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陜西省漢中市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù),如果存在函數(shù),使得對于一切實(shí)數(shù)都成立,那么稱為函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù).給出如下命題:1對給定的函數(shù),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無數(shù)個(gè)2定義域和值域都是的函數(shù)不存在承托函數(shù);3為函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù);4為函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù)其中,正確的命題個(gè)數(shù)是(
)A.0
B.1
C.2
D.3參考答案:C2.先后擲一枚質(zhì)地均勻骰子(骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn))兩次,落在水平桌面后,記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為,設(shè)事件為“為偶數(shù)”,事件為“中有偶數(shù),且”,則概率(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A3.某程序框圖如圖所示,則該程序運(yùn)行后輸出的值是A.
B.
C.
D.參考答案:D4.
A.1
B.
C.
D.參考答案:B略5.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?若函數(shù)滿足條件:存在,使在上的值域是,則稱為“倍縮函數(shù)”,若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是A.
B.
C.
D.參考答案:A6.設(shè)集合A={x∈Z|(x+1)(x﹣4)≤0},B={x|x≤a},若A∪B=B,則a的值可以是()A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:D【考點(diǎn)】18:集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.【分析】化簡A,利用B={x|x≤a},A∪B=B,求出a的值.【解答】解:A={x∈Z|(x+1)(x﹣4)≤0}={﹣1,0,1,2,3,4},∵A∪B=B,∴A?B,∵B={x|x≤a},∴a≥4,故選D.7.已知平面向量的夾角為,(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D8.給出下面類比推理命題:
①“若a·3=b·3,則a=b”類推出“若a·0=b·0,則a=b”;
②“若(a+b)c=ac+bc”類推出“”;
③“”類推出“”;
④“”類推出“”,
其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4參考答案:A9.已知P是圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),則P點(diǎn)到直線的距離的最小值為()A.1 B. C.2 D.參考答案:A【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系;點(diǎn)到直線的距離公式.【分析】先利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線的距離,再用此距離減去半徑,即得所求.【解答】解:由于圓心O(0,0)到直線的距離d==2,且圓的半徑等于1,故圓上的點(diǎn)P到直線的最小距離為d﹣r=2﹣1=1,故選A.10.如圖,三棱錐底面為正三角形,側(cè)面與底面垂直且,已知其主視圖的面積為,則其左視圖的面積為A.
B.
C.
D.參考答案:B,由題意知,該三棱錐的主視圖為,設(shè)底面邊長為,高,則的面積為。又三棱錐的左視圖為直角,在正中,高,所以左視圖的面積為,選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示,一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為2的正方形,俯視圖是一個(gè)直徑為2的圓,則這個(gè)幾何體的全面積為_________.參考答案:由三視圖知該幾何體的直觀圖是底面半徑為1,高為2的圓柱,所以其全面積是12.如圖所示,圓O是△ABC的外接圓,過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D,如果CD=,AB=BC=3.那么AC=_______.參考答案:13.設(shè),其中成公比為的等比數(shù)列,成公差為1的等差數(shù)列,則的最小值是____
____.參考答案:試題分析:因?yàn)椋鶕?jù)題意可得,則可得.即,.所以的最小值為.考點(diǎn):1等差數(shù)列;2等比數(shù)列.14.圓的半徑為,是圓外一點(diǎn),,是圓的切線,是切點(diǎn),則
.參考答案:略15.將邊長為3的正四面體以各頂點(diǎn)為頂點(diǎn)各截去(使截面平行于底面)邊長為1的小正四面體,所得幾何體的表面積為_
.參考答案:16.數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則的通項(xiàng)公式_____.參考答案:17.函數(shù)y=2sin(2x﹣)與y軸最近的對稱軸方程是.參考答案:x=﹣【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象.【分析】由條件利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性,得出結(jié)論.【解答】解:對于函數(shù)y=2sin(2x﹣),令(k∈Z)時(shí),,因此,當(dāng)k=﹣1時(shí),得到,故直線x=﹣是與y軸最近的對稱軸,故答案為:x=﹣.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為T,T只與道路通暢狀況有關(guān),對其容量為100的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:T(分鐘)25303540頻數(shù)(次)20304010(Ⅰ)求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET;(Ⅱ)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā),前往新校區(qū)做一個(gè)50分鐘的講座,結(jié)束后立即返回老校區(qū),求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率.參考答案:【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差;離散型隨機(jī)變量及其分布列.【分析】(Ⅰ)求T的分布列即求出相應(yīng)時(shí)間的頻率,頻率=頻數(shù)÷樣本容量,數(shù)學(xué)期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分鐘);(Ⅱ)設(shè)T1,T2分別表示往、返所需時(shí)間,事件A對應(yīng)于“劉教授在路途中的時(shí)間不超過70分鐘”,先求出P()=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.09,即P(A)=1﹣P()=0.91.【解答】解(Ⅰ)由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分布為T(分鐘)25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計(jì)概率得T的分布列為T25303540P0.20.30.40.1從而數(shù)學(xué)期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分鐘)(Ⅱ)設(shè)T1,T2分別表示往、返所需時(shí)間,T1,T2的取值相互獨(dú)立,且與T的分布列相同,設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過120分鐘”,由于講座時(shí)間為50分鐘,所以事件A對應(yīng)于“劉教授在路途中的時(shí)間不超過70分鐘”P()=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09故P(A)=1﹣P()=0.91故答案為:(Ⅰ)分布列如上表,數(shù)學(xué)期望ET=32(分鐘)(Ⅱ)0.9119.已知向量,,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若且,求向量與的夾角;(2)當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí),求的最大值.參考答案:解:(1),故.(2),故當(dāng)時(shí),原式的最大值為,當(dāng)時(shí),原式的最大值為.20.在等差數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),,且,的公比
(1)求數(shù)列通項(xiàng);
(2)記,試比較與的大小。參考答案:(I)由已知可得,
解得,或(舍去),
。
(Ⅱ)
。
∵
故時(shí),;時(shí),;
時(shí),
略21.已知橢圓,直線不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,與有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,線段AB的中點(diǎn)為M.(1)若,點(diǎn)K在橢圓上,、分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),求的范圍;(2)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;(3)若過點(diǎn),射線OM與交于點(diǎn)P,四邊形能否為平行四邊形?
若能,求此時(shí)的斜率;若不能,說明理由.參考答案:(1)橢圓,兩個(gè)焦點(diǎn)、,設(shè)所以由于,所以, …3分由橢圓性質(zhì)可知,所以 ……………5分(2)設(shè)直線(),,,,所以為方程的兩根,化簡得,所以,.
……………8分,所以直線的斜率與的斜率的乘積等于為定值.…………10分(3)∵直線過點(diǎn),∴不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是,.設(shè)設(shè)直線(),即.由(2)的結(jié)論可知,代入橢圓方程得…12分由(2)的過程得中點(diǎn),
……………14分若四邊形為平行四邊形,那么M也是OP的中點(diǎn),所以,得,解得所以當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí),四邊形為平行四邊形.……………16分22.已知二次函數(shù)().(Ⅰ)當(dāng)時(shí),函數(shù)定義域和值域都是,求
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