第17講解直角三角形及其應用測試練習題

第17講解直角三角形及其應用(時間45分鐘滿分120分)A卷一、選擇題(每小題3分,共21分)1．(2018·天津)cos60°的值等于(D)A.eq\r(3)B．1C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)2．(2018·金華)在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝3,則tanA的值是(A)A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)3．(2016·懷化)在Rt△ABC中,∠C＝90°,sinA＝eq\f(4,5),AC＝6cm,則BC的長度為(C)A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm4．(2018·濱州)如圖,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC＝30°,點D是CB延長線上的一點,且BD＝BA,則tan∠DAC的值為(A)A．2＋eq\r(3)B．2eq\r(3)C．3＋eq\r(3)D．3eq\r(3)(導學號58824159)5．(2018·綏化)某樓梯的側(cè)面如圖所示,已測得BC的長約為3.5米,∠BCA約為29°,則該樓梯的高度AB可表示為(A)A．3.5sin29°米B．3.5cos29°米C．3.5tan29°米D.eq\f(3.5,cos29°)米第5題圖第6題圖6．(2018·宜昌)△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示(每個小正方形邊長為1),AD⊥BC于D,下列選項中,錯誤的是(C)A．sinα＝cosαB．tanC＝2C．sinβ＝cosβD．tanα＝1(導學號58824160)7．(2018·重慶B)如圖,已知點C與某建筑物底端B相距306米(點C與點B在同一水平面上),某同學從點C出發(fā),沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡頂D處,斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4,在D處測得該建筑物頂端A的俯視角為20°,則建筑物AB的高度約為(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364)(A)A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米二、填空題(每小題3分,共12分)8．(2018·廣州)如圖,Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝15,tanA＝eq\f(15,8),則AB＝_17_.9．(2018·煙臺)在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝2,BC＝eq\r(3),則sineq\f(A,2)＝_eq\f(1,2)_.10．(2018·山西)如圖,創(chuàng)新小組要測量公園內(nèi)一棵樹的高度AB,其中一名小組成員站在距離樹10米的點E處,測得樹頂A的仰角為54°.已知測角儀的架高CE＝1.5米,則這棵樹的高度為_15.3_米．(結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù):sin54°≈0.8090,cos54°≈0.5878,tan54°≈1.3764)第10題圖第11題圖11．(2018·蘇州)如圖,在一筆直的沿湖道路l上有A、B兩個游船碼頭,觀光島嶼C在碼頭A北偏東60°的方向,在碼頭B北偏西45°的方向,AC＝4km.游客小張準備從觀光島嶼C乘船沿CA回到碼頭A或沿CB回到碼頭B,設開往碼頭A、B的游船速度分別為v1、v2,若回到A、B所用時間相等,則eq\f(v1,v2)＝_eq\r(2)_(結(jié)果保留根號)．三、解答題(本大題4小題,共46分)12．(11分)(2018·張家界)位于張家界核心景區(qū)的賀龍銅像,是我國近百年來最大的銅像．銅像由像體AD和底座CD兩部分組成．如圖,在Rt△ABC中,∠ABC＝70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC＝45°,且CD＝2.3米,求像體AD的高度(最后結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824)解:∵在Rt△DBC中,∠DBC＝45°,且CD＝2.3m,∴BC＝2.3m,∵在Rt△ABC中,∠ABC＝70.5°,∴tan70.5°＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(AD＋2.3,2.3)≈2.824,解得:AD≈4.2.答:像體AD的高度約為4.2m.13．(11分)(2018·黃岡)在黃岡長江大橋的東端一處空地上,有一塊矩形的標語牌ABCD(如圖所示),已知標語牌的高AB＝5m,在地面的點E處,測得標語牌點A的仰角為30°,在地面的點F處,測得標語牌點A的仰角為75°,且點E,F,B,C在同一直線上,求點E與點F之間的距離．(計算結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):eq\r(2)≈1.41,eq\r(3)≈1.73)(導學號58824161)解:如解圖,作FH⊥AE于H.由題意可知∠HAF＝∠HFA＝45°,∴AH＝HF,設AH＝HF＝x,則EF＝2x,EH＝eq\r(3)x,在Rt△AEB中,∵∠E＝30°,AB＝5m,∴AE＝2AB＝10m,∴x＋eq\r(3)x＝10,∴x＝5eq\r(3)－5,∴EF＝2x＝10eq\r(3)－10≈7.3m,答:點E與點F之間的距離為7.3m.14．(12分)(2018·陜西)某市一湖的湖心島有一顆百年古樹,當?shù)厝朔Q它為“鄉(xiāng)思柳”,不乘船不易到達,每年初春時節(jié),人們喜歡在“聚賢亭”觀湖賞柳．小紅和小軍很想知道“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的大致距離,于是,有一天,他們倆帶著側(cè)傾器和皮尺來測量這段距離．測量方法如下:如圖,首先,小軍站在“聚賢亭”的A處,用側(cè)傾器測得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點的仰角為23°,此時測得小軍的眼睛距地面的高度AB為1.7米,然后,小軍在A處蹲下,用側(cè)傾器測得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點的仰角為24°,這時測得小軍的眼睛距地面的高度AC為1米．請你利用以上測得的數(shù)據(jù),計算“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離AN的長(結(jié)果精確到1米)．(參考數(shù)據(jù):sin23°≈0.3907,cos23°≈0.9205,tan23°≈0.4245,sin24°≈0.4067,cos24°≈0.9135,tan24°≈0.4452)解:如解圖,作BD⊥MN,CE⊥MN,垂足分別為點D、E,設AN＝x米,則BD＝CE＝x米,在Rt△MBD中,MD＝x·tan23°,在Rt△MCE中,ME＝x·tan24°,∵ME－MD＝DE＝BC,∴x·tan24°－x·tan23°＝1.7－1,∴x＝eq\f(0.7,tan24°－tan23°),解得x≈34(米)．答:“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離AN的長約為34米．15．(12分)(2018·天津)如圖,一艘海輪位于燈塔P的北偏東64°方向,距離燈塔120海里的A處,它沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處,求BP和BA的長．(結(jié)果取整數(shù))(參考數(shù)據(jù):sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05,eq\r(2)取1.414)(導學號58824162)解:如解圖,作PC⊥AB于點C.由題意得∠A＝64°,∠B＝45°,PA＝120,在Rt△APC中,sinA＝eq\f(PC,PA),cosA＝eq\f(AC,PA),∴PC＝PA·sinA＝120·sin64°,AC＝PA·cosA＝120·cos64°.在Rt△PCB中,∵∠B＝45°,∴PC＝BC,∴PB＝eq\f(PC,sin45°)＝eq\f(120×0.90,\f(\r(2),2))≈153,∴AB＝AC＋BC＝120·cos64°＋120·sin64°≈120×0.90＋120×0.44≈161.答:BP的長約為153海里,BA的長約為161海里．B卷1．(3分)(2015·牡丹江)在△ABC中,AB＝12eq\r(2),AC＝13,cos∠B＝eq\f(\r(2),2),則BC邊長為(D)A．7B．8C．8或17D．7或172．(3分)(2018·龍東地區(qū))△ABC中,AB＝12,AC＝eq\r(39),∠B＝30°,則△ABC的面積是_21eq\r(3)或15eq\r(3)_.3．(3分)(2018·無錫)在如圖的正方形方格紙中,每個小的四邊形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格點處,AB與CD相交于O,則tan∠BOD的值等于_3_.4．(10分)(2018·黔東南州)如圖,某校教學樓AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的長為12米,坡角α為60°,根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定,α≤39°時,才能避免滑坡危險,學校為了消除安全隱患,決定對斜坡CD進行改造,在保持坡腳C不動的情況下,學校至少要把坡頂D向后水平移動多少米才能保證教學樓的安全？(結(jié)果取整數(shù))(參考數(shù)據(jù):sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,eq\r(2)≈1.41,eq\r(3)≈1.73,eq\r(5)≈2.24)解:假設點D移到D′的位置時,恰好α＝39°,過點D作DE⊥AC于點E,作D′E′⊥AC于點E′,∵CD＝12米,∠DCE＝60°,∴DE＝CD·sin60°＝12×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3)米,CE＝CD·cos60°＝12×eq\f(1,2)＝6米．∵DE⊥AC,D′E′⊥AC,DD′∥D′E′,∴四邊形DEE′D′是矩形,∴DE＝D′E′＝6eq\r(3)米．∵∠D′CE′＝39°,∴CE′＝eq\f(D′E′,tan39°)≈eq\f(6\r(3),0.81)≈12.8,∴EE′＝CE′－CE＝12.8－6＝6.8≈7米．答:學校至少要把坡頂D向后水平移動7米才能保證教學樓的安全．5．(11分)(2018·烏魯木齊)一艘漁船位于港口A的北偏東60°方向,距離港口20海里B處,它沿北偏西37°方向航行至C處突然出現(xiàn)故障,在C處等待救援,B,C之間的距離為10海里,救援船從港口A出發(fā)20分鐘到達C處,求救援艇的航行速度．(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,eq\r(3)≈1.732,結(jié)果取整數(shù))(導學號58824163)解:作輔助線如解圖所示,BD⊥AD,BE⊥CE,CF⊥AF,由題意知,∠FAB＝60°,∠CBE＝37°,∴∠BAD＝30°,∵AB＝20海里,∴BD＝10海里．在Rt△ABD中,AD＝eq\r(AB2－BD2)＝10eq\r(3)≈17.32海里,在Rt△BCE中,sin37°＝eq\f(CE,BC),∴CE＝BC·sin37°≈0.6×10＝6海里,∵cos37°＝eq\f(EB,BC),∴EB＝BC·cos37°≈0.8×10＝8海里,EF＝AD＝17.32海里．∴FC＝EF－CE＝11.32海里,AF＝ED＝EB＋BD＝18海里,在Rt△AFC中,AC＝eq\r(AF2＋FC2)＝eq\r(182＋11.322)≈21.26海里,21．26×3≈64海里/小時．答:救援的艇的航行速度大約是64海里/小時．6．(11分)(2018·遵義)烏江快鐵大橋是快鐵渝黔線的一項重要工程,由主橋AB和引橋BC兩部分組成(如圖所示),建造前工程師用以下方式做了測量:無人機在A處正上方97m處的P點,測得B處的俯角為30°(當時C處被小山體阻擋無法觀測),無人機飛行到B處正上方的D處時能看到C處,此時測得C處俯角為80°36′.(1)求主橋AB的長度；(2)若兩觀察點P、D的連線與水平方向的夾角為30°,求引橋BC的長．(長度均精確到1m,參考數(shù)據(jù):eq\r(3)≈1.73,sin80°36′≈0.987,cos80°36′≈0.163,tan80°36′≈6.06)解:(1)由題意知∠ABP＝30°,AP＝97,∴AB＝eq\f(A