2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識(shí)梳理第2章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用

第九講函數(shù)模型及其應(yīng)用知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)函數(shù)模型及其應(yīng)用1．幾類常見(jiàn)的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax3.解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題．以上過(guò)程用框圖表示如下：歸納拓展1．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0，x>0)在區(qū)間(0，eq\r(a)]內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間[eq\r(a)，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．2．直線上升、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)、指數(shù)爆炸．雙基自測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(×)(2)冪函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快．(×)(3)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a>0)的增長(zhǎng)速度．(√)(4)不存在x0，使ax0<xeq\o\al(a,0)<logax0.(×)[解析](1)當(dāng)x＝－1時(shí)，2－1<(－1)2.(2)冪函數(shù)增長(zhǎng)速度是逐漸加快的，當(dāng)變量較小時(shí)，其增長(zhǎng)很緩慢，題目說(shuō)的太絕對(duì)，也沒(méi)有任何條件限制．(3)對(duì)于在(0，＋∞)上的三個(gè)增函數(shù)來(lái)言，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)最快，其次是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)．(4)當(dāng)a∈(0,1)時(shí)存在x0，使ax0<xeq\o\al(a,0)<logax0.題組二走進(jìn)教材2．(必修1P140T6改編)某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(D)A．收入最高值與收入最低值的比是3∶1B．結(jié)余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D．前6個(gè)月的平均收入為40萬(wàn)元3．(必修1P156T14改編)在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是(D)A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x[解析]根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計(jì)算，可以排除B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意，故選D.4．(必修1P161T8改編)2022年北京冬奧會(huì)上谷愛(ài)凌的表現(xiàn)讓國(guó)人自豪，她奪得冠軍的其中一個(gè)項(xiàng)是女子U形場(chǎng)地技巧賽．比賽是在一個(gè)形狀類似于U形的槽子里進(jìn)行．運(yùn)動(dòng)員一般需要在U形槽內(nèi)做5到6個(gè)動(dòng)作，得分根據(jù)動(dòng)作的騰空高度、轉(zhuǎn)體角、動(dòng)作的流暢性及美觀性來(lái)判定．U形槽的結(jié)構(gòu)由寬闊平坦的底部和兩側(cè)的凹面斜坡(四分之一的圓管)組成．寬闊的底部是為了使運(yùn)動(dòng)員重新獲得平衡并為下一個(gè)動(dòng)作做準(zhǔn)備．根據(jù)下圖數(shù)據(jù)可得U形槽兩側(cè)圓管的半徑所在平面與地面的夾角及底部的寬度(米)分別為(C)A．18°，6.7 B．18°，10.05C．72°，6.7 D．72°，10.05[解析]根據(jù)U形槽的結(jié)構(gòu)特征即可求解．由題意，因?yàn)閁形槽兩側(cè)圓管的半徑所在平面與斜坡面垂直，而斜坡面與地面夾角為18°，所以U形槽兩側(cè)圓管的半徑所在平面與地面的夾角為90°－18°＝72°，底部的寬度為20.1－6.7×2＝6.7(米)，故選C.題組三走向高考5．(多選題)(2023·新課標(biāo)Ⅰ，10,5分)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視，用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常數(shù)p0(p0>0)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，p是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060～90混合動(dòng)力汽車1050～60電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1，p2，p3，則(ACD)A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100P0 D．p1≤100p2[解析]對(duì)于C，由題意知20×lgeq\f(p3,p0)＝40，即lgeq\f(p3,p0)＝2，所以p3＝100p0，故C正確；對(duì)于A，由題意知Lp1≥Lp2，所以20×lgeq\f(p1,p0)≥20×lgeq\f(p2,p0)，所以p1≥p2，故A正確；對(duì)于B，Lp2＝20×lgeq\f(p2,p0)∈[50,60]，所以eq\f(5,2)≤lgeq\f(p2,p0)≤3，所以p2∈[10eq\f(5,2)P0,103P0]，即p2≤103p0＝10p3，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，Lp1＝20×lgeq\f(p1,p0)∈[60,90]，所以3≤lgeq\f(p1,p0)≤eq\f(9,2)，所以p1∈[103p0,10eq\f(9,2)p0]，因?yàn)?00p2∈[10eq\f(9,2)p0,105P0]，所以p1≤100p2，故D正確，故選ACD.6．(2022·北京高考卷)在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是(D)A．當(dāng)T＝220，P＝1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B．當(dāng)T＝270，P＝128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C．當(dāng)T＝300，P＝9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當(dāng)T＝360，P＝729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)[解析]對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)T＝220，P＝1026，即lgP＝lg1026>lg103＝3時(shí)，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于固態(tài)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)T＝270，P＝128，即lgP＝lg128∈(lg102，lg103)，即lgP∈(2,3)時(shí)，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于液態(tài)；對(duì)于C選