2022-2023學年內蒙古巴彥淖爾市高一（下）期末數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年內蒙古巴彥淖爾市高一(下)期末數(shù)學試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.］知集合與={%|1-%>0},B={x\x2<9},則4UB=()

A.(—3,1)B.1)C.(1,3)D.(―8,3)

2.某圓臺上底面和下底面的面積分別為4,9,高為3,則該圓臺的體積為()

A.19B.19兀C.57D.57兀

3.復數(shù)z=1+4i的虛部為()

A.5B.3C.5iD.3i

1

4.記的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,若cos/=*a=2b,貝!JsinB=()

A.?B.?C.|D.1

5.已知P為平面a外一點，則下列判斷錯誤的是()

A.過點P只能作一個平面與a平行B.過點P可以作無數(shù)條直線與a平行

C.過點P只能作一個平面與a垂直D.過點P只能作一條直線與a垂直

6.已知函數(shù)/(%)=COS3%?>0)的最小正周期為7T,將f(%)的圖象向右平移3個單位長度后

得到函數(shù)g(%)的圖象，則g(%)=()

A.cos(2x—2)B.cos(2x—4)C.cos(2x+2)D.cos(4%+4)

7.已知向量1=(4,3),另=(3,A)，且五13，貝哈在五+另方向上的投影向量的坐標為()

A.嗎,-0B.(—另)C.D.(7,-1)

8.如圖，為了測量古塔的高度，選取了與該塔底B在同一平面內

的兩個測量基點C與D,現(xiàn)測得NBCD=70.5°,CD=105m,在C點

測得古塔頂端力的仰角為26.5。，在D點測得古塔頂端4的仰角為

18.5°,則古塔的高度4B=()

(參考數(shù)據(jù)：取tcm71.5。=3,tan63.5°=2,cos70.5°=1)

A.21mB.30mC.35mD.42m

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.己知復數(shù)z=—(2i+6)i,則()

A.z+i的模長為4方

B.z在復平面內對應的點在第四象限

C.z-2為純虛數(shù)

D.在復數(shù)范圍內，z是方程/一4%+40=0的一個解

10.已知一組數(shù)據(jù)第1，%2,…，久九的平均數(shù)為中位數(shù)為小方差為c,眾數(shù)為d,數(shù)據(jù)-2%i+1,

—

-2%2+1,…，2xn+1的平均數(shù)為由,中位數(shù)為名，方差為q,眾數(shù)為貝！|()

A.%=—2a+1B.瓦無法確定C.q=—2c+1D.d]=—2d+1

11.已知函數(shù)f(%)=S譏%cos%,則()

A./(%)的最小正周期為27rB.y(x)為奇函數(shù)

C.f(x)在區(qū)間件,圣上單調遞增D./(x)的最小值為一g

44

12.拋擲一黃一白兩枚質地均勻的骰子，用a表示黃色骰子朝上的點數(shù)，用b表示白色骰子朝

上的點數(shù)，用(a,6)表示一次試驗的結果，該試驗的樣本空間為。，記事件2=''關于x的方程

%2—(a+b)x+1(a+b)=0無實根"，事件B="a=4",事件C="6<4",事件

D="ab>20"，則()

A.2與B互斥B.4與。對立C.8與C相互獨立D.B與。相互獨立

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量而=(2,4),元=(尢/7),若沅〃記，則2=.

14.將4B,C三組數(shù)據(jù)繪制成如圖的折線圖，則這三組數(shù)據(jù)中，組數(shù)據(jù)的方差最

小.

15.若tan(a—￡)=：，則tan2a=____.

43

16.已知P為△48C所在平面外一點，P4=2,48=CU,cosN8aC=\當三棱

4

錐P-ABC的體積最大時，則該三棱錐外接球的表面積為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

為了解學生對黨的“二十大”精神的學習情況，學校開展了“二十大”相關知識的競賽活動，

全校共有1000名學生參加，其中男生550名，采用分層抽樣的方法抽取100人，將他們的比賽

成績(成績都在[50,100]內)分為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]5組,得到如圖

所示的頻率分布直方圖.

(1)求a的值以及女生被抽取的人數(shù)；

(2)估計這100人比賽成績的85%分位數(shù)(小數(shù)點后保留2位).

18.(本小題12.0分)

如圖，在正方體ABCD—ABiGDi中，E,F分別是GA，的中點?

(1)證明：EF〃平面

(2)求異面直線EF與4。所成角的大小.

19.(本小題12.0分)

在44BC中,角4,B,C的對邊分別為a,6,c.已知(sinA-sinB+sinC~)(b+c-a)=bsinA.

(1)求角C的大??；

(2)若c=8,AABC的面積為3C，求△ABC的周長.

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=log/(a＞。且a豐1)在區(qū)間16］上的最大值是2.

(1)求a的值；

(2)若函數(shù)g(x)=-ax+》的定義域為R,求不等式小-3巾＞4中小的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

甲、乙兩人組成“夢想隊”參加“極速猜歌”比賽，比賽共兩輪.第一輪甲、乙兩人各自先從

“經典紅歌”曲庫中隨機抽取一首進行猜歌名，每猜對一首歌曲歌名即給該人加1分，沒猜對

不加分，也不扣分.第二輪甲、乙兩人各自再從“流行歌曲”曲庫中隨機抽取一首進行猜歌名，

每猜對一首歌曲歌名即給該人加2分，沒猜對不加分，也不扣分.已知甲猜對“經典紅歌”曲

庫中歌曲歌名的概率為|,猜對“流行歌曲”曲庫中歌曲歌名的概率為號乙猜對“經典紅歌”

曲庫中歌曲歌名的概率為會猜對“流行歌曲”曲庫中歌曲歌名的概率為,甲、乙猜對與否

互不影響，各輪結果也互不影響.

(1)求“夢想隊”恰好猜對三首歌曲歌名的概率；

(2)求“夢想隊”恰好獲得4分的概率.

22.(本小題12.0分)

如圖，在正三棱錐P—ABC中，E,F分別為4B,BC的中點，M,N分別為PE,PF的中點.

(1)證明：MN1PB.

(2)若34B=4P4且四棱錐P-AMNC的體積為嗎三，求點力到平面PMN的距離.

P

NN。

E

B

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由1一%＞0,得比＜1,所以4=(一8,1),

由?。?,得一3＜乂＜3,所以B=(—3,3),

所以AUB=(-co,3).

故選：D.

先解不等式求出兩集合，再求兩集合的并集即可.

本題考查并集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，記圓臺上底面和下底面的面積分別為S2,高為八,

則S]=4,$2=9,h=3,

則圓臺的體積Ugh(Si+JS1S2+S2)=|x3X(4++9)=19.

故選：A.

根據(jù)題意，由圓臺的體積公式，計算可得答案.

本題考查圓臺的體積計算，涉及圓臺的結構特征，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：由復數(shù)2=言+4"號+4i=2+3i,則復數(shù)z的虛部為3.

故選：B.

根據(jù)復數(shù)的運算法則，化簡得到z=2+33結合復數(shù)的概念，即可求解.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，屬于基礎題.

4.【答案】B

【解析】II：1?1cosA=I，且aG（0,兀）,

???sinA=V1—cos2/l=日?

由正弦定理有：急=七

故選：B.

由條件及同角三角函數(shù)的基本關系求得s譏4再由正弦定理計算即得.

本題考查利用正弦定理解三角形，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：對于力，過平面a外一點P只能作一個平面與a平行，故A正確；

對于B,平面a外一點P可以作無數(shù)條直線與a平行，故2正確；

對于C,平面a外一點P可以作無數(shù)個平面與a垂直，故C錯誤；

對于D,平面a外一點P只能作一條直線與a垂直，故O正確.

故選：C.

利用空間中線與面的平行關系與垂直關系進行判斷即可.

本題主要考查了平面的基本性質及推論，屬于基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：■.-函數(shù)/（久）=cos3x（a）＞0）的最小正周期為穿=兀，；.&）=2,/（x）=cos2x.

將/（久）的圖象向右平移3個單位長度后，得到函數(shù)。（久）=cos（2x-23）=cos（2x-4）的圖象.

故選：B.

由題意，根據(jù)三角函數(shù)y=2cos（3x+0）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象和性質，得出結論.

本題主要考查三角函數(shù)y=Acos^x+0）的圖象變換規(guī)律,余弦函數(shù)的圖象和性質，屬于基礎題.

7.【答案】C

【解析】解：由N=(4,3),b=(3,2)＞且五_L

可得12+34=0,解得4=一4,

-'-a+b=(7,—1)＞則石在1+1方向上的投影向量為:

加.(5+尤)2+石

\a+b\\a+b\

_(3,-4)(7,-1).(7,-1)

一＜50V-50

71

=(廠辦

故選：c.

首先由Ela建立方程求出九再根據(jù)投影向量的概念，直接計算即可.

本題考查向量的坐標運算，投影向量的概念，屬基礎題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意得NC4B=90°-26.5°=63.5。，ADAB=90°-18.5°=71.5°,

則在Rt△ABC^ARtAABD中，

BC=AB-tan63.5°=2AB,BD=ABtan71.5°=3AB,

在4BCD中，由余弦定理得BD?=BC2+CD2-2BC-CD-cos乙BCD,

即945=4aB2+1052-2x24Bx105x1,解得AB=35m.

故選：C.

先分別將BC,BD用4B表示，再在△BCD中，利用余弦定理即可得解.

本題考查解三角形的實際應用，屬于中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：z=-(2i+6)i=2-6i,

對于4，|z+i|=|3-6i|=J32+(—6)2=3A/-5；

對于B,z在復平面內對應的點(2,-6)在第四象限，故8正確；

對于C,z—2=2—6i—2=—6i,故C正確；

對于D,(2-6i)2-4(2-6i)+40=4-36-24i-8+24i+40=0,

故z是方程/一4%+40=0的一個解，故D正確.

故選：BCD.

根據(jù)已知條件，先求出z,再結合復數(shù)的幾何意義，純虛數(shù)的定義，復數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)模公式，屬于基礎題.

10.【答案】AD

【解析】解：已知在數(shù)據(jù)％i，x2>...?今中，

當n為奇數(shù)時，中位數(shù)為人=嗎衛(wèi)，

當n為偶數(shù)時，中位數(shù)為力=喳之，

已知數(shù)據(jù)—2久1+1,-2犯+1,…，—2xn+1,

其平均數(shù)為=-2(當+,+...+期)+，2=—2a+1,故選項A正確；

當n為奇數(shù)時，中位數(shù)為=3紇1)+2=一2b+1,

當n為偶數(shù)時，中位數(shù)b苧1)+2=_26+1，故選項8錯誤；

(—2%i+l+2a—1)2+(—2%?+1+2。-1)2+“.+(—2%九+1+2。-1)2

n

2?7

=4xQ-江+9-立+“.+(a皿=4c，故選項。錯誤；

n

眾數(shù)di=—2d+1,故選項。正確.

故選：AD.

由題意，根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差的計算方法即可判斷選項A、B.C,結合眾數(shù)的定義即可判

斷選項D.

本題考查中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)和方差，考查了邏輯推理和運算能力.

11.【答案】BCD

【解析】解：/(%)=sinxcosx=則/(%)的最小正周期T=:=兀；

又以-X)=Sin(~2x)=一等=一/(%),所以/(X)為奇函數(shù)；

令一1+2/OTW2久W1+2/CTT,keZ,解得一；+卜兀W久W；+/ot,keZ,

所以/(久)的單調遞增區(qū)間為［-3+k兀常+k兀I#eZ,令

k=l,得/⑶的其中一個單調遞增區(qū)間為［),爭；

44

/(X)的最小值為-今

故選：BCD.

利用二倍角公式得/(%)=竽，對應y=s譏x的性質判斷各個選項即可.

本題考查三角函數(shù)性質，屬于基礎題.

12.【答案】BCD

【解析】解：由題意得。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},包含36個

樣本點，

由4=(a+Z?)2—10(a+b~)<0,得0<a+6<10,

所以4={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),

(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

(6,1),(6,2),(6,3)},共包含30個樣本點，

B={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)},共包含6個樣本點,

4與B不互斥，故選項A錯誤；

又。={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),

(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3)},共包含18個樣本點，

D=((4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含6個樣本點,

所以4與。對立，故選項B正確；

選項C,因為P(BC)=磊=2,P⑻=￡=Q(C)=11=1，

所以P(BC)=P(B)P(C),故B與C相互獨立，故選項C正確；

選項。，因為P(BD)=2，P(D)=卷=之所以P(BD)=P(B)P(D),故8與。相互獨立，故選項

￡)正確.

故選：BCD.

先用列舉法寫出一次試驗的基本事件上，再根據(jù)條件寫出事件4B,C,。包含的基本事即可判

斷出選項A和B的正誤;再利用古典概率公式和事件相互獨立的判斷方法逐一對選項C和。分析判

斷即可得出結果.

本題主要考查了互斥事件和獨立事件的定義，屬于中檔題.

13.【答案】?

【解析】解：因為向量記=(2,4),元=(4/7),

若沆〃元，貝！12/7=44，

解得力=浮.

故答案為：￡1.

由已知結合向量平行的坐標表示即可求解.

本題主要考查了向量平行的坐標表示，屬于基礎題.

14.【答案】B

【解析】解：易知4B,C組數(shù)據(jù)的平均數(shù)均為1+3+泮+9=3+4+；+5+6=3+2+：+7+8=的,

而B組數(shù)據(jù)相對于平均數(shù)的波動程度最小，

所以B組數(shù)據(jù)的方差最小.

故答案為：B.

由題意，根據(jù)折線圖中所給信息以及平均數(shù)公式得到三組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，再結合數(shù)據(jù)波動程度

即可求解.

本題考查平均數(shù)和方差，考查了邏輯推理和運算能力.

15.【答案】-卷

【解析】解：若tan(a—則=tan(a—R=既哥藁=帶=5,

2tana105

貝（Jem2a=

1—tan2a1-2512,

故答案為：

由己知結合兩角和的正切公式先求出tema,然后結合二倍角的正切公式即可求解.

本題主要考查了和差角公式及二倍角的正切公式的應用，屬于基礎題.

16.【答案】嬰

【解析】解：由題意得NBAC為銳角，BOAB,所以AABC只有一解，

即△ABC的面積為定值.

所以當三棱錐P-ABC的體積最大時，P41平面ABC.

如圖，將三棱錐P-ABC補成三棱柱4BC-PDE,設底面外接圓的圓

心為。1,

三棱錐外接球的球心為。，連接z。，AOlf。。1，則4。1為底面外接圓的半徑，A。為三棱錐外接球

的半徑.

由34C6,得si""=三，由缶=2g得網(wǎng)=亨.

因為。。1_L平面ABC,。。1=gpa=1,貝!］。。114。1，所以4。2=。。彳+2。孑=號.

故該三棱錐外接球的表面積為47r.2。2=等.

故答案為：亨.

由題意可得當三棱錐P-4BC的體積最大時，PA1平面4BC,將三棱錐P-力BC補成三棱柱力BC-

PDE,設底面外接圓的圓心為01，三棱錐外接球的球心為0,連接40,。0「從而可得。01=

\PA=1,根據(jù)正弦定理可得40］=亨，再結合勾股定理可得4。2=。0工+2貨=學，再根據(jù)

球的表面積公式即可求解.

本題考查線面垂直的性質和棱錐、球的體積的求法，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于

中檔題.

17.【答案】(1)解：由頻率分布直方圖的性質，可得(0.010+0.020+a+0.030+0.005)X10=1,

解得a=0.035,其中女生被抽取的人數(shù)為小糕型x100=45.

(2)解：由頻率分布直方圖可得：

(0.010+0.020+0.035)x10=0.65<0.85,(0.010+0.020+0.035+0.030)x10=0.95>

0.85,

所以85%分位數(shù)位于區(qū)間［80,90),則85%分位數(shù)為80+”言臀x10?86.67.

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質，列出方程求得a的值，結合分層抽樣的分法，求得女生

被抽取的人數(shù)；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖的百分位數(shù)的計算方法，即可求解.

本題考查頻率、頻數(shù)、頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

18.【答案】解：(1)在正方形Ci。。氏中，E,F分別是Ci。1，CG的中點，

所以EF〃￡?iC,且EF=2DLC,

在正方體48CD中，易證4/〃。母，所以

又平面力&BU平面4/。，

則EF〃平面力iBD；

(2)由⑴可得EF與&D所成角即為直線與&D所成角或其補角，

又在正方體4BCD-4/16%中，=AID=BD=CAB,

所以三角形4BD為正三角形，貝"B&D=60°,

即異面直線EF與所成角的大小為60。.

【解析】(1)利用中位線定理得出EF〃/C,且=然后根據(jù)正方體的性質以及線面平行

的判定定理即可證明；(2)利用(1)的結論得出EF與&D所成角即為直線與&D所成角或其補角,

再根據(jù)正方體的性質即可求解.

本題考查了線面平行以及異面直線所成角的求解，考查了學生的運算轉化能力，屬于中檔題.

19.【答案】解:(1)因為(sinA—sinB+sinC)(b+c—a')=bsinA,

由正弦定理可得：(a-b+c)(b+c—a)=ab,

整理可得：c2—(a—bp=ab,

即a?+b2—c2—ab,

由余弦定理可得：a2+b2—c2=labcosC,

可得cosC=而CG(0,7T),

可得CW

(2)c=8,SLABC-3absinC=gab.=3V-3?

可得ab=12,

由余弦定理可得cosC=f=(a+"-c2_1，

2ab2ab

2

即工=(a+b)-64—解得a+b=10,

22x12

所以三角形的周長為a+b+c—10+8—18.

即三角形的周長為18.

【解析】(1)由正弦定理及余弦定理可得cosC的值，再由C角的范圍，可得C角的大?。?/p>

(2)由面積面積公式可得ab的大小，再由余弦定理可得a+b的大小，進而求出三角形的周長.

本題考查正弦定理，余弦定理的應用，三角形的面積公式的應用，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴當0<a<l時，函數(shù)在區(qū)間白16］上是減函數(shù)，

因此當久=，時，函數(shù)/'(X)取得最大值2,即Zogaq=2,因此a=：.

當a>1時，函數(shù)/(?在區(qū)間由16］上是增函數(shù)，

當x=16時，函數(shù)/(久)取得最大值2,即logal6=2,因此a=4.

故a=，或a=4；

2

(2)因為g(x)=log2(x-ax+》的定義域為R,

所以4=a2-l<0,則一即a=/

代入不等式》-3機>4,得6)-3機>(1)-2,

則1一3m<一2,解得m>1,因此m的取值范圍是(1,+oo).

【解析】(1)分。<a<1和a>1兩種情況利用對數(shù)函數(shù)單調性列方程可求出a的值；

(2)由函數(shù)的定義域為R,可得/=。2-1<0,再結合(1)可求出a,然后利用指數(shù)函數(shù)的單調性可

求出小的取值范圍.

本題主要考查函數(shù)的最值及其幾何意義，屬于中檔題.

21.【答案】解：根據(jù)題意，設甲在第一輪猜對歌名為事件41，甲在第二輪猜對歌名為事件乙，乙

在第一輪猜對歌名為事件名，乙在第二輪猜對歌名為事件B2，

(1)設“夢想隊”恰好猜對三首歌曲歌名為事件C,

則C=+^42^1^1^2++'

故P(C)=P(A1A2B1B2+A2A1B1B2+B1A1A2B2+B2A1A2B1)

31221223

1XXX+X1XX+X“1、2231-2、

--4-2-3-3--2-3-3-4x(l--)x-+-x-x-x(l--)

_7_

=18；

(2)設“夢想隊”恰好獲得4分為事件。，

9

則。=A2A1B1B2+B2A1A2B1+A1A2B1B2

則P(D)=P(A2ArBrB2+B2A1A2B1+A1A2B1B2)

21223123

XXX+XX+X1XX

-3-2-3-3-4-2-3-4

2

9

【解析】根據(jù)題意，設甲在第一輪猜對歌名為事件&,甲在第二輪猜對歌名為事件為，乙在第一

輪猜對歌名為事件名,乙在第二輪猜對歌名為事件殳，

(1)設“夢想隊”恰好猜對三首歌曲歌名為事件C,分析可得C=以4/殳+彳2力再也+

力出出4+或4血%，由互斥事件的概率公式計算可得答案;

(2)設“夢想隊”恰好獲得4分為事件D,貝S=月必/殳+用4加