第05講 正多邊形與圓-【寒假預(yù)習(xí)】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重難點(diǎn)講練與測(cè)試（滬教版）（原卷版）

第05講正多邊形與圓目錄考點(diǎn)一：正多邊形的中心角考點(diǎn)二：正多邊形和圓考點(diǎn)三：弧長(zhǎng)與扇形面積【基礎(chǔ)知識(shí)】一、正多邊形的相關(guān)概念1.正多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形．有n條邊的正多邊形（n是正整數(shù)，且）就稱作正n邊形2.正n邊形的對(duì)稱性正n邊形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的條數(shù)=n．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正n邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是它的兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)．3.正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓任何一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，外接圓和內(nèi)切圓的圓心都是這個(gè)正多邊形的對(duì)稱軸的交點(diǎn)．正多邊形外接圓（或內(nèi)切圓）的圓心叫做正多邊形的中心．正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．正多邊形內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)叫做正多邊形的邊心距．正多邊形一邊所對(duì)的關(guān)于外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．每一個(gè)中心角==它的每一個(gè)外角4.正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個(gè)全等的直角三角形.3.正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓要點(diǎn)詮釋：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊是圓的外切正多邊形.5.正多邊形的畫(huà)法（1）用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫(huà)出相應(yīng)的正n邊形.（2）用尺規(guī)等分圓對(duì)于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.①正四、八邊形。在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。②正六、三、十二邊形的作法。通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫(huà)一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫(huà)弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn)。顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn)。同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把⊙O12等分……。要點(diǎn)詮釋：畫(huà)正n邊形的方法：（1）將一個(gè)圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點(diǎn).二、正多邊形的相關(guān)計(jì)算設(shè)正n邊形的半徑長(zhǎng)為Rn、中心角為αn、邊長(zhǎng)為an、邊心距為rn，則利用等腰三角形OAB，通過(guò)解直角三角形OAH，可由其中兩個(gè)量求出其余的兩個(gè)量.進(jìn)一步還可以求出這個(gè)正n邊形的周長(zhǎng)及面積.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：正多邊形的中心角一、單選題1．（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）如果一個(gè)正多邊形的中心角等于，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)上海市西南模范中學(xué)校考階段練習(xí)）正十邊形的中心角等于______度．3．（2022秋·上海金山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）正五邊形的中心角的度數(shù)是_____．4．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考二模）一個(gè)正n邊形的一個(gè)內(nèi)角等于它的中心角的2倍，則n=___．5．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于30°，那么這個(gè)正多邊形的中心角為_(kāi)___6．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如果一個(gè)正多邊形的中心角為36°，那么這個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)是_____．7．（2022·上海松江·統(tǒng)考二模）如果一個(gè)正多邊形的中心角為72°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是_______．考點(diǎn)二：正多邊形和圓一、單選題1．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）下列命題中，正確的是（

）A．正多邊形都是中心對(duì)稱圖形 B．正六邊形的邊長(zhǎng)等于其外接圓的半徑C．邊數(shù)大于3的正多邊形的對(duì)角線長(zhǎng)都相等 D．各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形2．（2022·上海黃浦·統(tǒng)考二模）下列命題中，真命題是（

）A．正六邊形是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形B．正六邊形的每一個(gè)外角都等于中心角C．正六邊形每條對(duì)角線都相等D．正六邊形的邊心距等于邊長(zhǎng)的一半3．（2022·上海黃浦·格致中學(xué)?？级＃┤绻粋€(gè)正九邊形的邊長(zhǎng)為，那么這個(gè)正九邊形的半徑是（）A． B． C． D．4．（2022秋·上海普陀·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為4，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和的長(zhǎng)分別為（）A．2， B．2，π C．， D．2，二、填空題5．（2022·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)?？级＃┌霃綖?的圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．6．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，已知點(diǎn)G是正六邊形對(duì)角線上的一點(diǎn)，滿足，聯(lián)結(jié)，如果的面積為1，那么的面積等于_______.7．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)上海市婁山中學(xué)校考期中）已知正六邊形的邊長(zhǎng)為，那么它的邊心距等于__________．8．（2022·上海金山·統(tǒng)考二模）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n=_______．9．（2022秋·上海徐匯·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如果一個(gè)正六邊形的邊心距的長(zhǎng)度為，那么它的半徑的長(zhǎng)度為_(kāi)_______cm．10．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，則正多邊形的邊長(zhǎng)與半徑的比值為_(kāi)_______．11．（2022秋·上海虹口·九年級(jí)統(tǒng)考期中）半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．12．（2022·上海徐匯·位育中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若正四邊形的半徑是1，則它的邊長(zhǎng)是________．13．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)與外切正方形的邊長(zhǎng)之比是_______________．14．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）六個(gè)帶角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積_________．15．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知在正六邊形ABCDEF中，AB＝6，那么正六邊形ABCDEF的面積等于_____．16．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D為一個(gè)正多邊形的相鄰四個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若，則從該正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有______條對(duì)角線．17．（2022·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_．18．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）正六邊形的邊長(zhǎng)、半徑、邊心距之比為_(kāi)________________．19．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如果一個(gè)四邊形有且只有三個(gè)頂點(diǎn)在圓上，那么稱這個(gè)四邊形是該圓的“聯(lián)絡(luò)四邊形”，已知圓的半徑長(zhǎng)為，這個(gè)圓的一個(gè)聯(lián)絡(luò)四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，那么這個(gè)菱形不在圓上的頂點(diǎn)與圓心的距離是________．20．（2022秋·上海閔行·九年級(jí)校考期中）我們規(guī)定：一個(gè)正n邊形（n為整數(shù)，n≥4）的最短對(duì)角線與最長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)度的比值叫做這個(gè)正n邊形的“特征值”，記為λn，那么λ6=____．考點(diǎn)三：弧長(zhǎng)與扇形面積一、單選題1．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，點(diǎn)是重心，將繞著點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在BC延長(zhǎng)線上的處，此時(shí)點(diǎn)B落在點(diǎn)，點(diǎn)G落在點(diǎn).聯(lián)結(jié)CG、、、.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，下列說(shuō)法：①；②與相似；③；④點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)是.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題2．（2022秋·上海·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，扇形的弧與相切于點(diǎn)P，若，，，則圖中陰影面積是______．（結(jié)果保留）3．（2022·上海松江·?？既＃┤鐖D，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心作圓心角為的扇形，點(diǎn)恰在弧上，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)__________．4．（2022春·上海·九年級(jí)上外附中?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，將繞頂點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)方向至的位置，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)__________（結(jié)果保留）5．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）新定義：在中，點(diǎn)D、E分別是邊的中點(diǎn)，如果上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部或邊上，那么稱為的中內(nèi)弧．已知在中，，，點(diǎn)D、E分別是邊的中點(diǎn)，如果是的中內(nèi)弧，那么長(zhǎng)度的最大值等于_________．6．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在中，∠B＝70°，BC＝6，以AD為直徑的⊙O交CD于點(diǎn)E，則劣弧的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（結(jié)算結(jié)果保留）7．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┤羯刃蔚陌霃綖?cm，圓心角為120°，則這個(gè)扇形的面積為_(kāi)_________cm2．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2020·上?！ざ＃┤粢粋€(gè)正n邊形(n為大于2的整數(shù)）的半徑為r，則這個(gè)正n變形的邊心距為（）A． B． C． D．2．（2020·上海浦東新·二模）如果一個(gè)正多邊形的中心角等于，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為（）A． B． C． D．3．（2021·上海崇明·一模）如果某正多邊形的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．無(wú)法確定4．（2019·上海上?！ぞ拍昙?jí)期中）正六邊形的半徑與邊心距之比為（）A．1： B．：1 C．：2 D．2：5．（2020·上海楊浦·二模）如果正十邊形的邊長(zhǎng)為a，那么它的半徑是（）A． B． C． D．二、填空題6．（2020·上海嘉定·二模）半徑長(zhǎng)為2的半圓的弧長(zhǎng)為_(kāi)___(計(jì)算結(jié)果保留π)．7．（2020·上海大學(xué)附屬學(xué)校三模）正五邊形繞著它的中心至少旋轉(zhuǎn)_______度，能與它本身重合．8．（2021·上海閔行·一模）正六邊形的邊心距與半徑的比值為_(kāi)_________（結(jié)果保留根號(hào)）．9．（2020·上海奉賢·一模）公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，這個(gè)正多邊形面積可無(wú)限接近它的外接圓的面積，因此可以用正多邊形的面積來(lái)近似估計(jì)圓的面積，如圖，是正十二邊形的外接圓，設(shè)正十二邊形的半徑的長(zhǎng)為1，如果用它的面積來(lái)近似估計(jì)的面積，那么的面積約是___．10．（2021·上海·二模）如圖，⊙O的半徑為6，如果弦AB是⊙O內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是⊙O內(nèi)接正十二邊形的一邊，那么弦BC的長(zhǎng)為_(kāi)____．11．（2018·上?！ぞ拍昙?jí)期末）正八邊形的中心角為_(kāi)_____度．12．（2018·上海崇明·二模）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)B，C分別在正方形AMNP的邊AM，MN上．若AB＝4，則CN＝_____．13．（2020·上海長(zhǎng)寧·二模）已知正三角形的邊心距為，那么它的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．14．（2021·上海松江·二模）已知正三角形ABC外接圓的半徑為2，那么正三角形ABC的面積為_(kāi)_____________．15．（2021·上海金山·二模）已知在正六邊形ABCDEF中，AB＝6，那么正六邊形ABCDEF的面積等于_____．16．（上海金山·九年級(jí)期末）正六邊形的邊長(zhǎng)為，面積為，那么關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是____．17．（2019·上海·九年級(jí)期末）如果一個(gè)正六邊形的半徑為，那么這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____.18．（2021·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）如果一個(gè)四邊形有且只有三個(gè)頂點(diǎn)在圓上，那么稱這個(gè)四邊形是該圓的“聯(lián)絡(luò)四邊形”，已知圓的半徑長(zhǎng)為，這個(gè)圓的一個(gè)聯(lián)絡(luò)四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，那么這個(gè)菱形不在圓上的頂點(diǎn)與圓心的距離是________．19．（2020·上海嘉定·二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，如果向量，