【數(shù)學(xué)】超幾何分布與二項(xiàng)分布 課件-2023-2024學(xué)年高二下人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

超幾何分布與二項(xiàng)分布1.理解伯努利試驗(yàn),掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征,并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.理解超幾何分布及其均值,并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.1.n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)n重伯努利試驗(yàn)把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做

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將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).(2)二項(xiàng)分布一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=,k=0,1,2,…,n,如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作

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伯努利試驗(yàn)

X~B(n,p)(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么E(X)=

,D(X)=

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如果X~B(n,p),那么E(X)=

,D(X)=

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微點(diǎn)撥判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1)在一次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生與不發(fā)生,二者必居其一,且A發(fā)生的概率不變;(2)試驗(yàn)可以獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次.pp(1-p)

np

np(1-p)2.超幾何分布一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.【分析】需要認(rèn)真體會(huì)題目的情境，隨機(jī)變量究竟符合哪種分布．例1.袋中有3個(gè)白球、2個(gè)黑球,從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次,每次取1個(gè)球.求有放回抽樣時(shí),取到黑球的個(gè)數(shù)X的分布列.例2.袋中有3個(gè)白球、2個(gè)黑球,從中任意摸出3個(gè)球，記得到黑球的個(gè)數(shù)為Y,求隨機(jī)變量Y的分布列。先思后導(dǎo)，先練后講解：有放回抽樣時(shí),取到的黑球數(shù)X可能的取值為0,1,2,3.因此,X的分布列為:X0123P

每次發(fā)生的概率一樣例1.袋中有3個(gè)白球、2個(gè)黑球,從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次,每次取1個(gè)球.求有放回抽樣時(shí),取到黑球的個(gè)數(shù)X的分布列.思維升華二項(xiàng)分布描述的是有放回抽樣問(wèn)題，判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵點(diǎn)(1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.(3)在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.解：任意摸出3個(gè)球，取到的黑球數(shù)Y可能的取值為0,1,2,知因此,Y的分布列為:Y012P

例2.袋中有3個(gè)白球、2個(gè)黑球,從中任意摸出3個(gè)球，記得到黑球的個(gè)數(shù)為Y,求隨機(jī)變量Y的分布列。思維升華(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.超幾何分布二項(xiàng)分布

的抽樣

個(gè)

個(gè)利用

計(jì)算利用

計(jì)算實(shí)驗(yàn)總體個(gè)數(shù)隨機(jī)變量取值的概率不放回

的抽樣有放回排列組合相互獨(dú)立事件有限

無(wú)限某地工商局從某肉制品公司的一批數(shù)量較大的火腿腸產(chǎn)品中抽取10件產(chǎn)品，檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)其中有3件產(chǎn)品的大腸菌群超標(biāo)．(1)如果在上述抽取的10件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)隨機(jī)變量X為大腸菌群超標(biāo)的產(chǎn)品數(shù)量，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)如以該次檢查的結(jié)果作為該批次每件產(chǎn)品大腸菌群超標(biāo)的概率，如從該批次產(chǎn)品中任取2件，設(shè)隨機(jī)變量Y為大腸菌群超標(biāo)的產(chǎn)品數(shù)量，求P(Y＝1)的值及隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望．變式1

當(dāng)堂訓(xùn)練，當(dāng)堂點(diǎn)評(píng)【解析】(1)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，某地工商局從某肉制品公司的一批數(shù)量較大的火腿腸產(chǎn)品中抽取10件產(chǎn)品，檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)其中有3件產(chǎn)品的大腸菌群超標(biāo)．(1)如果在上述抽取的10件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)隨機(jī)變量X為大腸菌群超標(biāo)的產(chǎn)品數(shù)量，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；X012P

因此,X的分布列為:變式1當(dāng)堂訓(xùn)練，當(dāng)堂點(diǎn)評(píng)解：(2)依題意，得該批次每件產(chǎn)品大腸菌群超標(biāo)的概率為某地工商局從某肉制品公司的一批數(shù)量較大的火腿腸產(chǎn)品中抽取10件產(chǎn)品，檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)其中有3件產(chǎn)品的大腸菌群超標(biāo)．(2)如以該次檢查的結(jié)果作為該批次每件產(chǎn)品大腸菌群超標(biāo)的概率，如從該批次產(chǎn)品中任取2件，設(shè)隨機(jī)變量Y為大腸菌群超標(biāo)的產(chǎn)品數(shù)量，求P(Y＝1)的值及隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望．當(dāng)堂訓(xùn)練，當(dāng)堂點(diǎn)評(píng)變式1

超幾何分布二項(xiàng)分布

的抽樣

個(gè)

個(gè)（大批量、流水線）利用

計(jì)算利用

計(jì)算當(dāng)

時(shí)，超幾何分布二項(xiàng)分布實(shí)驗(yàn)總體個(gè)數(shù)隨機(jī)變量取值的概率轉(zhuǎn)化不放回

的抽樣有放回排列組合相互獨(dú)立事件有限

無(wú)限產(chǎn)品總數(shù)N很大當(dāng)堂訓(xùn)練，當(dāng)堂點(diǎn)評(píng)當(dāng)堂訓(xùn)練，當(dāng)堂點(diǎn)評(píng)當(dāng)堂訓(xùn)練，當(dāng)堂點(diǎn)評(píng)當(dāng)堂訓(xùn)練，當(dāng)堂點(diǎn)評(píng)X012P

因此,Y的分布列為:（2）Y可能的取值為0,1,2.當(dāng)堂訓(xùn)練，當(dāng)堂點(diǎn)評(píng)（3）該流水線上產(chǎn)品重量超過(guò)505克的概率為0.3，設(shè)任取的5件產(chǎn)品中重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量X，則X服從二項(xiàng)分布，故所求概率為P(X=2)=C52(0.3)2(0.7)3=0.3087.超幾何分布二項(xiàng)分布

的抽樣

個(gè)

個(gè)（大批量、流水線）利用

計(jì)算利用

計(jì)算當(dāng)

時(shí)，超幾何分布二項(xiàng)分布實(shí)驗(yàn)總體個(gè)數(shù)隨機(jī)變量取值的概率轉(zhuǎn)化不放回

的抽樣有放回排列組合相互獨(dú)立事件有限

無(wú)限產(chǎn)品總數(shù)N很大（21年高考）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明累計(jì)得分，求X的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.,（21年高考）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明累計(jì)得分，求X的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.【解析】（1）由題意X的取值依次為0,20,100,X020100P0.20.320.48,（24年九省聯(lián)考）盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球．（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；（2）記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．（24年九省聯(lián)考）盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球．（1