2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第1講兩個(gè)計(jì)數(shù)原理排列組合考點(diǎn)4排列組合的綜合應(yīng)用

排列、組合的綜合應(yīng)用角度1數(shù)字問題在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個(gè)數(shù)為(D)A．512 B．192C．240 D．108[解析]能被5整除的四位數(shù)末位是0或5的數(shù)，因此分兩類，第一類，末位為0時(shí)，其他三位從剩下的數(shù)中任意排3個(gè)即可，有Aeq\o\al(3,5)＝60個(gè)，第二類，末位為5時(shí)，首位不能排0，則首位只能從1,2,3,4選1個(gè)，第二位和第三位從剩下的4個(gè)數(shù)中任選2個(gè)即可，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝48個(gè)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得可以組成60＋48＝108個(gè)不同的能被5整除的四位數(shù)，故選D.[引申](1)若將本例中“沒有”改為“有”，則結(jié)果為252；(2)本例組成的四位數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為156個(gè)，其中比2310大的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為109個(gè)．(3)本例組成的四位數(shù)中1和3相鄰的個(gè)數(shù)為60.[解析](1)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,2)＝360,360－108＝252.(2)個(gè)位為0時(shí)有Aeq\o\al(3,5)＝60個(gè)；個(gè)位非0時(shí)有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)＝96個(gè)，故四位偶數(shù)有156個(gè)；其中比2310大的偶數(shù)中①前三位為231的有1個(gè)；②前兩位為23第三位為4或5的有3個(gè)；③前一位為2第二位為4或5的有9個(gè)；④前一位為4的有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＝24個(gè)；⑤前一位為3或5的各有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＝36個(gè)，故共有109個(gè)．(3)1、3分別在百位、千位的有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝24個(gè)；1、3分別在十位、百位的有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝18個(gè)；1、3分別在個(gè)位、十位的有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝18個(gè)．故1、3相鄰的四位數(shù)共有60個(gè)．角度2分組、分配問題如圖，“天宮空間站”是我國自主建設(shè)的大型空間站，其基本結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙三個(gè)部分．假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有(A)A．450種 B．360種C．90種 D．70種[解析]由題知，可分兩種情況考慮：第一種：分人數(shù)為1、2、3的三組，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360種；第二種：分人數(shù)為2、2、2的三組，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90種；所以不同的安排方法共有360＋90＝450種．故選A.名師點(diǎn)撥：1．?dāng)?shù)字問題注意“0”不能排在首位．2．分組、分配問題的解題策略是先分組后分配．(1)對于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．(2)對于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(2024·湖北荊州中學(xué)月考)由1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中奇數(shù)不相鄰，且2不在第二位，則這樣的六位數(shù)個(gè)數(shù)為(B)A．120種 B．108種C．96種 D．72種[解析]1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中奇數(shù)不相鄰，先排3個(gè)偶數(shù)，然后把3個(gè)奇數(shù)插入即可，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144個(gè)，若2在第二位，則第一位一定為奇數(shù)，則從3個(gè)奇數(shù)中選擇一個(gè)放在第一位上，此時(shí)還剩下2個(gè)偶數(shù)和2個(gè)奇數(shù)安排在后四位上，則先排2個(gè)偶數(shù)，然后把剩下2個(gè)奇數(shù)插空即可，此時(shí)共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝36個(gè)，因此符合條件的六位數(shù)有144－36＝108個(gè)，故選B.2．(角度2)(2024·重慶渝中區(qū)期中)為落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開設(shè)A，B，C三門勞動(dòng)教育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)報(bào)名參加該校勞動(dòng)教育校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報(bào)名方法有(B)A．60種 B．150種C．180種 D．300種[解析]根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)選A，B，C三門德育校本課程，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，需要分三組，有兩類情況，①三組人數(shù)為1、1、3，此時(shí)有eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝