地震災后的物資分配

2011年河南科技大學數學建模競賽選拔我們仔細閱讀了數學建模競賽選拔的規(guī)則.我們完全明白，在做題期間不能以任何方式(包括電話、電子郵件、網上咨詢等)與隊外的任何人研究、討論與選拔題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反選拔規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料(包括網上查到的資料),必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守選拔規(guī)則，以保證選拔的公正、公平性。如有違反選拔規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們選擇的題號是(從A/B/C中選擇一項填寫):B2011年河南科技大學數學建模競賽選拔評閱編號(評閱前進行編號):評閱記錄(評閱時使用):評閱人評分備注1地震災后的物資分配摘要本文建立了對求各災區(qū)受災程度的層次分析模型和對物資分配的優(yōu)化模型，解決了地震災后的物資分配問題。針對災區(qū)受災程度搜集相關數據及運用層次分析、線性規(guī)劃對物資分配作出優(yōu)化方案。第一題，首先，分析各地區(qū)受災程度，選取地震災害指標，應用層次分析模型，確立了各災區(qū)對物資需求的優(yōu)先度。其次，各個災區(qū)因受災情況不同，對各類物資的需求迫切度不同，建立層次分析模型，確定了各個災區(qū)對各類物資的迫切度。最后，得出了對各物資的分配原則和方法。分配原則以最大程度減少災害程度為目標，分配方法：以災區(qū)優(yōu)先度為主，優(yōu)先度越大分配物資越多，然后以各種物資迫切程度不同，確定各種物資的分配數量。第二題，通過查找相關數據資料，分析數據，并給出估計物資需求量的計算方法。將物資分為消耗性物資和非消耗性物資。消耗性需求量=每人每天消耗量×人數×天數非消耗性物資=人數第三題，根據第二題所求物資需求數據和現(xiàn)有物資數量，給出優(yōu)化分配方案，優(yōu)化方案目標函數為所有物資發(fā)揮最大效用，優(yōu)化方案：效用=地區(qū)優(yōu)先度×物資的需求程度×滿意度定義目標函數為：第一，應滿足最低物資保證需求數量；第二，不超過需求量，造成浪費；第三，分配的物資總量不能超過現(xiàn)有物資總量本題利用所有物資發(fā)揮最大效用為優(yōu)化方案的目標函數，簡化了物資分配的問題，使問題變得簡單，并具有一定的合理性。關鍵詞：層次分析線性規(guī)劃優(yōu)先度滿意度優(yōu)化模型2近年來，地震頻發(fā)，如2008年8月我國汶川發(fā)生里氏8.0級地震，2010年1月海地發(fā)生7.0級地震，2010年4月玉樹發(fā)生里氏7.1級地震，2011年2月智利發(fā)生里氏6.8級地震，2011年3月日本發(fā)生里氏9.0級強震……地震，是地球內部發(fā)生的急劇破裂產生的震波，在一定范圍內引起地面振動的現(xiàn)象。破壞性地震(震級大于5級)是嚴重威脅人類安全的、恐怖的自然災害。2005年印度尼西亞地震引發(fā)的海嘯造成38萬人死亡。1976年的唐山地震死亡24萬人，整個唐山市瞬間成為一片廢墟，1920年的海源地震死亡20萬人。2008年5月12日中國汶川大地震，以及海地大地震、智利大地震、日本大地震，等等，都是造成數巨大傷亡的、震驚世界的地變。雖然地震的預測目前還比較困難，但如果在災后能及時援救，將救援物資合理分配就可以很大程度減少傷亡，所以救援物資的分配非常關鍵。例如在我國汶川大地震中，由于物資調配及時，在很大程度上降低了災害的影響。香港《大公報》報道，智利地震后在救援物資的分配上出現(xiàn)了嚴重不均，最先得到救援物資的是有錢人和軍人家屬，窮人因根本分不到物資而苦等或索性搶劫。而在最近的日本大地震中，還有一些已經躲過地震及海嘯災難的民眾，卻因為生活物資沒有分配到位而在避難所死亡。終上所述，地震災后物資的分配非常關鍵，該類問題具有很高的研究價值。最近幾年來，地球上發(fā)生了多次地震，造成了巨大的人員傷亡和難以估計的經濟損失。如2008年8月我國汶川8.0級地震和2010年4月玉樹7.1級地震。雖然地震的預測目前還比較困難，但如果在災后能及時援救，將救援物資合理分配就可以很大程度減少傷亡。因此，最大限度的減少災區(qū)人員傷亡和財產損失，將應急物資合理的分配到災區(qū)是災后工作的重中之重。為研究地震災害后的物資分配問題，請考慮以下問題：1.考慮災區(qū)、受災者和物資等的不同，建立數學模型制定分配原則并給出合理的分配方法。2.收集各類實際數據，給出一個符合題意的數值算例。3.通過以上分析，給出你的量化優(yōu)化方案及建議。三、問題的分析第一題我們知道各地區(qū)受災情況的嚴重程度決定了該地區(qū)對物資需求的程度，首先我們應該先判斷出各地區(qū)的受災程度。先選取評價地震災害嚴重程度的指標，應用層次分析法確定各指標的權重。我們在對各地區(qū)的指標進行比較，應用層次分析法，確定各地區(qū)的受災程度，再將受災程度轉化為對物資的需求優(yōu)先度，優(yōu)先度與受災情況成正相關，因為受災越嚴重，對物資的需求度越高。其次我們知道，各地區(qū)對同一種物資的需求迫切程度可能不同，應當確定不同類物資對各地區(qū)物資需求的權重。根據物資種類的不同，將物資分為食品、藥3品、生活用品可替代物資四個類別。再根據各個地區(qū)的受災情況對四類物資作需求比較，建立成對比較矩陣，應用層次分析法，確定各類物資占的權重。對各地區(qū)物資需求進行數值估計，物資分為消耗性物資和非消耗性物資。對消耗性物資需求估計需求量=每人每天消耗量*人數*天數非消耗性物資需求估計需求量=人數第三題物資最好的分配方案應為使物資的效用發(fā)揮到最大現(xiàn)有物資量和需求量有兩種可能1、需求量小于供給量當對某種物資的需求總量小于該種物資的供給量時，就按照各災區(qū)的需求量2、需求量大于供給量這時我們給出優(yōu)化方案效用=優(yōu)先度×物資的需求程度×滿意度我們定義對某種物資滿意度為：對某種物資滿意度=得到該物資的分配量÷對該物資的需求量，然后以物資的效用函數，為目標函數，目標函數越大，物資得到的效用越高第一，應滿足最低物資保證需求數量；第二，不超過需求量，造成浪費；第三，分配的物資總量不能超過現(xiàn)有物資總量1、物資分配是在災害結束后進行，即災害在一段時期內不會繼續(xù)發(fā)生。2、假設各地區(qū)對某種物資的需求量大于供給量。3、假設物資都能運輸到災區(qū)。4、所有物資集中存儲在一個地點，不考慮物資的運輸成本5、假設已有物資并非每一種都完全滿足受災民眾的需求，且物資數量一定，不再增加。6、假設所有的救災物資最終都將分配完畢，無儲存。7、假設帳篷，睡袋帳篷等屬于非消耗性物資，災后初期的需求量即為整個救災過程中的總需求量。1、CR表示致性檢驗檢驗指標。2、Y?表示災區(qū)g對于應急物資k需求的滿意度。44、w?表示應急物資k的需求迫切度。5、R°表示應急物資k對于災區(qū)g的效用。6、x;表示對g地分配的k類物資的量。7、d*表示災區(qū)g對k類物資的需求量。8、d表示所有災區(qū)對k類物資的需求總量。9、M表示現(xiàn)有的k類物資的量。10、N表示所有災區(qū)對k類物資的總需求量。六、模型的建立與求解第一題選取評價地震災害的五個因素：如下圖弱勢群體數量弱勢群體數量嚴重受損建筑物數量受災人數人口密度離地震中心距離判斷災區(qū)受災程度的因素圖一：判斷災區(qū)受災程度的因素應用層次分析法，確定各因素對優(yōu)先度的權重5在MATLAB中編程求其權重，并對其進行一致性檢驗，求得檢驗指標CR=0.0286<0.1,通過一致性檢驗。求出的各權重，即影響受災程度的各指標權重如表一：影響受災程度的各指標權重離地震中心距離人口密度受災人數嚴重受損建筑物數量弱勢群體數量首先根據物資種類的不同，將物資進行分類，如下圖示：可替代物可替代物生活用品藥品食品物資種類圖二：物資種類應用層次分析法求各類物資的需求迫切度(具體程序見附錄)建立的成比較矩陣：6在MATLAB中編程求其權重，并對其進行一致性檢驗。求出的各權重，即各類物資的需求迫切度為：表二：各類物資的需求迫切度食品藥品生活用品可代替物品求出對災區(qū)分配物資的優(yōu)先度和各類物資的需求迫切度后即可進行物資分配，其原則是：在應急物資有限的情況下，地區(qū)優(yōu)先度越大，物資分配越多分配方法：對救災物資進行最優(yōu)分配，使得分配結果能最大限度地降低災害。我們用最終救災效果表示物資分配降低災害的程度，那么分配方法就等價于使最終救災效果最大。第二題搜集符合題意的數據，然后對數據按照題意的要求進行分析和處理，最后建立層次分析模型，即數值算例。(1)搜集到的符合題意數據為：表三：各地區(qū)關于災區(qū)受災程度的指標數據受災區(qū)域ACDEG離地震中心距離(km)人口密度(人/km2)受災人數嚴重受損建筑物數量弱勢群體數量死亡人數表四：現(xiàn)有物資的數據表物資種類可替代物食品藥品生活用品帳篷睡袋防潮墊方便面(箱)牛奶(箱)消毒液(箱)黃連素(箱)生活用品物資數量(2)物資的需求量估算假設每人每天對于方便食品的平均需求量為0.5千克；每人對于帳篷的需求量為0.25,即每個帳篷可以容納4個人。具體需求量如下表：表五：每人對各類物資需求量7物資種類需求量帳篷睡袋防潮墊方便面牛奶(箱)消毒液(箱)黃連素(瓶)生活用品說明：方便面，牛奶，消毒液，黃連素，生活用品屬于消耗性應急物資，表中數據表示為每人每天的需求量。帳篷，睡袋帳篷屬于非消耗性應急物資，表中數據表示每人在整個救災過程中需要的總量。按各災區(qū)的有需求人數(用受災人數減去死亡人數)估計，未來十天，各災區(qū)對各種物資的需求量分別為d°(g),如下表所示：表六：各災區(qū)對各種物資的需求量物資種類各受災地區(qū)ABCD帳篷睡袋防潮墊方便面牛奶(箱)消毒液(箱)黃連素(瓶)生活用品EFG帳篷睡袋防潮墊方便面牛奶(箱)消毒液(箱)黃連素(瓶)生活用品各災區(qū)對不同物品的需求總量如下圖示：8表七：災區(qū)每人對不同物資種類的需求量帳篷睡袋防潮墊方便面牛奶(箱)消毒液(箱)黃連素(瓶)生活用品運用層次分析法求對各災區(qū)獲得物資的優(yōu)先度首先建立層次結構模型，如下圖示：目標層O(各災區(qū)獲得物資的優(yōu)先度)準則層受災人數離震中心距離人口密準則層受災人數離震中心距離人口密度弱勢群體數量G地圖三：層次結構模型問題一中已求得影響受災程度的各指標權重。根據所搜集到的數據，即表一，確定方案層對準則層的判斷矩陣如下表所示：表八：各對比矩陣ABCDEFGA12B19C431122D562344E341122F2311G2311在MATLAB中編程求其權重，并對其進行一致性檢驗，求得檢驗指標CR=0.0160<0.1,通過一致性檢驗。求出的各權重，如下表：表九：各地區(qū)受災程度ABCDEFG依照以上過程依次確定方案層對準則層的判斷矩陣，并在MATLAB中求解權重，通過一致性檢驗后整理成下表：表十：各物資對各地區(qū)的優(yōu)先度 P層權重總排序ABCDEFG其中總排序的計算公式為：(0.0473,0.0885,0.1810,0.4272,0.1280,0771,0.0588)。應急物資k的需求迫切度w,也已在第一問中求出(參見表十一，則災區(qū)對于應急物資k的需求迫切性F°即可求出F=w?Dw(3)各地區(qū)對各類物資的需求度首先計算各受災地區(qū)對物資的對比較矩陣，如下：A地區(qū)：D地區(qū)：C地區(qū)：B地區(qū)：C地區(qū)：E地G地區(qū)運用層次分析法，在MATLAB如下表：中求出各地區(qū)對各類物資的需求度(權重),表十一：各地區(qū)對各物資的需求度F可代替物品食品藥品生活藥品A0.34580.17330.35810.1228B0.28290.16360.4476C0.28040.23900.33970.1404D0.28040.31200.28040.1272E0.32610.14800.36290.1630F0.35090.35090.1091G0.35090.18910.35090.1091第三題利用第一、二題分析的過程及結果，對所所及的數據進行計算，得出物資分配的優(yōu)化方案。在地震災害救援中，以經濟利益最大化作為優(yōu)化目標不再適合。在災害救援活動中，通?？紤]的目標有時間最短、損失最小、效應最大等。地震災害的突發(fā)性、破壞性等特點決定了在災害發(fā)生后的初期，人們對于災害的嚴重程度，帶來的損失等信息的掌握是有限的。因此，基于對受災區(qū)域的信息的掌握程度有限以及數據的可得性的考慮，本文采用應急物資對受災區(qū)域的效用對于為目標函數。然后定義各受災群組對于應急物資k的需求迫切性為優(yōu)先度乘以物資的需求程考慮到各受災群組對于應急物資k的需求迫切性不同，即它們之間對于應急物資的需求迫切性系數不同。因此，同樣數量的應急物資對于不同的受災群組，其產生的滿意度是不同的。同樣數量的應急物資在需求迫切性較高的受災群組中產生的效應較高。因此，可定義應急物資k對于災區(qū)g的效用為災區(qū)g對于應急物資k的需求迫切性系數與需求滿意度之積。即：R∈=FY因此，物資分配優(yōu)化模型的目標函數為：2、約束條件在應急物資的分配模型中，由于討論的情形是應急物資供小于求的情形，所以該模型的約束條件是：第一個約束條件：各受災群組的應急物資分配數量不多于其需求數量Vg,x?≤d?求量。有總受災對于各種物資分配的數量和小于現(xiàn)有各種物資數量，有：第三個約束條件：可知o≤S≤13、模型建立與求解由以上的分析過程，將各個數據代入第一、二題所建立的物資分配優(yōu)化模型，運用lingo編程求解(程序見附錄),最終得到分配給各受災地區(qū)的不同物資的表十二：各地區(qū)分配的相應各類物資量物資種類各受災地區(qū)ABCDEFG可替代物食品藥品生活用品4、對物資分配的建議各受災者的災情不同，對各類物資的急需程度和需求量不同，在物資分配中應做到合理的發(fā)放。其中，抗震救災生活類物資應當根據受災區(qū)域大小、受災程度、人口密度、災區(qū)群眾需求進行分配，保證重點，確保及時、快捷、高效、公開、公平、公正發(fā)放。嚴禁物資發(fā)放中的優(yōu)親厚友、性別歧視、年齡歧視和孤殘歧視行為，在保障需求的同時，避免浪費。分配物資時要做到“物不浪費”,盡可能地將救災物資發(fā)放給受災者，公平合理地運用于急需的受災者。七、模型的評價及改進本題所建模型解決了地震災害救援中物資分配的問題，通過對物資需求的估算、災區(qū)的分類、救援物資的分類，對災區(qū)及物資進行優(yōu)先級排序，就物資分配問題建立了合理的層次分析模型、優(yōu)化分配模型。模型建立過程中通過搜集相關數據，構造了一個算例，該算例的分析過程很好的解決了各類物資對不同災區(qū)所需物資的量及需求度不同進行分配的問題。本題的模型在算例分析中確立，并不斷地分析推斷，最后建立起符合題意的數學模模型的優(yōu)點：模型簡單，可以在實際中推廣，對物資分配問題具有一定的合力效應。缺點在于它的各級目標的劃分不定，運算相對難些。模型改進意見：可以對物資的優(yōu)先度進行劃分與計算，還可以考慮災區(qū)的災情的動態(tài)變化，利用線性規(guī)劃，作出相應的目標函數，求出動態(tài)下的物資分配方[1]牛映武.運籌學(第二版).西安：西安交通大學出版社.2006[2]蕭樹鐵.大學數學數學實驗.北京：高等教育出版社.2006[3]中華人民共和國國務院新聞辦公室網站.5.12汶川地震與災損評[4]王楠，劉勇，曾敏剛.自然災害應急物流的物資分配決策研究【J】.中國物流科技前沿學術報告.2006-2007:518-525各物資的需求度n=4;ri=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45];lamda=max(diag(y));num=find(diag(y)==lamda);wO=x(:,num)/sum(x(:,num));crO=(lamda-n)/(n-1)/ri(n);crO,w0w0=影響受災程度的指標權重1/411/51/21/3wO=x(:,num)/sum(x(:,num));n=5;crO=(lamda-n)/(n-1)/ri(n);crO,w0w0=A地區(qū)1/31/21/21];[x,y]=eig(a);lamda=max(diw0=x(:,num)/sum(x(:,num));crO=(lamda-n)/(n-1)/ri(n);crO,w0W0=B地區(qū)1/31/21/31]:[x,y]=eig(a);lamda=max(diw0=x(:,num)/sum(x(:,num));crO=(lamda-n)/(n-1)/ri(n);crO,w0W0=C地區(qū)1/21/21/21];>>n=4;[x,y]=eig(a);lamda=max(diw0=x(:,num)/sum(x(:,num));crO=(lamda-n)/(n-1)/ri(n);crO,w00.3397D[x,y]=eig(a);lamda=max(diw0=x(:,num)/sum(x(:,num));crO=(lamda-n)/(n-1)/ri(n);cr0,w0crO=W0=0.31200.1272E1/211/31[x,y]=eig(a);lamda=max(diwO=x(:,num)/sum(x(:,num));crO=(lamda-n)/(n-1)/ri(n);crO,w0w0=0.32610.1630F1/21/212[x,y]=eig(a);lamda=max(diw0=x(:,num)/sum(x(:,num));crO=(lamda-n)/(n-1)/ri(n);crO,w0W0=0.35090.18910.1091G[x,y]=eig(a);lamda=max(diag(y));num=find(diag(y)==lamda);crO=0.35090.18910.35090.1091>>a=[0.0473,0.0885,0.1810,0.4272,0.1280,0.771,0.0588];ans=ans=ans=ans=ans=>>a=[0.3570.3870.4430.4410.463];0.42721/411/61/21/3451321/221/311/2wO=x(:,num)/sum(x(:,num));n=5;crO=(lamda-n)/(n-1)/ri(n);cr0,w0w0=0.1125model:max=0.058*0.3581*x1/97.5+0.042*0.4476*x2/789+0.1789*0.3397*x3/1588.5+0.36*0.2804*x4/6519+0.168*0.3629*x5/618.75+0.0982*0.1891*x6/381+0.0982*0.3509*x7/249.75;x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7<7500;x1<=97.5;x2<789;x3<=1588.5;x4<=6519;x5<=618.75;x6<=381;x7<=249.75;x1>=0.58*97.5;x2>=0.58*789;x3>=0.58*1588.5;x4>=0.58*6519;x5>=0.58*618.75;x6>=0.58*381;x7>=0.58*249.75;0Objectivevalue:0.2727525VariableValueReducedCostX197.500000.000000X2783.48000.000000X30.000000X43781.0200.000000X5618.75000.000000X6381.00000.000000X7249.75000.000000可替代物model:max=0.058*0.3458*x1/292.5+0.042*0.2829*x2/2394+0.1789*0.2808*x3/4765.5+0.36*0.2804*x4/19557+0.168*0.3261*x5/1856.25+0.0982*0.3509*x6/1143+0.0982*0.3509*x7/749.25;x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7<21300;x1<=292.5;x2<2394;x3<=4765.5;x4<=19557;x5<=1856.25;x6<=1143;x7<=749.2x1>=0.55*292.5;x2>=0.55*2394;x3>=0.55*4765.5;x4>=0.55*19557;x5>=0.55*1856.25;x6>=0.55*1143;x7>=0.55*749.25;0Objectivevalue:0.2582174VariableValueReducedCostX10.000000X20.000000X3