數(shù)學(xué)（選修2-2）課件4.3.2函數(shù)的極大值和極小值

第四章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用4.3.2函數(shù)的極大值和極小值4.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1.結(jié)合圖象，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件．2.理解函數(shù)極值的概念．3.能結(jié)合圖象直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．4.會(huì)求函數(shù)的極值，并能確定是極大值還是極小值．5.學(xué)會(huì)使用列表的方法來(lái)研究函數(shù)的極值與單調(diào)情況.1.重點(diǎn)：理解函數(shù)的極值的概念，并會(huì)求函數(shù)的極值．2.難點(diǎn)：會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值.1．函數(shù)的極值的有關(guān)概念在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)在_________________都_______x0點(diǎn)的函數(shù)值，稱點(diǎn)____為函數(shù)y＝f(x)的___________，其____________為函數(shù)的________.在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)在________________都______x0點(diǎn)的函數(shù)值，稱點(diǎn)____為函數(shù)y＝f(x)的___________，其____________為函數(shù)的_________.極大值與極小值統(tǒng)稱為_______，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為_________.任何一點(diǎn)的函數(shù)值小于x0極大值點(diǎn)函數(shù)值f(x0)極大值任何一點(diǎn)的函數(shù)值大于x0極小值點(diǎn)函數(shù)值f(x0)極小值極值極值點(diǎn)溫馨提示：(1)極值是一個(gè)局部概念．由定義知，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值相比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大或最小．(2)函數(shù)的極值不是唯一的，即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)．(3)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)．而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能是區(qū)間的端點(diǎn)．2．求函數(shù)極值點(diǎn)的步驟(1)求出_____________.(2)解方程f′(x)＝0.(3)對(duì)于方程f′(x)＝0的每一個(gè)解x0，分析f′(x)在___________________[即f(x)的單調(diào)性]，確定極值點(diǎn)：①若f′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“____________”，則x0為極大值點(diǎn)；②若f′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“___________”，則x0為極小值點(diǎn)；③若f′(x)在x0兩側(cè)的_____________，則x0不是極值點(diǎn)．導(dǎo)數(shù)f′(x)x0左右兩側(cè)的符號(hào)左正右負(fù)左負(fù)右正符號(hào)相同一般地，求函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)的方法如下：解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)，(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么x＝x0是極大值點(diǎn)．(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么x＝x0是極小值點(diǎn)．求函數(shù)的極值點(diǎn)

求函數(shù)f(x)＝3x3－x＋1的極值點(diǎn)．[思路點(diǎn)撥]先求導(dǎo)，再令導(dǎo)函數(shù)為0.再對(duì)導(dǎo)函數(shù)為0的自變量的值進(jìn)行判斷是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)．

【點(diǎn)評(píng)】使f′(x)＝0的解不一定是極值點(diǎn)．f′(x)在x＝x0處左右兩側(cè)變號(hào)，從左向右，若由正變負(fù)則x＝x0是極大值點(diǎn)，若由負(fù)變正則x＝x0是極小值點(diǎn)．答案：(1)C

(2)A函數(shù)的極值研究是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，可加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，f′(x0)＝0是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處有極值的必要條件，只有再加上x0兩側(cè)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，才能斷定函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取得極值．求函數(shù)的極值

求下列各函數(shù)的極值：

[思路點(diǎn)撥]按照求極值的方法，首先從方程f′(x)＝0入手求方程的根，再研究各根左右的符號(hào)．【點(diǎn)評(píng)】求極值的步驟如下：(1)求導(dǎo)f′(x)；(2)令f′(x)＝0；(3)解方程；(4)列表；(5)判斷并求出極大(小)值．

已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1處有極值0，求常數(shù)a，b的值．由函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)值(范圍)【點(diǎn)評(píng)】

f′(x0)＝0是x＝x0為極值點(diǎn)的必要不充分條件．根據(jù)極值定義，函數(shù)先減后增為極小值，函數(shù)先增后減為極大值．若未驗(yàn)證x＝－1兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性，則會(huì)錯(cuò)．3．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________.解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，若函數(shù)f(x)有極大值和極小值，則f′(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．令f′(x)＝0，則Δ＝(2a)2－4×3(a＋6)>0.解得a<－3或a>6.答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)1．按定義，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)a，b.2．極值是一個(gè)局部性概念，只要在一個(gè)小鄰域內(nèi)成立即可．3．極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系，也不唯一．4．在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值．5．對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來(lái)說(shuō)，y＝f(x)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．例如，函數(shù)y＝x3在x＝0處，f′(0)＝0，但x＝0不是函數(shù)的極值點(diǎn)．6．可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0取得極值的充要條件是f