2020-2021學年廣東省汕頭市潮南區(qū)高一年級上冊期末數(shù)學試卷(含解析)

2020-2021學年廣東省汕頭市潮南區(qū)高一上學期期末數(shù)學試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.設集合A={x|x+120},B={x\x2+2x-15<0,xGZ],則4nB=()

A.{-1,04,2}B.{-1,2,3)C.[1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5)

2.已知實數(shù)4B,C滿足ABC羊0,則“ABC>0”是“方程A/+By2=c表示的曲線為橢圓”

的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

3.命題“△ABC中，若乙4>NB,則a>b”的結(jié)論的否定應該是()

A.a<bB.a<bC.a>bD.a>b

4.函數(shù)〃%)=/。93刀一弓尸一2的零點所在區(qū)間為()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

5.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間/上是增函數(shù)，且函數(shù)y=芋在區(qū)間/上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)y=/(%)

是區(qū)間/上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間/叫做“緩增區(qū)間”.若函數(shù)/Q)=/一4x+5是區(qū)間/上的

“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”/為()

A.[2,+00)B.[2,V5]C.[0,V5]D.[0,2]

6.已知角a的終邊過點P(-L-2),則VT—sin2a=()

A.一些B.漁C3遙D,2

5555

7.函數(shù)/'(%)=(sinx+cos%)2+cos2x的最小正周期為()

A.47rB.37rC.27rD.n

8.函數(shù)f(X)=*在區(qū)間[2,5]上的最大值與最小值的差記為息ax-min，若/max-min+a2-2a<0

恒成立，貝Ua的取值范圍是()

A.[i,|]B.[1,2]C.[0,1]D.[1,3]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.若集合4={%|a/-2x-1=0}恰有兩個子集，則a的值可能是()

A.0B.-1C.1D.?；?

10.若函數(shù)f(x)?仇無在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì),下列函數(shù)中所有具有M

性質(zhì)的函數(shù)為()

A./(%)=；B./(x)=x-lC./(x)=D./(x)=ex

11.如圖，棱長為1的正方體力BCO-中，M為線段上的動

點(含端點)，則下列結(jié)論正確的是()

A.平面8cM_L平面4遇當

B.三棱錐B-MBiC體積最大值為［

O

C.當M為4%中點時，直線81D與直線CM所成的角的余弦值為產(chǎn)

D.直線CM與所成的角不可能是3

%2—4%+2,%30

小%+1，若函數(shù)9。)=/(%)-m恰有3個零點，則m的取值可能為

{，久<U

()

A.73B.1C.2D.2

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知有3個基函數(shù)的圖象如圖，其中它們的指數(shù)來源于集合{則其指數(shù)從(a)

到(e)依次為

14.已知a是第二象限角，化簡tcma---1=_____.

7sinza

15.定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=/(x),且/(x)在［-3,-2］上單調(diào)遞減，又a,。是

銳角三角形的兩內(nèi)角，則/(sina)與/(cos0)的大小關系是.

16.已知求函數(shù)y=4x—2+W的最小值是

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分)

17.⑴已知tana*,求2s…二+皿2a的值;

(2)化簡tan(rr-a)cos(2兀-a)sin(-a+^Tr)

cos(-a-7r)sin(-7r-a)

18.已知命題p：方程M+rnx+1=0有兩個不等的正實數(shù)根，命題q：方程4/+4(m+2)x+1=0

無實數(shù)根.

(1)若p為真命題，求m的取值范圍；

(2)若q為真命題，求小的取值范圍；

(3)若“p或q”為真命題，求m的取值范圍.

19.(本題滿分10分)

□的最大值為2,其圖像相鄰的兩條對稱軸之間的距離為0,且過點0.

S

20.若函數(shù)/'(X)定義域為R,且對任意實數(shù)%,x2,有/(與+上)<〃/)+/(%2)，則稱為“V形

函數(shù)”，若函數(shù)g(x)定義域為R,函數(shù)g(x)>0對任意xeR恒成立，且對任意實數(shù)%2,有

lg[5(x1+x2)]<lg[5(%1)]+電[9(小)]，則稱為“對數(shù)U形函數(shù)”.

(1)試判斷函數(shù)f(x)=%2是否為“V形函數(shù)”，并說明理由；

(2)若g(x)=(勺x+a是“對數(shù)U形函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若f(x)是“V形函數(shù)”，且滿足對任意x€R,有/(x)>2,問/Q)是否為“對數(shù)U形函數(shù)”？證

明你的結(jié)論.

21.如圖，現(xiàn)要在一塊半徑為r(r>0),圓心角為60。的扇形紙板POQ上剪

出一個平行四邊形0ABe，使點B在弧PQ上，點4在半徑OP上，點C在

半徑OQ上.

(1)求S關于a的函數(shù)關系式;

(2)求S的最大值及相應的a值.

22.已知函數(shù)/(x)=寤是奇函數(shù)，且/⑵=|.

(1)求實數(shù)a,b的值；

(2)判斷函數(shù)”乃在上的單調(diào)性，并用定義加以證明.

參考答案及解析

I.答案：A

解析：解：A=[x\x+1>0}={x|x>-1}.

B=+2,x-15<0,x6Z}{-4,-3,一2,—1,0,1,2),

則Ans={-1,0,1,2},

故選：A.

解不等式分別求出A,B,求出4,B的交集即可.

本題考查了集合的運算，考查不等式問題，是基礎題.

2.答案：D

解析：解：若方程A%2+By2=c表示的曲線為橢圓，

%2y2

則橢圓的標準方程為：式+卷=1,

AB

貝吟>0,￡>0,”2

%>0p<0

即.B>?；?lt;0

C>0-乂[C<0'

故"ABC>0”推不出“方程4/+By2=C表示的曲線為橢圓”，

“方程A/+By2=C表示的曲線為橢圓”推不出“力BC>0”，

.??實數(shù)"ABC>0”是“方程+By2=C表示的曲線為橢圓的非充分非必要條件.

故選：D.

首先求出方程4/+By2=。表示的曲線為橢圓的等價條件，然后根據(jù)充分條件，必要條件的定義來

判斷.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵.

3.答案:B

解析：解：由題意可知：命題“△力BC中，若乙4>/B,則a>b”的結(jié)論的否定應該是：aWb.

故選：B.

直接利用命題的否定，寫出經(jīng)過即可.

本題考查命題的否定，基本知識的考查.

4.答案:B

解析：解：函數(shù)的定義域為(0,+8),易知函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

?."(2)=log32-l<0,-3)=log33-1>0,

???函數(shù)/'(x)的零點一定在區(qū)間(2,3),

故選：B.

確定函數(shù)的定義域為(0,+8)與單調(diào)性，再利用零點存在定理，即可得到結(jié)論.

本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查零點存在定理，屬于基礎題.

5.答案：B

解析：

本題主要考查了二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解及對勾函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，屬于基礎試題.

分別結(jié)合二次函數(shù)及對勾函數(shù)的單調(diào)性求出滿足條件的單調(diào)區(qū)間即可.

解：由題意可得，/。)=%2一4%+5的對稱軸為久=2,其單調(diào)遞增區(qū)間為［2,+8),

又？=號=*+9一4,根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知單調(diào)遞減區(qū)間為(0,遮］和［一花,0).

綜上可得，滿足條件的“緩增區(qū)間”/為［2,遮］.

故選:B.

6.答案：B

解析：解：,??角a的終邊過點P(—1,—2),二cosa=sina=—

則“-sin2a=V1—2sinacosa=Jl-2?(一手)?(—y)=尋

故選：B.

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sina、cosa的值，再利用二倍角的正弦公式求得要求式

子的值.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，二倍角的正弦公式，屬于基礎題.

7.答案：D

解析：

本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)的和差角公式，屬于基礎題，具有綜合性；

解：函數(shù)f(%)=(sinx+cos%)2+cos2x=1+sin2x+cos2x=14-V2sin(2x+^),

:.T="=

2

故選。.

8.答案：A

解析：

本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查求函數(shù)的最值問題，屬于基礎題.

求出“X)的單調(diào)性，計算/(x)的最值，問題轉(zhuǎn)化為。2-2a+,SO恒成立，解出即可.

解：/。)=喜=1+￡在區(qū)間［2,5］上單調(diào)遞減，

-f(x)max=/(2)=2,f(x)min=-5)=

fmax-min+十一2@40恒成立，

即4-2a+<0恒成立，

解得：|<a<|.

故選：A.

9.答案：AB

解析：

本題考查了集合的子集個數(shù)，屬于基礎題.

恰有兩個子集的集合只有一個元素，進而求解.

解：集合A恰有兩個子集，則集合4中只有一個元素，

當a=0時，4=｛一｝，滿足題意；

當a。。時，△=4+4Q=0,即a=—1,此時A=｛—1｝,滿足題意；

故a的值為0,-1.

故選：AB.

10.答案:AD

解析：解：根據(jù)題意,設9(%)=/(%)?%

對于4/(%)=｝貝=等，其定義域為(0,+8),易得f(x).x在(0,+8)上為增函數(shù)，符合

題意；

對于8,/(x)=x-1,則%-1)1%,其定義域為(0,+8),有g'(%)=+?,

在區(qū)間(0,1)上，g'(x)<0,函數(shù)/'(x)為減函數(shù)，不符合題意;

對于C,/(%)=則/(%)=膏，其定義域為(0,+8),有g(x)=￡+賢=*(：-)為，

在區(qū)間(e,+8)上，g'(x)<0,函數(shù)/(x)-x為減函數(shù)，不符合題意；

對于D,/(%)=ex,則/'(x)=e3nx,其定義域為(0,+8),有g(x)=靖》》+?=e*(7nx+：),

都有g'(x)>0,/(x)在(0,+oo)上為增函數(shù)，符合題意；

故選：AD.

根據(jù)題意，設g(x)=f(x)“，結(jié)合選項中的函數(shù)，依次分析g(x)=f(x)，的單調(diào)性，綜合即可得

答案.

本題考查利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，注意函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關系，屬于基礎題.

11.答案:ABC

解析：解：在正方體48。。一48停1。1中，

8。_!_面4遇“，BCu面BCM,

.?.面BCM_L面力遇”，

故選項A正確；

設M到面B&C的距離為九，

%-MBiC==§XyXlXlX/l=w/l，

當M點運動到線段4當?shù)亩它c4時，h最大，且距離為1.

二三棱錐B-MB]。的體積最大值為g

O

故選項8正確；

如圖，將4/1延長至E,使4/i=BiE,連ME,CE,

易得B]D〃CE,

???直線CM與直線CE所成角即為直線殳。與直線CM所成的角，即ZMCE,

易得|MC|=乎,\CE\=V3，\ME\=^.

|MC『+|CE『一|ME|2_V2

???cosZ-MCE=

2\MC\\CE\一3

故選項C正確;

,:AM/BiC,

???直線CM與直線所成角就是匕MCBi，

當M從點81沿著線段當4向4點運動時，4MCBi逐漸變大,

：?/Big==三>%

故在點4和點當之間，必定存在一點使得NMCBi=：,

故選項。錯誤.

故選：ABC.

4選項中，直接由正方體的性質(zhì)證明即可：

B選項中將求體積的最大值轉(zhuǎn)化為求M到面BB】C的距離的最大值即可；

C,。選項可利用平行四邊形的方法，將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為求相交直線夾角即可；

本題考查了空間中面面垂直的判定，三棱錐的體積，以及異面直線所成的角，屬于中檔題.

12.答案：BC

解析：

本題考查了函數(shù)的零點與函數(shù)圖象的關系，屬于中檔題.

作出f(x)的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷m的值.

解：g(x)恰好有3個零點，

等價于/(x)=m有三個不等實根，如圖，

作出y=/(%)的圖象，可得當［<mW2時，/(x)的圖象與y=m有三個交點.

故選：BC.

13.答案：|,-|155

2'2’2

解析：解：由圖象可知：(a)、(b)為偶函數(shù)，且9)的定義域為R,(b)的定義域為口|X。0},故(a)的

指數(shù)是|,(b)的指數(shù)是一|.

對于(d)：函數(shù)定義域為［0,+8)具有單調(diào)遞增，且不具有奇偶性，因此其指數(shù)應為(不是|.

對于(c)、(e),定義域都為(0,+8),都單調(diào)遞減，但是(e)遞減的較快，因此指數(shù)分別一:，-|.

綜上可知：其指數(shù)從⑷到(e)依次為:,一|,—：,|,一|；

故答案為|,一|15_5

2'2’2

利用函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性即可得出.

本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合等基礎知識與基本方法，屬于基礎題.

14.答案：—1

蜘+二/1y,/l-sin2a人cos2asina.cosa.

解析：解：tana——1=tana/———=tanaI.=-----------，

y]sinzay]sin2a\sinz9acosasina

???a是第二象限角，??.s譏a>0,cosa<0,

sina=y]2stnpsina.cosasina-cosa

???原式=

V3cosa=J2cos/?cosasina

故答案為：—1

由題意，根據(jù)象限三角函數(shù)的符號，直接化簡表達式，求出最簡結(jié)果.

本題是基礎題，考查同角三角函數(shù)基本關系式的應用，考查計算能力，推理能力.

15.答案：/(sina)>/(cos/?)

解析:因為f(%+2)=/(%)=>fQ)的周期為2,所以/(%),%W的單調(diào)性與［一3,-2］一致，單

調(diào)遞減，又f(x)是偶函數(shù)，所以在［0,1］上單調(diào)遞增.又a,￡是銳角三角形的兩個內(nèi)角，所以邈<a+

1

械F炭q

/?<7r=>0<^--0Va<J=1>sina>sinI——靜?=cos/?>0=>/(sina)>/(cos0).

售輯1

16.答案：5

解析：

本題考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎題.

變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

4

A4%—5>0.

???函數(shù)y=4x-2+—=(4%-5)7+—+3>2(4x-5)-—+3=5，當且僅當4x-5=1,

了4x-5'4x-59,4x-5

即x=I時取等號.

.1函數(shù)y=4x-2+的最小值是5.

故答案為：5.

17.答案：解：(1)?；tana=%

.原式-sin2a+cos2a_tan2a+l___5

、2sinacosa+cos2a-sin2a2tana+l-tan2a2X-+1--7,

39

tan(7r-a)cos(27r-a)sin(-a4-|7r)-taziacos(-a)sin(a+聲)^^cosa

(2)-------------------------------------=------=-1,

cos(-a-7T)sin(-7r-a)-cosasina-sina

解析：(1)所求式子分子“1”，利用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡為siMa+cosZa,分子分母除

以cos2a化簡，將tcma的值代入計算即可求出值.

(2)直接利用誘導公式化簡表達式，通過同角三角函數(shù)的基本關系式化簡即可得到結(jié)果.

本題(1)考查了三角函數(shù)的化簡求值，熟練掌握同角三角函數(shù)間的基本關系是解本題的關鍵，(2)考

查誘導公式的應用，考查計算能力.

18.答案：解：(1)?.?方程/+mx+1=0有兩個不等的正實數(shù)根，

f-->0?

(△=/—4>0

???若p為真命題，的取值范圍是m<-2；

(2)?.?方程4/+4(m+2)x+1=0無實數(shù)根.

16(m+2產(chǎn)-16<0=>—3<m<—1,

二若q為真命題，m的取值范圍是-3<zn<-1；

(3)若“p或q”為真命題，由復合命題真值表得：命題p、q至少一個為真，

?1?m的取值范圍是(一3,—1)U(2,+8).

解析：(1)借助一元二次函數(shù)圖象，分析命題p為真的等價條件，求出m的范圍；

(2)解不等式4=16(m+2產(chǎn)-16<0可得答案；

(3)若“p或q”為真命題，由復合命題真值表得：命題p、q至少一個為真，求(1)(2)的并集即可.

本題借助考查復合命題的真假判定，考查了一元二次方程根的判定，本題的關鍵是求命題p、q為真

時m的范圍.

19.答案：解：

(I)函數(shù)/"(x)=Asin(a)x+0)的最大值為2,結(jié)合已知條件4>0,

???/=2，

?一

又?.?函數(shù)圖像相鄰的兩條對稱軸之間的距離為二，

2

二周期T=7T,

...國

:./(%)=2sin(2x+*),

丁

由/(%)=2sin(2x+乎)過點—：0),

11

sin(g-9=0n0，=左洛旌Z

66

?.?0<??<—

元

：.§=■一.

6

(口)由(1)可得，X(x)=2sin(2x4--),

6

故解)=20酗23J)=l

6

小

：.8=三

6

又a=2,c=3,

由余弦定理得+c，-OGCCOSS=13-，

解得力=J13—6J5-

解析：本題考查由y=4sin(3x+(p)的部分圖象確定其解析式，考查了余弦定理的應用.

(I)依題意得A=2,T=n,3=2,結(jié)合函數(shù)圖象過點0,即可求得*值；

(H)先由/(B)=2求得B,再由余弦定理即可求得b的值.

20.答案:解：⑴?.?函數(shù)f(x)=)2,

???y(xi+x2)=(%+，/(無力+y(x2)=+%2>

當41、乂2同號時，(X1+乂2)2>就+據(jù)，不滿足+X2)<fQi)+/(%2)，

二函數(shù)/'(X)=/不是形函數(shù)”；

(2)若g(x)=G)x+a是“對數(shù)U形函數(shù)”，

則9(x)=(|)z+a>0恒成立，

a>0,

根據(jù)題意,g(%i+不)vg(%i)?g(%2)恒成立，

即C)z+X2+a<[(｝右+a][?尸2+甸，

去括號整理得a>1—[?尸1+(1)^],

a>1；

(3)若/。)是形函數(shù)”，且滿足對任意％GR,有/(久)>2,

則/(X]+X2)</,(%1)+/(x2)>

??"(Xi)>2,

?1?/'(%1)-1>1,同理/'(刀2)-1>1>

[/(Xj-l][/(X2)-1]>1.去括號整理得f(Xi)f@2)>/(/)+f(X2)，

.?./(%!+X2)</(X1)/(X2),

即lg[/(Xi+%2)]<lg[/(Xa)]+Ig[/(X2)],是“對數(shù)U形函數(shù)”?

解析：(1)根據(jù)形函數(shù)”的定義，結(jié)合函數(shù)f(x)=i,判斷可得函數(shù)/(%)=/不是“1/形函數(shù)”

x

(2)若g(x)=?尸+a是“對數(shù)V形函數(shù)”，則g(x)=(1)+a>0恒成立，結(jié)合g(x1+x2)<。(與)?

g(》2)恒成立，可得實數(shù)a的取值范圍；

(3)若f(x)是“V形函數(shù)”，且滿足對任意xWR,有f(x)>2,則/(X1+X2)</(/)+/(犯)，即

lg[/(Xl+%2)]<lg[/(%l)]+lg[/(X2)])是“對數(shù)V形函數(shù)”

本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，正確理解新定義形函數(shù)”，是解答的關鍵.

21.答案:解:(1)過點B作10P于M,

則8M=rsina,OM=rcosa,

V3

0A=