離散隨機(jī)變量及其分布律

第二節(jié)

離散隨機(jī)變量及其分布律1可編輯ppt一、離散型隨機(jī)變量的分布律定義2可編輯ppt離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為或3可編輯ppt離散型分布律的兩個(gè)基本性質(zhì)證明：因?yàn)閤1,x2,x3,….是X的所有可能取的值，且當(dāng)i≠j時(shí)，{X=xi}∩{X=xj}=Φ，故從而有4可編輯ppt分布函數(shù)分布律離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系5可編輯ppt=P(抽得的兩件全為次品)求分布律舉例

例

設(shè)有一批產(chǎn)品20件，其中有3件次品，從中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值為0，1，2=P(抽得的兩件全為正品)P{X=1}P{X=2}=P(只有一件為次品)P{X=0}6可編輯ppt故X的分布律為而“至少抽得一件次品”={X≥1}={X=1}

{X=2}P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}注意：{X=1}與{X=2}是互不相容的！

實(shí)際上，這仍是古典概型的計(jì)算題，只是表達(dá)事件的方式變了故7可編輯ppt

從一批次品率為p的產(chǎn)品中，有放回抽樣直到抽到次品為止。求抽到次品時(shí)，已抽取的次數(shù)X的分布律。解記Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…

則Ai,

i=1,2,3,…

是相互獨(dú)立的！且X的所有可能取值為1，2，3，…,k,…P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,…(X=k)對(duì)應(yīng)著事件

例8可編輯ppt設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為試確定常數(shù)b.解由分布律的性質(zhì),有例9可編輯ppt二、常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布1、兩點(diǎn)分布(0-1分布)1－ppP01X

則稱(chēng)X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布或(0-1)分布,△背景：樣本空間只有兩個(gè)樣本點(diǎn)的情況都可以用兩點(diǎn)分布來(lái)描述。如：上拋一枚硬幣?！鞫x：

若隨機(jī)變量X的分布律為:10可編輯ppt例設(shè)一個(gè)袋中裝有3個(gè)紅球和7個(gè)白球，現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取一球，如果每個(gè)球抽取的機(jī)會(huì)相等，并且用數(shù)“1”代表取得紅球，“0”代表取得白球，則隨機(jī)抽取一球所得的值是一個(gè)離散型隨機(jī)變量其概率分布為即X服從兩點(diǎn)分布。11可編輯ppt

其中0<p<1,則稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布(也稱(chēng)Bernoulli分布）,記為X～B(n,p)在n重伯努利試驗(yàn)中,若以X表示事件A發(fā)生的次數(shù),

則X可能的取值為0,1,2,3,…,n.隨機(jī)變量X的分布律2、二項(xiàng)分布（Binomialdistribution）12可編輯ppt二項(xiàng)分布的圖形13可編輯ppt

從一批由9件正品、3件次品組成的產(chǎn)品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到兩次次品的概率.

有放回地抽取5件,可視為5重Bernoulli實(shí)驗(yàn)記X為共抽到的次品數(shù)，則A=“一次實(shí)驗(yàn)中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5p=1/4例解14可編輯ppt例

一大批種子發(fā)芽率為90%，今從中任取10粒.求播種后,求（1）恰有8粒發(fā)芽的概率；（2）不小于8粒發(fā)芽的概率。解X～B（10,0.9）(1)P(X=8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)15可編輯ppt3.幾何分布若隨機(jī)變量X的分布律為則稱(chēng)X服從幾何分布.實(shí)例設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為p,對(duì)該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查,直到第一次抽到一只次品為止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的產(chǎn)品數(shù)目X

是一個(gè)隨機(jī)變量,求X的分布律.16可編輯ppt所以X服從幾何分布.說(shuō)明

幾何分布可作為描述某個(gè)試驗(yàn)“首次成功”的概率模型.解17可編輯ppt4.超幾何分布設(shè)X的分布律為

超幾何分布在關(guān)于廢品率的計(jì)件檢驗(yàn)中常用到.說(shuō)明18可編輯ppt5、泊松分布

Poissondistribution若隨機(jī)變量X的分布律為:

其中

>0,則稱(chēng)X服從參數(shù)為

的泊松分布X～P()定義19可編輯ppt泊松分布的圖形20可編輯ppt服務(wù)臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)X；交換臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)Y;礦井在某段時(shí)間發(fā)生事故的次數(shù);顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目

體積相對(duì)小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù)

可以由觀測(cè)值的平均值求出。

實(shí)際問(wèn)題中若干R.v.X是服從或近似服從

Poisson分布的21可編輯ppt

已知某電話交換臺(tái)每分鐘接到的呼喚次數(shù)X服從的泊松分布，分別求（1）每分鐘內(nèi)恰好接到3次呼喚的概率；（2）每分鐘不超過(guò)4次的概率例解22可編輯ppt泊松定理

實(shí)際應(yīng)用中：當(dāng)n較大,p較小，np適中時(shí)，即可用泊松公式近似替換二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)分布的泊松近似ThePoissonApproximationtotheBinomialDistribution23可編輯ppt二項(xiàng)分布

泊松分布n很大,p

很小上面我們提到24可編輯ppt例

為了保證設(shè)備正常工作,需配備適量的維修工人(工人配備多了就浪費(fèi),配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類(lèi)型設(shè)備300臺(tái),各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來(lái)處理(我們也只考慮這種情況),問(wèn)至少需配備多少工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01?解所需解決的問(wèn)題使得合理配備維修工人問(wèn)題25可編輯ppt由泊松定理得故有即個(gè)工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01.故至少需配備826可編輯ppt例:設(shè)一只昆蟲(chóng)所產(chǎn)蟲(chóng)卵個(gè)