函數(shù)的對稱性

關于函數(shù)的對稱性1-3-1-2165432-xx78（偶函數(shù)）Y=F(x)圖像關于直線x=0對稱知識回顧從”形”的角度看，從”數(shù)”的角度看，F(xiàn)(-x)=F(x)XY第2頁,共34頁，2024年2月25日，星期天1-3-1-216543278

f(x)=

f(4-x)

f(1)=f(0)=f(-2)=

f(310)=f(6)f(4-310)0x4-xY=f(x)圖像關于直線x=2對稱f(3)f(4)從”形”的角度看，從”數(shù)”的角度看，xy第3頁,共34頁，2024年2月25日，星期天1

f(1+x)=

f(3-x)

f(2+x)=

f(2-x)

f(x)=

f(4-x)

對于任意的x你還能得到怎樣的等式？從”形”的角度看，從”數(shù)”的角度看，Y=f(x)圖像關于直線x=2對稱1-3-1-26543270x4-xYx第4頁,共34頁，2024年2月25日，星期天-2-x1-3-1-216543278x=-1

f(x)=

f(-2-x)x思考?若y=f(x)圖像關于直線x=-1對稱Yx第5頁,共34頁，2024年2月25日，星期天-1+x-1-x1-3-1-216543278x=-1

f(-1+x)=

f(-1-x)思考?若y=f(x)圖像關于直線x=-1對稱

f(x)=

f(-2-x)Yx第6頁,共34頁，2024年2月25日，星期天1猜測：若y=f(x)圖像關于直線x=a對稱

f(x)=f(2a-x)

f(a-x)=f(a+x)第7頁,共34頁，2024年2月25日，星期天在y=f(x)圖像上任取一點P點P關于直線x=a的對稱點P’則有P’的坐標應滿足y=f(x)也在f(x)圖像上P(x0,f(x0))P’P’(2a-x0,f(x0))f(x0)=f(2a-x0)即：

f(x)=f(2a-x)x02a-x0y=f(x)圖像關于直線x=a對稱（代數(shù)證明）

求證已知y=f(x)圖像關于直線x=a對稱

f(x)=f(2a-x)第8頁,共34頁，2024年2月25日，星期天在y=f(x)圖像上任取一點P若點P關于直線x=a的對稱點P’也在f(x)圖像上P(x0,f(x0))P’P’(2a-x0,f(x0))f(x0)=f(2a-x0)

f(x)=f(2a-x)x02a-x0y=f(x)圖像關于直線x=a對稱（代數(shù)證明）

已知求證y=f(x)圖像關于直線x=a對稱

則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱?

f(x)=f(2a-x)P’在f(x)的圖像上第9頁,共34頁，2024年2月25日，星期天y=f(x)圖像關于直線x=a對稱

f(x)=f(2a-x)

f(a-x)=f(a+x)y=f(x)圖像關于直線x=0對稱

f(x)=f(-x)特例：a=0軸對稱性思考？若y=f(x)滿足f(a-x)=f(b+x),則函數(shù)圖像關于

對稱

a+b2x=直線第10頁,共34頁，2024年2月25日，星期天-xxxyoF(-x)+F(x)=0y=F(x)圖像關于(0,0)中心對稱中心對稱性類比探究

a從”形”的角度看，從”數(shù)”的角度看，第11頁,共34頁，2024年2月25日，星期天F(x)+F(2a-x)=0xyo

ay=F(x)圖像關于(a,0)中心對稱從”形”的角度看，從”數(shù)”的角度看，中心對稱性類比探究x2a-x第12頁,共34頁，2024年2月25日，星期天F(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0xyo

a從”形”的角度看，從”數(shù)”的角度看，中心對稱性類比探究

a+x

a-xy=F(x)圖像關于(a,0)中心對稱b第13頁,共34頁，2024年2月25日，星期天aF(a+x)+F(a-x)=2bF(x)+F(2a-x)=2bb中心對稱性y=F(x)圖像關于(a,b)中心對稱類比探究xyo第14頁,共34頁，2024年2月25日，星期天思考？(1)若y=f(x)滿足f(a-x)+f(b+x)=0,(2)若y=f(x)滿足f(a-x)+f(b+x)=2c,則函數(shù)圖像關于

對稱

a+b2(,0)點則函數(shù)圖像關于

對稱

a+b2(,C)點第15頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

知識內(nèi)容：函數(shù)圖像的對稱性對稱關系式y(tǒng)=F(x)圖像關于x=a軸對稱F(x)=F(2a-x)F(a-x)=F(a+x)

y=F(x)圖像關于點(a,b)中心對稱F(x)+F(2a-x)=2bF(a-x)+F(a+x)=2b第16頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

數(shù)學思想方法:1.數(shù)形結合2.由特殊到一般3.類比思想第17頁,共34頁，2024年2月25日，星期天知識遷移：已知對任意x，有f(x+2)=f(-x),當x[2,3]，y=x求當x[-1,0]時，f(x)的解析式？第18頁,共34頁，2024年2月25日，星期天謝謝!第19頁,共34頁，2024年2月25日，星期天奇函數(shù)F(-x)=-F(x)即：F(-x)+F(x)=0函數(shù)圖像關于(0,0)中心對稱-xx第20頁,共34頁，2024年2月25日，星期天F(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0函數(shù)圖像關于(a,0)中心對稱-xx第21頁,共34頁，2024年2月25日，星期天a函數(shù)圖像關于(a,0)中心對稱F(a+x)+F(a-x)=0F(x)+F(2a-x)=0第22頁,共34頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)圖像關于(a,0)中心對稱第23頁,共34頁，2024年2月25日，星期天-xx

函數(shù)圖像關于直線x=0對稱F(-x)=F(x)

函數(shù)圖像關于直線x=a對稱F(a-x)=F(a+x)x=aF(x)=F(2a-x)函數(shù)圖像關于(0,0)中心對稱函數(shù)圖像關于(a,0)中心對稱F(-x)=-F(x)F(a-x)+F(a+x)=0F(x)+F(2a-x)=0軸對稱中心對稱性a第24頁,共34頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)圖像關于軸對稱證明：

（必要性）第25頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共34頁，2024年2月25日，星期天1-3-1-265432第27頁,共34頁，2024年2月25日，星期天1-3-1-22-xx第28頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第29頁,共34頁，2024年2月25日，星期天1-3-1-2165432-xx78思考？若函數(shù)圖像關于軸對稱，有怎樣的對稱關系式？第30頁,共34頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)y=f(x)圖像關于x=a軸對稱證明：

（必要性）任取y=f(x)圖像上一點P(x0,y0)若點P關于直線x=a的對稱點P’也在f(x)圖像上．分析：P(x0,y0)P’P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)

Y0=f(2a-x0)y=f(x)圖像上每一點及其關于x=a對稱點都在y=f(x)圖像上則y=f(x)圖像上圖象關于x=a對稱則由P的任意性可知？

f(x)=f(2a-x)第31頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

函數(shù)圖像關于直線x=0對稱F(-x)=F(x)

函數(shù)圖像關于直線x=a對稱F(a-x)=F(a+x)x=aF(x)=F(2a-x)函數(shù)圖像關于(0,0)中心對稱函數(shù)圖像關于(a,0)中心對稱第32頁,共34頁，2024年2月25日，星期天?

任取y=f(x)圖像上一點P(x0,y0))設P’是P關于直線x=a的對稱點由f(x)圖像關于x=a對稱P’也在y=f(x)圖像上P(x0,y0)P’f(2a-x0)=f(x0