2020-2021學(xué)年黑龍江省哈爾濱市道里區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制） （含解析）

2020-2021學(xué)年黑龍江省哈爾濱市道里區(qū)九年級(jí)第一學(xué)期期末數(shù)

學(xué)試卷（五四學(xué)制）

一.選擇題（共10小題）.

1.下列各點(diǎn)中，在反比例函數(shù)y=封圖象上的是（）

x

A.（-1,8）B.（-2,4）C.（1,7）D.(2,4)

2.下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）

3.袋子中裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地完全相同，即除顏色外無

其他差別.在看不到球的條件下，隨機(jī)從袋中摸出1個(gè)球，是白球的概率是（）

4.下面四個(gè)幾何體中，主視圖為三角形的是（）

A.y=x2+2B.y=（x-1）2+1C.y=（x-2）2+2D.y=（x-1）2-3

6.如圖，在離鐵塔150米的A處，用測傾儀測得塔頂?shù)难鼋菫閍,測傾儀高AO為1.5米,

則鐵塔的高為（）

B

150

A.(1.5+150tana)米B.(1.54）米

tanCl

C.(1.5+150sina)米D.(1.5+.嗎-)米

sin。

7.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=lcm,將RtZ\ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)得到RtaAB'C,使點(diǎn)。落在AB邊上，連接則83的長度是（

B'

A.1cmB.2cmC.yf2cmD.

8.如圖，O。為△ABC的外接圓，已知/ABC為130°,則/AOC的度數(shù)為（）

A.50°B.80°C.100°D.115°

9.如圖，在△ABC中，點(diǎn)、D,E,尸分別在AB,AC,BC±,DE//BC,EF//AB,則下列

式子一定正確的是（）

AB_CEDE_AE

AC"BDCF'EC

10.如圖，拋物線y=ax2+fcr+c（cz#0）與x軸交于點(diǎn)（4,0）,其對(duì)稱軸為直線尤=1,結(jié)

合圖象給出下列結(jié)論：

①abc<0；

②4。-2b+c=0；

③當(dāng)尤>1時(shí)，y隨x的增大而增大；

④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

其中正確的結(jié)論有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

二.填空題（共10小題）.

11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3,2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

12.拋物線y=2（x+1）2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

13.一輛汽車行駛的路程s（單位：m）關(guān)于時(shí)間f（單位：s）的函數(shù)解析式是s=9f+，■凡

經(jīng)過16s汽車行駛了m.

14.反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,3）,則％的值為.

x

15.如圖，是△ABC的外接圓。。的直徑，若/氏4。=40。，則°.

16.在△ABC中，NC=90°，sinA=—,BC=6,則AC的長為

4

17.若扇形的圓心角為45°,半徑為6,則該扇形的弧長為.

18.AB是。。的弦，垂足為M,連接。4.若△AOM中有一個(gè)角是30°,OM

=3,則弦的長為

19.同時(shí)擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，則兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)和是10的概率為.

20.如圖，△ABC的中線與高CE交于點(diǎn)憶AE=EF,FD=2,&ACF=24,則AB的長

為.

三、解答題（60分）

23-

21.先化簡，再求代數(shù)式（1+3）2xjxx值,其中x=3tan30°.

x-1x-2x+l

22.如圖所示，在每個(gè)小正方形的邊長均為1的網(wǎng)格中，線段A2的端點(diǎn)A、B均在小正方

形的頂點(diǎn)上.

（1）在圖中畫出等腰△ABC,點(diǎn)C在小正方形頂點(diǎn)上；

（2）在（1）的條件下確定點(diǎn)C后，再確定點(diǎn)。，點(diǎn)D在小正方形頂點(diǎn)上，請(qǐng)你連接

DA,DC,DB,使tan/ACZ）=春，并直接寫出四邊形AOBC的面積為.

O

23.為了解疫情期間學(xué)生網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)效果，高遠(yuǎn)中學(xué)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.要

求每位學(xué)生從“優(yōu)秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四個(gè)等次中，選擇一項(xiàng)作為

自我評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的效果.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合圖中

所給的信息解答下列問題

不合格

(1)這次活動(dòng)共抽查學(xué)生多少名？

(2)請(qǐng)通過計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)若高遠(yuǎn)中學(xué)共有1600名學(xué)生，估計(jì)該中學(xué)“優(yōu)秀”等次的學(xué)生有多少名？

24.如圖，在中，ZBAC^90°,AB=AC,點(diǎn)。是8c邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD,

把AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AE,連接CE,。區(qū)點(diǎn)/是。E的中點(diǎn)，連接CF.

(1)求證：CF=AF；

(2)在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中所有的等腰直角三角形.

BDC

25.某班班主任對(duì)在某次考試中取得優(yōu)異成績的同學(xué)進(jìn)行表彰.她到商場購買了甲、乙兩種

筆記本作為獎(jiǎng)品，若購買甲種筆記本15個(gè)，乙種筆記本20個(gè)，共花費(fèi)250元；若購買

甲種筆記本10個(gè)，乙種筆記本25個(gè)，共花費(fèi)225元.

(1)求購買一個(gè)甲種、一個(gè)乙種筆記本各需多少元？

(2)班主任決定再次購買甲、乙兩種筆記本共35個(gè)，如果班主任此次購買甲、乙兩種

筆記本的總費(fèi)用不超過300元，求至多需要購買多少個(gè)甲種筆記本？

26.ZVIBC內(nèi)接于。。，CA^CB,BD為的直徑，NDBC=30；

(1)如圖1,求證：△ABC為等邊三角形；

(2)如圖2,弦AE交于點(diǎn)尸，點(diǎn)G在EC上，ZBAF^ZGAF,求證：FB=FG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，弦8H分別交Ab，AG于P,。兩點(diǎn)，PO=DH=M，

AC=3市,求。G的長.

27.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線>=辦2+云-3交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,

交無軸正半軸于點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)C,OB^OC^OA.

(1)如圖1,求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)。在第二象限，連接3。交y軸于點(diǎn)E,若tan/

EBA=-^-,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)尸在拋物線上，且點(diǎn)尸在第三象限，點(diǎn)/在尸8上，

FC=FB,過點(diǎn)尸作龍軸的垂線，點(diǎn)G為垂足，連接。G并延長交BF于點(diǎn)若NDHP

=ZCEB,求BP的長.

參考答案

一.選擇題(共10小題).

1.下列各點(diǎn)中，在反比例函數(shù)y=旦圖象上的是()

x

A.(-1,8)B.(-2,4)C.(1,7)D.(2,4)

解：A、：-1X8=-8W8,.?.該點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)不合題意；

8、：-2X4=-8W8,.,.該點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)不合題意；

C、：1X7=7/8,.?.該點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)不合題意；

D、2義4=8,.?.該點(diǎn)在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

2.下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是()

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.

解：4既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

8、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

。、既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

3.袋子中裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地完全相同，即除顏色外無

其他差別.在看不到球的條件下，隨機(jī)從袋中摸出1個(gè)球，是白球的概率是()

【分析】用白球的個(gè)數(shù)除以總球的個(gè)數(shù)即可得出答案.

解：??.袋子中裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球，共有6個(gè)球,

...隨機(jī)從袋中摸出1個(gè)球，是白球的概率是3=春.

63

故選：A.

4.下面四個(gè)幾何體中，主視圖為三角形的是（）

【分析】根據(jù)主視圖是從正面看得到的圖形，可得答案.

解：A、主視圖是圓，故A不符合題意；

B、主視圖是三角形，故B符合題意；

C、主視圖是矩形，故C不符合題意；

。、主視圖是正方形，故。不符合題意；

故選：B.

5.把函數(shù)y=（x-1）2+2圖象向右平移1個(gè)單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（）

A.y=x2+2B.y=（x-1）2+1C.y—（x-2）2+2D.y—（x-1）2-3

解：二次函數(shù)？=（X-1）2+2的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,

???向右平移1個(gè)單位長度后的函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）,

所得的圖象解析式為y=（x-2）2+2.

故選：C.

6.如圖，在離鐵塔150米的A處，用測傾儀測得塔頂?shù)难鼋菫閍,測傾儀高為1.5米,

則鐵塔的高8C為（）

150

A.(1.5+150tana)米B.(1.54）米

tanCL

150

C.(1.5+150sina)米D.(1.54）米

sinCL

【分析】過點(diǎn)A作E為垂足，再由銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長，由BC

CE+3E即可得出結(jié)論.

解：過點(diǎn)A作AE_LBC,E為垂足，如圖所示:

則四邊形AOCE為矩形，AE=150,

：.CE=AD=1.5,

在△ABE中，?.?tana="=^^，

AE150

...BE=150tana,

：.BC=CE+BE=(1.5+150tana)(m),

故選：A.

,ZABC=30°,AC=\cm,將RtZkABC繞點(diǎn)A逆時(shí)

使點(diǎn)。落在AB邊上，連接則88的長度是（

A.IcmB.2cmC.\[^cmD.2yf2cm

【分析】由直角三角形的性質(zhì)得到AB=2AC=2,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和線段垂直平分線

的性質(zhì)得到A3'=BB'.

解：?.,在RtaABC中，NC=90°,ZABC=30°,AC^lcm,

：.AC=^AB,則A8=2AC=2CM.

又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AC=AC=^AB,B'CLAB,

：.B'C是△ABB，的中垂線，

：.AB'=BB'.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知A8=A夕=BB'=2cm.

故選：B.

8.如圖，為△ABC的外接圓，已知乙鉆。為130。，則NAOC的度數(shù)為（）

A.50°B.80°C.100°D.115°

解：作曲所對(duì)的圓周角NAOC,如圖，

VZAZ)C+ZABC=180°,

而NA8C=130°,

ZADC=180°-130°=50°,

AZAOC=2ZADC=100°.

故選：C.

9.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。，E,歹分別在A3,AC,BC±,DE//BC,EF//AB,則下列

式子一定正確的是（）

B

AADCEDCECFABCE「DEAE

-DB-AE-AC-BF-AC-BD-CF"EC

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可對(duì)A選項(xiàng)和8選項(xiàng)進(jìn)行判斷；：利用。E〃BC得到

黑=玲，則根據(jù)比例的性質(zhì)可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；通過證明△ADEsaEFC,則利用

DUCt

相似比可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷的.

解：-：DE//BCf

VDE〃BC,

：.ZAED=ZC,

'：EF//AB,

：.ZA=ZCEFf

：.AADEsAEFC,

?..塔=萼，所以。選項(xiàng)正確.

CrCt

故選：D.

10.如圖，拋物線丁=依2+析+。（〃￥0）與冗軸交于點(diǎn)（4,0）,其對(duì)稱軸為直線尤=1,結(jié)

合圖象給出下列結(jié)論：

①次?cVO；

②4。-2b+c=0；

③當(dāng)%>1時(shí)，y隨x的增大而增大；

④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

其中正確的結(jié)論有（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解：拋物線開口向上，則a>0,對(duì)稱軸x=-2=l,則6=-2a<0.與y軸交于負(fù)半

軸，則c<0,故abc>0,所以①錯(cuò)誤；

拋物線對(duì)稱軸為尤=1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（4,0）,則另一個(gè)交點(diǎn)為（-2,0）,于

是有4a-2b+c=0,所以②正確；

x>l時(shí)，y隨x的增大而增大，所以③正確；

拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因此關(guān)于%的一元二次方程以2+次+,=（）有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根，所以④錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的結(jié)論有：②③，

故選：B.

二.填空題（每題3分，共30分）

11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3,2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3,-2）.

【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出答案.

解：點(diǎn)（3,2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3,-2）,

故答案為：（-3,-2）.

12.拋物線y=2（x+1）2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,-3）..

【分析】直接利用頂點(diǎn)式的特點(diǎn)可知頂點(diǎn)坐標(biāo).

解：頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,-3）.

故答案為：（-1,-3）.

13.一輛汽車行駛的路程s（單位：m）關(guān)于時(shí)間f（單位：s）的函數(shù)解析式是s=9f+/f2,

經(jīng)過16s汽車行駛了272m.

【分析】將r=16代入函數(shù)解析式求解即可.

解：當(dāng)f=16時(shí)，5=9X16+^X162=272,

經(jīng)過16s汽車行駛了272m,

故答案為：272.

14.反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,3）,則k的值為-6.

X

【分析】將點(diǎn)（-2,3）代入解析式可求出左的值.

解：把（-2,3）代入函數(shù)丁=三k中，得3=々k，解得仁-6.

x-2

故答案為：-6.

15.如圖，是△A3C的外接圓。。的直徑，若NA4O=40°,則NAC3=50

D

【分析】連接3D如圖，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論.

解：連接5。，如圖，

VAZ）為△ABC的外接圓。。的直徑，

ZABD=90°,

：.ZD=90°-ZBAD=90°-40°=50°,

Z.ZACB=ZD=50°.

故答案為50.

16.在△ABC中，NC=90°,sinA=4—,BC=6,則AC的長為——.

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義，求出A3,再根據(jù)勾股定理求出BC即可.

解：VsinA=4=^-,BC=6,

4AB

：.AB=S,

?■?BC=VAB2-BC2

=VS2-62

=V28

=24，

故答案為：2-^7-

17.若扇形的圓心角為45°,半徑為6,則該扇形的弧長為_米」.

【分析】把已知數(shù)據(jù)代入弧長公式，計(jì)算即可.

解：由題意，得該扇形的弧長=45：j

loU2

3

故答案為：靖i.

18.A8是。0的弦，OMLAB,垂足為連接。4.若△AOM中有一個(gè)角是30°,OM

=3,則弦的長為6?或2向.

【分析】分/O4M=30°,ZAOM=30°,兩種情況分別利用正切的定義求解即可.

解：\'OM±AB,

：.AM=BM,

若/。4M=30°,

則tanZ0AM=—=-^-

AMAH3

.?.AM=3?,

：.AB=2AM=6-/j；

?,AMAMM

貝1mUtanZAOM==—

OM33

：.AM=4Z，

：.AB=2AM=2-/j.

故答案為：6?或2代.

19.同時(shí)擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，則兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)和是10的概率為3.

一12一

【分析】列舉出所有情況，讓兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)和是10的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的

概率.

解：易得有6X6=36種可能，兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)和是10的有4,6；5,5；6,4共3種，

所以概率是看.

20.如圖，△ABC的中線與高CE交于點(diǎn)/，AE=EF,FD=2,SAACF=24,則AB的長

為_

【分析】先判斷出△BOMg/XCQ尸進(jìn)而得出凡ZM=ZCFD.再判斷出

是等腰直角三角形，求得BE=FN=2近,然后利用SAACF=24,即可得出結(jié)論.

解：延長AO至點(diǎn)使MD=FD,連接MB,

在和△€!)尸中，

'BD=CD

<ZBDM=ZCDF，

kDM=FD

:.ABDM當(dāng)ACDF(SAS).

；.MB=CF,/M=/CFD.

J.EC//BM,

,:EA=EF,CE是△ABC的高,

：.ZEAF=ZEFA=45°,

,JEC//BM,

AZABM=ZAEF=90°,

ZM=ZMAB=45°,

：.AB=MB,

：.AB=CFf

???CE是△A3C的高，S"c尸=24,

.---^CFME=24,即^4B?AE=24,

作FNLBM于■N,

則四邊形EWVB是矩形，△EWN是等腰直角三角形,

...BE=FN=^FM=華X2FD=^FD=272，

：.AE=AB-2瓜

：.^AB-AE=^AB(AB-2&)=24,

：.AB=6y/2(負(fù)數(shù)舍去)，

故答案為672.

3_

2L先化簡’再求代數(shù)式。+擊)-3-J值，其中x=3tan30°.

x-2x+l

【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)

值確定x的值，繼而代入計(jì)算可得答案.

右x-l2x(x+l)(x-l)

解：原式:(工4+3)-—；一-2~

x-lx-l(x-l)2

x+1X-l

x-lx(x+l)

X

當(dāng)x=3tan30°=3時(shí),

原式端哼?

22.如圖所示，在每個(gè)小正方形的邊長均為1的網(wǎng)格中，線段AB的端點(diǎn)A、8均在小正方

形的頂點(diǎn)上.

(1)在圖中畫出等腰△A8C,點(diǎn)C在小正方形頂點(diǎn)上;

(2)在(1)的條件下確定點(diǎn)C后，再確定點(diǎn)。，點(diǎn)D在小正方形頂點(diǎn)上，請(qǐng)你連接

DA,DC,DB,使tan/ACO=\＞并直接寫出四邊形4OBC的面積為」

O

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的定義，畫出圖形即可.

(2)取格點(diǎn)K,連接CK,由tan/AKC=V，證明/AKC即可.

O

(2)如圖，四邊形AD2C即為所求作.

S四邊形AOBC=3X3--^-XlX3--^-XlXl--^-X2X3=4.

故答案為4.

23.為了解疫情期間學(xué)生網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)效果，高遠(yuǎn)中學(xué)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.要

求每位學(xué)生從“優(yōu)秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四個(gè)等次中，選擇一項(xiàng)作為

自我評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的效果.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合圖中

所給的信息解答下列問題

不合格

(1)這次活動(dòng)共抽查學(xué)生多少名？

(2)請(qǐng)通過計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)若高遠(yuǎn)中學(xué)共有1600名學(xué)生，估計(jì)該中學(xué)“優(yōu)秀”等次的學(xué)生有多少名？

【分析】⑴通過條形統(tǒng)計(jì)圖可得“優(yōu)秀”的有40人，“良好”的有80人，“一般”

的有60人，而“良好”的占40%,可求出調(diào)查人數(shù)；

(2)計(jì)算出。等級(jí)的人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)樣本中“優(yōu)秀”的占調(diào)查人數(shù)的燃?，因此總體1600人的患是“優(yōu)秀”的人數(shù).

解：(1)804-40%=200(名)，

答：這次活動(dòng)共抽查學(xué)生200名；

(2)200-80-40-60=20(名),

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

答：高遠(yuǎn)中學(xué)1600名學(xué)生中“優(yōu)秀”等次的學(xué)生大約有320名.

24.如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。是3C邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AQ,

把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得至UAE,連接CE,OE.點(diǎn)尸是OE的中點(diǎn)，連接CR

(1)求證：CF=AF；

(2)在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中所有的等腰直角三角形.

E

BD

【分析】（1）由“SAS”可證△54。g可得/48。=/4以=45°,可求N8CE

=90°,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證得結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的判定定理進(jìn)行推理即可.

【解答】（1）證明：?：ZBAC^ZDAE^90°,

：.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,即ZBAD=ZCAE.

在△BA。與中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE.

LAD=AE

.?.△BA。g△CAE（SAS）.

/ABD=NACE.

\"AB=AC,ZBAC=90°,

ZABC=ZACB=45°.

：.ZABD=ZACE=45°,

/DCE=ZACB+ZACE^90°.

:點(diǎn)尸是。E的中點(diǎn)，ZDAE=ZDCE=9Q°.

：.AF~DE,CF^—DE.

22

CF=AF；

（2）解:符合條件的等腰直角三角形有：△ABC,AADE,AADF,AAFE.

理由如下：在aABC中，AB=AC,/BAC=90。，則△ABC是等腰直角三角形.

在△AOE中，AD=AE,NDAE=90°,則△DEA是等腰直角三角形.

在等腰RtAADE中，：點(diǎn)F是。E的中點(diǎn)，

：.AD±DE,AF=DF=EF~DE,

：.AADF,△AFE都是等腰直角三角形.

E

BD

25.某班班主任對(duì)在某次考試中取得優(yōu)異成績的同學(xué)進(jìn)行表彰.她到商場購買了甲、乙兩種

筆記本作為獎(jiǎng)品，若購買甲種筆記本15個(gè)，乙種筆記本20個(gè)，共花費(fèi)250元；若購買

甲種筆記本10個(gè)，乙種筆記本25個(gè)，共花費(fèi)225元.

（1）求購買一個(gè)甲種、一個(gè)乙種筆記本各需多少元？

（2）班主任決定再次購買甲、乙兩種筆記本共35個(gè)，如果班主任此次購買甲、乙兩種

筆記本的總費(fèi)用不超過300元，求至多需要購買多少個(gè)甲種筆記本？

【分析】（1）設(shè)購買一個(gè)甲種筆記本需尤元，一個(gè)乙種筆記本需y元，由購買甲種筆記

本15個(gè)，乙種筆記本20個(gè)，共花費(fèi)250元；若購買甲種筆記本10個(gè)，乙種筆記本25

個(gè)，共花費(fèi)225元.列出方程組，可求解；

（2）設(shè)需要購買a個(gè)甲種筆記本，由總費(fèi)用不超過300元，列出不等式，即可求解.

解：（1）設(shè)購買一個(gè)甲種筆記本需尤元，一個(gè)乙種筆記本需y元，

15x+20y=250

由題意可得:

10x+25y=225

x=10

解得:

y=5

答：購買一個(gè)甲種筆記本需10元，一個(gè)乙種筆記本需5元；

（2）設(shè)需要購買。個(gè)甲種筆記本，

由題意可得：10a+5（35-a）W300,

解得：aW25,

答：至多需要購買25個(gè)甲種筆記本.

26.△ABC內(nèi)接于。0,CA^CB,8。為。。的直徑，ND8C=30°.

（1）如圖1,求證：△ABC為等邊三角形；

（2）如圖2,弦AE交2C于點(diǎn)孔點(diǎn)G在EC上，ZBAF=ZGAF,求證：FB=FG；

（3）如圖3,在（2）的條件下，弦8反分別交AB,AG于P,Q兩點(diǎn)，PO=DH=M，

AC=34，求QG的長.

【分析】（1）如圖1,連接C。，由/BAC=60°、CA=CB證得AABC為等邊三角形；

（2）如圖2,根據(jù)△BA尸絲△GAP（SAS）的對(duì)應(yīng)邊相等證得EB=FG；

（3）如圖3,過點(diǎn)。作0cpH,點(diǎn)乙為垂足.

首先，推知RtAPOL中的/。尸￡=30°；連接A8,延長尸。交A8于點(diǎn)構(gòu)造等邊4

AHP；

然后，連接A。，通過解直角△48。得到BD=2亞，在直角△BZ汨中，利用勾股定理

Q2

求得3H=9,繼而根據(jù)垂徑定理推知a=U/=『所以通過解直角△POL求得也=子.由

圖中線段間的和差關(guān)系易得尸”=6,BP=3.則等邊三角形尸中，得到，AP=PH=

6,NAPH=60°；

最后，連接BE,構(gòu)造等邊根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的判定定理推知PQ

//EG,結(jié)合平行線截線段成比例求得QG=J7.

【解答】（1）證明：如圖1,連接C。，

為。。的直徑,

：.ZBCD=90°.

9：ZDBC=30°,

：.ZBDC=90°-ZDBC=60°.

：.ZBAC=ZBDC=60°.

VCA=CB,

???△ABC為等邊三角形;

(2)證明：如圖2,

圖2

???△A3C為等邊三角形，

???ZABC=ZACB.

'：ZE=ZABC,

：.ZACB=ZE.

9

：ZBAF=ZGAFfZBAF=Z.BCE,

：.ZGAF=ZBCE.

：.ZACB+ZBCE=NE+NGAH

ZAGC=ZE+ZGAF,

：.ZAGC=ZACG.

：.AG=AC.

???△ABC為等邊三角形，

：.AC=AB.

：.AB=AG.

9：ZBAF=GAF,AE=AF,

：.^BAF^AGAF(SAS).

:.FB=FG；

(3)解：如圖3,過點(diǎn)。作0￡，尸”，點(diǎn)上為垂足.

圖3

:點(diǎn)。為圓心，

:.BL=LH,

\'BO=OD,

：.OL=-DH.

2

,:PO=DH,

：.OL=-PO.

2

在RtZXPOL中，sin/OPL=2^=2.

OP2

：.ZOPL=3Q°.

連接AH,延長P。交AH于點(diǎn)M,

VAABC是等邊三角形，

ZACB=6Q°.

：.ZAHB=ZACB=60°.

：.ZPMH=18O°-NAHB-NOPL=90°.

：.OM1AH.

：.AM=MH.

：.PA=PH.

VZAHP=60°.

.?.△AHP是等邊三角形.

連接AD,

：8。為。。的直徑，

：.ZBAD^90°.

?/△ABC是等邊三角形，

:.AB=AC=3政.

VZADB=ZACB=60°.

AR3\17___

???在直角△A3。內(nèi)，sinNAD3=黑，BD=——=2^L

BDsin60

???瓦）為OO的直徑，

：.ZBHD=90°.

在直角△8DH中，BDi1=BH1+DH1,

:?BH=9.

???OLLPH,

9

：.BL=LH~,

2

PT1

在直角△尸OL中，cosZOPL=^~.

u：ZOPL=30°.

:。=如當(dāng)=當(dāng)

：.PH=6,BP=3.

???△AH尸是等邊三角形，

：.AP=PH=6,ZAPH=60°.

連接BE,

a：ZBEA=ZACB=6Q°,ZBPE=ZAPH=60°,

：.ZPBE=60°.

ZPBE=NBPE=ZBEA.

???△BPE是等邊三角形.

:?PE=PB=3.

：.AE=9.

???NAEC=ZABC=ZBPE=60°,

J.PQ//EG.

.QG=PE

?,瓦一記

VAG=AC=377.

???QG=A

27.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線>=辦2+云-3交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,

交無軸正半軸于點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)C,OB^OC^OA.

(1)如圖1,求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)。在拋物線上，且點(diǎn)D在第二象限，連接2。交y軸于點(diǎn)E,若tan/

￡BA=-1-,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)尸在第三象限，點(diǎn)p在PB上，

FC=FB,過點(diǎn)尸作無軸的垂線，點(diǎn)G為垂足，連接DG并延長交于點(diǎn)若/DHP

【分析】(1)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出0C的長，

結(jié)合OB=OC=3/2OA,可求出08,OA的長，進(jìn)而可得出點(diǎn)A,8的坐標(biāo)，再利用待定

系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；

(2)在中，通過解直角三角形可求出0E的長，進(jìn)而可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根

據(jù)點(diǎn)8,E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線8E的解析式，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方

程組，解之即可得出點(diǎn)。的坐標(biāo)(舍去點(diǎn)8的坐標(biāo))；

(3)連接。尸，過點(diǎn)尸作y軸的垂線，點(diǎn)T為垂足，取。/的中點(diǎn)N,連接。M過點(diǎn)G

作。N的垂線交OV的延長線于點(diǎn)R,依次證明△OFBgZkOFC(SSS)、四邊形OTFG

3

為正方形、AOEBmAMND(SAS)；設(shè)0G=GF=m,8G=3-m,NG=^+m,由tan

ZNDG=tanZGBF,得關(guān)于根的等式，解得機(jī)的值；設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為小則點(diǎn)尸的縱

12Ipm1

坐標(biāo)為上n--^n-3,在RtaPWB中，由tanN尸5卬=黑=《，得關(guān)于〃的方程，解

22BW2

得〃的值；最后在RtZXPWfi中，根據(jù)5P2=尸肝+3解，求得3尸的長即可.

角麻(1)二?二次函數(shù)y=〃N+Z?x-3,

?,?當(dāng)％=0時(shí)，y=3,C(0,-3),

：.OC=3,

2

VOB=OC=^-OA,08=3,0A=2,

2

：.B(3,0),A(-2,0),

.[9a+3b-3=0

，，l4a-2b-3=0，

'A

解得[,

,b=T

拋物線的解析式為y=/x-yX-