝ln2，S3＝dx＝ex＝e2－e＝e(e－1)，ln2＜lne＝1，且＜2.5＜e(e－1)，所以ln2＜＜e(e－1)，即S2＜S1＜S3.16、解：根據(jù)定積分的定義，則可知由曲線，直線及y軸所圍成的圖形的面積為17、略18、略19、本題考查定積分的幾何意義、定積分的計算。

由定積分的幾何意義，幾何圖形，曲線所圍成的封閉圖形的面積。

20、試題分析：直線與拋物線，解得交點為和，拋物線與軸負半軸交點，設陰影部分的面積為，故選C.

考點：定積分求解曲邊形的面積.

【方法點晴】本題主要考查了利用定積分求解曲邊形的面積，體現(xiàn)了定積分的應用，解答中要注意分割，關鍵是要注意在軸下方的部分的定積分為負（定積分的幾何意義強調(diào)代數(shù)和）屬于基礎題，解答中正確找到倍積函數(shù)，寫出定積分式是解答問題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.21、考點：定積分在求面積中的應用．

分析：要求曲線y=x2，y=x3圍成的封閉圖形面積，根據(jù)定積分的幾何意義，只要求∫01（x2-x3）dx即可．

解：由題意得：所求封閉圖形的面積為

∫01（x2-x3）dx═（x3-x4）|01

=×1-×1=，

故答案為：A．22、略23、略24、由得，，作出函數(shù)的圖象，則所求封閉圖形的面積為．25、試題分析：，由題意，，，易知，，所以．

考點：導數(shù)的幾何意義，定積分的幾何意義．26、所求概率為幾何概型，測度為面積，區(qū)域面積為

，坐標原點與該點連線的傾斜角不大于的面積為

，所以概率為

27、試題分析：由題意得，，，，所以．

考點：定積分的計算．28、試題分析：先根據(jù)題意畫出圖形，得到積分上限為1，積分下限為0，直線與曲線所圍圖形的面積

而

∴曲邊梯形的面積是．

考點：定積分29、試題分析：先根據(jù)題意畫出圖形，得到積分上限為，積分下限為，曲線與直線在第一象限所圍成餓圖形的面積是，即圍成的封閉圖形的面積為．

考點：利用定積分求解曲邊形的面積.30、試題分析：．

考點：1、定積分的應用；2、微積分基本定理．31、因為，所以，，則函數(shù)在點(1，2)處的切線為，即，作出草圖（如圖所示），則所求陰影部分的面積為.

32、試題分析：數(shù)形結合法，由已知可知f（x）的圖象在過點A（a，f（a））和B（b，f（b））的直線的上方，過A點和B點做垂直于x軸的直線分別交x軸于C、D兩點，過點A做直線BD的垂線交BD于點E，從而有為f（x）的圖象與x=a、x=b、x軸圍成的曲多邊形的面積，而為直角梯形ABDC的面積，為矩形ACDE的面積，由圖象可知.

考點：定積分的幾何意義33、試題分析：由中位數(shù)的定義知，即，由微積分基本定理可知該直線與曲線圍成圖形的面積為。

考點：（1）中位數(shù)的定義及求法；（2）由微積分基本定理求定積分。34、試題分析：①由線性回歸方程的意義可得結論正確；②，正確③由正態(tài)分布函數(shù)的性質可知正確；④由定積分的知識得：a=，所以根據(jù)周期公式知T=4，正確；⑤根據(jù)函數(shù)f（x）在單調(diào)遞增和是一個奇函數(shù)，然后進行整體運算.

考點：（1）線性回歸方程；（2）正態(tài)分布函數(shù)；（3）定積分；（4）函數(shù)的性質.35、試題分析：因為=，，

所以，答案為7.

考點：定積分計算，分段函數(shù)，對數(shù)計算.36、略37、略38、試題分析：（1）由于等待開墾土地是由曲線與x軸圍成的，求出曲線與x軸的交點坐標，再用定積分就可求出此塊土地的面積；（2）既然要確定點C的位置，使得整塊土地總價值最大,那我們只需先設出點C的坐標為(x，0)，然后含x的代數(shù)式表示出矩形地塊ABCD，進而結合（1）的結果就可表示出其它的三個邊角地塊的面積，從而就能將整塊土地總價值表示成為x的函數(shù)，再利用導數(shù)求此函數(shù)的最大值即可．

試題解析：（1）由于曲線與x軸的交點坐標為（－１，0）和(１,0),所以所求面積S=，

故等待開墾土地的面積為

3分

（2）設點C的坐標為，則點B其中，

∴

5分

∴土地總價值

7分

由得

9分

并且當時，

故當時，y取得最大值.

12分

答：當點C的坐標為時，整個地塊的總價值最大.

13分

考點：1.定積分;2.函數(shù)的最值.39、試題分析：（1）由圖可知二次函數(shù)的圖象過點，并且的最大值為16，可求得二次函數(shù)的解析式。（2）由（1）知，函數(shù)的解析式為

，求出二次函數(shù)與（其中為常數(shù)）的交點，所以陰影部分面積要分兩段積分，分[0,1]和[1,2]積分可求得面積。

試題解析：（1）由圖可知二次函數(shù)的圖象過點，并且的最大值為16，

則.

（2）由（1）知，函數(shù)的解析式為

，

由，所以，

因為，所以直線與的圖象位于左側的交點坐標為，

由定積分的幾何意義知：

.40、（1）由得.，由得，

∴，則易知圖中所圍成的區(qū)域（陰影）面積為，從而得，∴.

（2）由（1）知.的取值變化情況如下：2單調(diào)

遞增極大值

單調(diào)

遞減極小值

單調(diào)

遞增又，所以①當時,；

②當時,

綜上可知：當時,；

當時,

考點：導數(shù)與積分在幾何中的應用.41、試題分析：

（Ⅰ）求出函數(shù)的的導函數(shù)；根據(jù)題意知，可解得，；

（Ⅱ）根據(jù)微積分的基本定理設，解得，，得

，從而求得．

試題解析：

解：．

（Ⅰ）依題意：，解得，；

（Ⅱ）設，則

，解得，，即

，

∴．

考點：導數(shù)的幾何意義；微積分的基本定理.42、試題分析：（1）去掉絕對值，化簡積分式，即可計算定積分的值；（2）化簡，利用復數(shù)為純虛數(shù)，得出，求出的值，利用復數(shù)模的公式計算即可．

試題解析：（1）∫﹣21|x2﹣2|dx=+

=+=

故定積分是

（2）===

∵這個復數(shù)是一個純虛數(shù)，∴3a﹣8=0，∴a=，∴|z1|==

故復數(shù)的模長是

考點：定積分的計算；復數(shù)的運算及復數(shù)的定義．43、試題分析：由“平均值點”的定義可得，存在，使得成立，

即有在區(qū)間[-2，2]上“平均值點”的個數(shù)為1．

由題設存在，使得，

所以在[-1,1]上有兩解，問題轉化為與直線有兩個交點問題，因為直線橫過，

結合圖像不難得到.

考點：新定義、定積分的運用、直線與圓的位置關系44、試題分析：（1）由圖可知二次函數(shù)的圖象過點，并且的最大值為16，可求得二次函數(shù)的解析式。（2）由（1）知，函數(shù)的解析式為

，求出二次函數(shù)與（其中為常數(shù)）的交點，所以陰影部分面積要分兩段積分，分[0,1]和[1,2]積分可求得面積。

試題解析：（1）由圖可知二次函數(shù)的圖象過點，并且的最大值為16，

則.

（2）由（1）知，函數(shù)的解析式為

，

由，所以，

因為，所以直線與的圖象位于左側的交點坐標為，

由定積分的幾何意義知：

.45、試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖像過點和，法一：可以直接將點代入得到，進而求解即可；法二：由二次函數(shù)的圖像過點，可設（兩根式），進而再將代入可求出的值，最后寫出函數(shù)的解析式即可；（2）先求出直線與函數(shù)的圖像的交點坐標，進而根據(jù)定積分的幾何意義即可求出；（3）先由條件判斷點不在曲線上，于是設出切點，進而求出切線的斜率，一方面為，另一方面，于是得到等式即，根據(jù)題意，關于的方程要有三個不相等的實根，設，轉化為該函數(shù)的極大值大于零且極小值小于零，最后根據(jù)函數(shù)的極值與導數(shù)關系進行求解運算即可求出的取值范圍.

(1)二次函數(shù)的圖像過點，則，又因為圖像過點

∴

3分

∴函數(shù)的解析式為

4分

(2)由得，

∴直線與的圖像的交點橫坐標分別為，

6分

由定積分的幾何意義知：

8分

（3）∵曲線方程為，

∴點不在曲線上，設切點為，則，且

所以切線的斜率為，整理得

10分

∵過點可作曲線的三條切線，∴關于方程有三個實根

設，則，由得

∵當時，在在上單調(diào)遞增

∵當時，在上單調(diào)遞減

∴函數(shù)的極值點為

12分

∴關于當成有三個實根的充要條件是

解得，故所求的實數(shù)的取值范圍是

14分.

考點：1.二次函數(shù)的圖像與性質；2.定積分的應用；3.導數(shù)的幾何意義；4.函數(shù)的極值與導數(shù).46、試題分析：（1）先根據(jù)導數(shù)公式，確定，進而計算出，然后通過求導，求解不等式、并結合函數(shù)的定義域，即可得到的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）的單調(diào)性，分別求出在區(qū)間的極值、端點值，然后進行比較大小，最大的為最大值，最小的為最小值，問題就得以解決.

試題解析：依題意得，，定義域是．

（1）

令，得或

令，得

由于定義域是

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是

（2）令，從中解得（舍去），

由于

在上的最大值是，最小值是.

考點：1.定積分的計算；2.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)；3.函數(shù)的最值與導數(shù).47、因為F(x,y)=(1+x)y,