幾種特殊類型函數(shù)的積分

關(guān)于幾種特殊類型函數(shù)的積分定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù).一、有理函數(shù)的積分即稱此有理函數(shù)是真分式；稱此有理函數(shù)是假分式；機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁,共65頁，2024年2月25日，星期天利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和。例多項(xiàng)式的不定積分是容易求的，因此，下面我們只討論真分式的不定積分。說明：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁,共65頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁,共65頁，2024年2月25日，星期天（1）分母中若有因式，則分解后含有下列項(xiàng):則分解后含有下列項(xiàng)：（2）分母中若有因式,其中具體步驟如下：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁,共65頁，2024年2月25日，星期天四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項(xiàng)積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁,共65頁，2024年2月25日，星期天整理得例1

求積分

解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁,共65頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁,共65頁，2024年2月25日，星期天代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例2：求積分

解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁,共65頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解1:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解得：第11頁,共65頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解2:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁,共65頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

說明:

將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法.第14頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解:

原式例5：求積分

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解:

原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁例6：求積分

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁,共65頁，2024年2月25日，星期天三角函數(shù)的有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)．一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分（萬能置換公式）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁,共65頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束萬能置換公式第18頁,共65頁，2024年2月25日，星期天例7：求積分解：由萬能置換公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束令第19頁,共65頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁,共65頁，2024年2月25日，星期天例8：求積分解1：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束用萬能公式較繁第21頁,共65頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁,共65頁，2024年2月25日，星期天例8：求積分解2：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同解1第23頁,共65頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明：一般來說，用萬能置換的計(jì)算量會(huì)比較大，故在計(jì)算三角函數(shù)有理式的積分時(shí)，通常先考慮其它方法，不得已再用萬能置換。第24頁,共65頁，2024年2月25日，星期天三角函數(shù)有理式的主要積分類型及代換機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解1:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例9：求積分第26頁,共65頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第27頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解2：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束（同解法1）例9：求積分第28頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解3：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例9：求積分第29頁,共65頁，2024年2月25日，星期天例10：求解：令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分第30頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解：令則原式例11：求積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第31頁,共65頁，2024年2月25日，星期天例12：求積分解：令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第32頁,共65頁，2024年2月25日，星期天例13：求積分解：令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第33頁,共65頁，2024年2月25日，星期天簡(jiǎn)單無理函數(shù)積分小結(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1、當(dāng)被積函數(shù)含有根式，且根式中含有三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，可先令整個(gè)根式為t，去掉根式后再作。第34頁,共65頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解1:例14：求積分第35頁,共65頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解2：例14：求積分第36頁,共65頁，2024年2月25日，星期天故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第37頁,共65頁，2024年2月25日，星期天四、內(nèi)容小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡(jiǎn)單無理函數(shù)三角代換根式代換2.特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定要注意綜合使用基本積分法,簡(jiǎn)便計(jì)算.簡(jiǎn)便,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第38頁,共65頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)習(xí)題4-4(P280)2(雙)；3(雙)；4(雙)；機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第39頁,共65頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

備用題第40頁,共65頁，2024年2月25日，星期天2、求積分

解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第41頁,共65頁，2024年2月25日，星期天3、求積分解1機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第42頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解2修改萬能置換公式,令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3、求積分第43頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解3可以不用萬能置換公式.說明：比較以上三種解法便知，萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3、求積分第44頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解:說明:

通常求含的積分時(shí),往往更方便.的有理式用代換4、求積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第45頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解法1令原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束5、求積分解法2原式第46頁,共65頁，2024年2月25日，星期天6、求積分解1機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第47頁,共65頁，2024年2月25日，星期天6、求積分解2機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第48頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解3機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束6、求積分第49頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解1機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束7、求積分第50頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解2機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束7、求積分第51頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解3機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束7、求積分第52頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解1機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束8、求積分第53頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解2機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束8、求積分第54頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解3機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束8、求積分第55頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束9、求積分第56頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解1機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束10、求積分第57頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解2機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束10、求積分第58頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解3機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束10、求積分第59頁,共65頁，2024年2月25日，星期天解4：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束10、求積分第60頁,共65頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則第61頁,共