高中數(shù)學復習提升-高中數(shù)學專題-立體幾何專題(學生版)

PAGEPAGE16立體幾何專題【命題趨向】高考對空間想象能力的考查集中體現(xiàn)在立體幾何試題上，著重考查空間點、線、面的位置關(guān)系的判斷及空間角等幾何量的計算．既有以選擇題、填空題形式出現(xiàn)的試題，也有以解答題形式出現(xiàn)的試題．選擇題、填空題大多考查概念辨析、位置關(guān)系探究、空間幾何量的簡單計算求解，考查畫圖、識圖、用圖的能力；解答題一般以簡單幾何體為載體，考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及空間幾何量的求解問題，綜合考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．試題在突出對空間想象能力考查的同時，關(guān)注對平行、垂直關(guān)系的探究，關(guān)注對條件或結(jié)論不完備情形下的開放性問題的探究．【考點透析】立體幾何主要考點是柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖，表面積體積的計算，空間點、直線、平面的位置關(guān)系判斷與證明，（理科）空間向量在平行、垂直關(guān)系證明中的應(yīng)用，空間向量在計算空間角中的應(yīng)用等．【例題解析】題型1空間幾何體的三視圖以及面積和體積計算一、看圖選擇正確的三視圖1、（2010廣東理數(shù)）6.如圖1，△ABC為三角形，//

//

,

⊥平面ABC

且3===AB,則多面體△ABC-的正視圖（也稱主視圖）是2、（2010北京理數(shù)）一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖所示，則該幾何體的俯視圖為ABABCD二、根據(jù)三視圖求幾何體的面積、體積1、（2010安徽理數(shù)）8、一個幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積為A、280 B、2922、（江蘇省蘇州市2009屆高三教學調(diào)研測試第12題）已知一個正三棱錐的主視圖如圖所示，若，，則此正三棱錐的全面積為_________．3、（2010全國卷1文數(shù)）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為(A)(B)(C)(D)題型2空間點、線、面位置關(guān)系的判斷例1（江蘇蘇州市2009屆高三教學調(diào)研測試7）已知是兩條不同的直線，為兩個不同的平面，有下列四個命題：①若，，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確的命題是（填上所有正確命題的序號）_______________．分析：根據(jù)空間線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐個作出判斷．例2（浙江省2009年高考省教研室第一次抽樣測試理科第5題）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是A．若，則B．若則C．若，則D．若則題型3空間平行與垂直關(guān)系的證明、空間幾何體的有關(guān)計算例1．(2009江蘇泰州期末16)如圖所示，在棱長為的正方體中，、分別為、的中點．（1）求證：//平面；（2）求證：；（3）求三棱錐的體積．例2．（江蘇省蘇州市2009屆高三教學調(diào)研測試第17題）在四棱錐中，，，平面，為的中點，．（1）求四棱錐的體積；（2）若為的中點，求證平面；（3）求證∥平面．題型4求空間的角的大小一、異面直線所成的角例1（2007年廣東理數(shù)）如圖6所示，等腰三角形△ABC的底邊AB=，高CD=3，點E是線段BD上異于B、D的動點，點F在BC邊上，且EF⊥AB，現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACEF的體積。（1）求V(x)的表達式；（2）當x為何值時，V(x)取得最大值？（3）當V（x）取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值。例2．（2009年廣東理數(shù)）如圖６，已知正方體的棱長為２，點Ｅ是正方形的中心，點Ｆ、Ｇ分別是棱的中點．設(shè)點分別是點Ｅ，Ｇ在平面內(nèi)的正投影．（１）求以Ｅ為頂點，以四邊形在平面內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；（２）證明：直線；（３）求異面直線所成角的正統(tǒng)值二、直線與平面所成的角例3（2008年廣東理數(shù)）如圖5所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，，，垂直底面，，分別是上的點，且，過點FCPGEAB圖5FCPGEAB圖5D（1）求與平面所成角的正弦值；（2）證明：是直角三角形；（3）當時，求的面積。三、求二面角大小：求解二面角大小的常用方法(一)定義法：根據(jù)二面角的平面角的定義，在二面角的棱上選擇恰當?shù)囊稽c，經(jīng)過這點作出二面角的平面角，這里點的選擇是關(guān)鍵，常選擇中點、垂足等。例1如圖所示在正方體中，求兩個平面與平面相交所成二面角的大小。AABCDA1B1C1D1例2如圖，已知平行六面體的底面ABCD是菱形，且D1BACDA1B1C1OD1BACDA1B1C1O（二）直接法：圖形中已有二面角的平面角，只要加以認定或證明，然后計算即可。例3(2010年廣東理數(shù))如圖是半徑為的半圓，為直徑，點為的中點，點和點為線段的三等分點，平面外一點滿足，。（1）證明：；（2已知點為線段上的點，，，求平面與平面所成二面角的正弦值。。（三）三垂線法：根據(jù)三垂線定理或逆定理，從二面角的一個面內(nèi)的一點P作另一個面的垂線，將得到的第二個垂足B與P連接，則就是二面角的平面角，該法應(yīng)用廣泛，不過應(yīng)注意要有必要的說明與論證。例4（2010全國卷2理數(shù)）如圖，直三棱柱中，，，為的中點，為上的一點，．（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；（Ⅱ）設(shè)異面直線與的夾角為45°，求二面角的正切值。（四）面積射影公式法：運用射影面積定理“”求射影面積與截面所夾的二面角的大小，這種方法可以免去尋找二面角的平面角及證明過程，使解法直截了當。A1AB1CA1AB1C1D1BCDFE(1)若為的中點，求證:∥面；(2)若為的中點,求二面角的余弦值；(五)補形法：當二面角的圖形不完整時，特別是沒有給出二面角的兩個半平面的交線時，可以將兩個半平面延伸，使其相交，構(gòu)成完整的二面角。例6（2010年廣東省揭陽市高考一模試題理科）右圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，平面，，且。（1）求證：BE//平面PDA；（2）若N為線段的中點，求證：平面；（3）若，求平面PBE與平面ABCD所成的二面角的大?。?已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA1，F(xiàn)為棱BB1的中點，M為線段AC1的中點．（1）求證：直線MF∥平面ABCD；（2）求證：平面AFC1⊥平面ACC1A1（3）求平面AFC1與與平面ABCD所成二面角的大小．題型5空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（理科立體幾何解答題的主要題型）例8．（2009年福建省理科數(shù)學高考樣卷第18題）如圖，在棱長為的正方體中，分別為和的中點．（1）求證：∥平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點，使得二面角的大小為?若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．例9（浙江寧波市2008學年度第一學期期末理科第20題）已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值；（3）求此幾何體的體積的大?。眷柟叹毩暋恳?、選擇題1．如圖為一個幾何體的三視圖，尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為（不考慮接觸點） （）A． B． C．D．2．某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的體積是（）A． B． C． D．3．已知一個幾何體的主視圖及左視圖均是邊長為的正三角形，俯視圖是直徑為的圓，則此幾何體的外接球的表面積為 （）A． B． C． D．4．一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為，腰和上底長均為的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是（）A． B． C． D．5．一個盛滿水的三棱錐容器，不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個小洞，且知，若仍用這個容器盛水，則最多可盛原來水的（） A． B． C． D．6．點在直徑為的球面上，過作兩兩垂直的三條弦，若其中一條弦長是另一條弦長的倍，則這三條弦長之和為最大值是（）A． B． C． D．7．正方體中，的中點為，的中點為，異面直線與所成的角是 （）A． B． C． D．8．已知異面直線和所成的角為，為空間一定點，則過點且與所成角都是的直線有且僅有 （）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條9．如圖所示，四邊形中，，將△沿折起，使平面平面，構(gòu)成三棱錐，則在三棱錐中，下列命題正確的是（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面10．設(shè)、、是空間不同的直線或平面，對下列四種情形：①、、均為直線；②、是直線，是平面；③是直線，、是平面；④、、均為平面．其中使“⊥且⊥∥”為真命題的是 （）A．③④ B．①③ C．②③ D．①②11．已知三條不重合的直線、、兩個不重合的平面、，有下列命題①若，則；②若，且，則；③若，，則；④若，，，，則．中正確的命題個數(shù)是（）A． B． C． D．12．直線與直二面角的兩個面分別交于兩點，且都不在棱上，設(shè)直線與平面所成的角分別為，則的取值范圍是（） A．B． C． D．二、填空題13．在三棱錐中，，，一只螞蟻從點出發(fā)沿三棱錐的側(cè)面繞一周，再回到點，則螞蟻經(jīng)過的最短路程是．14．四面體的一條棱長為，其它各棱長為，若把四面體的體積表示成的函數(shù)，則的增區(qū)間為，減區(qū)間為．15．如圖，是正方體平面展開圖，在這個正方體中：①與平行；②與是異面直線；③與成角；④與垂直．以上四個說法中，正確說法的序號依次是．16．已知棱長為的正方體中，是的中點，則直線與平面所成的角的正弦值是．三、解答題17．已知，如圖是一個空間幾何體的三視圖．（1）該空間幾何體是如何構(gòu)成的；（2）畫出該幾何體的直觀圖；（3）求該幾何體的表面積和體積． 18．如圖，已知等腰直角三角形，其中，．點分別是,的中點，現(xiàn)將沿著邊折起到位置，使，連結(jié)、．（1）求證：；（2）求二面角的平面角的余弦值．19．如下圖，在正四棱柱中，，點分別為的中點，過點三點的平面交于點．（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值；（3）設(shè)截面把該正四棱柱截成的兩個幾何體的體積分別為（），求的值．20．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，垂直于底面，分別為的中點．（1）求證：；（2）求與平面所成的角；（3）求截面的面積．21．如圖，正方形所在的平面與平面垂直，是和的交點，，且．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的大?。唬?）求二面角的大?。瓵CDA1B1C1D1MNE1.(本題14分)如圖,長方體中,是ACDA1B1C1D1MNE（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求異面直線和所成角的余弦值；ABCDAABCDA1B1C1D1FM且面，，，為棱的中點，為線段的中點，（1）求證：面；（2）求證：面；3、如圖所示，在棱長為2的正方體中，、分別為、的中點．（Ⅰ）求證：//平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求三棱錐的體積．4．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為棱AB、BC的中點。（Ⅰ）試判截面MNC1A1（Ⅱ）證明：平面MNB1⊥平面BDD1B1。5．如圖，在長方體中，，，、分別為、的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面．6．ABCDFEO如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱EF∥ABCDFEO（1）證明FO//平面CDE；（2）設(shè)BC=CD，證明EO⊥平面CDF．7．如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，底面ABCD，E為PC的中點。PA＝AD＝AB＝1。（1）證明：（2）證明：（3）求三棱錐B-PDC的體積V。第8題圖第8題圖CDBAPEF8．已知ABCD是矩形，，E、F分別是線段AB、BC的中點，面ABCD.(1)證明：PF⊥FD；(2)在PA上找一點G，使得EG∥平面PFD.9．如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∥，，E、F分別為PC、CD的中點證明：CD⊥平面BEF10．ABCDEPABCDEPAB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC中點．(=1\*ROMANI)求證：平面PDC平面PAD；(=2\*ROMANII)求證：BE//平面PAD．ADEPCB11．如圖，四棱錐P－ABCD中，ADEPCBPB與底面所成的角為45，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90，PA=BC=EQ\F(1,2)AD．求證：平面PAC⊥平面PCD；21.如圖，已知正三棱柱—的底面邊長是，是側(cè)棱的中點，直線與側(cè)面所成的角為．（Ⅰ）求此正三棱柱的側(cè)棱長；（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）求點到平面的距離．22．在正方體中，如圖、分別是，的中點，（1）求證：平面；（2）求．APBCDEF24．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點，APBCDEF（1）求證：PA⊥BC；（2）試在PC上確定一點G，使平面ABG∥平面DEF；（3）在滿足（2）的情況下，求二面角G-AB-C的平面角的正切值．25.ABCA1B1C1DABCA1B1C1D（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值大小.26．如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的余弦值；（Ⅲ）求點D到平面ACE的距離.27.如圖，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直線與直線所成的角為60°.（Ⅰ）求證：平面⊥平面;（Ⅱ）求二面角的大小;（Ⅲ）求三棱錐的體積.30．如圖，在四棱錐中，底面APEBCDAPEBCD (I)證明：； (II)證明：平面； (III)求二面角的大小.31、如圖，矩形中，，，ABCDEFG為上的點，且ABCDEFG（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求三棱錐的體積．BBMEDCA32．如圖，正方形所在的平面與平面垂直，是和的交點，，且．(Ⅰ)求證：平面；(Ⅱ)求直線與平面所成的角的大小；(Ⅲ)求二面角的大?。?3．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑，，，設(shè)AE與平面ABC所成的角為,且,四邊形DCBE為平行四邊形，DC平面ABC．（1）求三棱錐C－ABE的體積；（2）證明：平面ACD平面；（3）在CD上是否存在一點M，使得MO//平面？證明你的結(jié)論．34．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上