二次函數(shù)知識點總結(jié)與典型例題

二次函數(shù)知識點總結(jié)與典型例題二次函數(shù)知識點總結(jié)及典型例題一、二次函數(shù)的概念和圖像1、二次函數(shù)的概念一般地，如果，那么y叫做x的二次函數(shù)。叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。3、二次函數(shù)圖像的畫法---五點法：二、二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：（2）頂點式：（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程有實根和存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。三、拋物線中，的作用（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸所在直線；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè).（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.當(dāng)時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：①，拋物線經(jīng)過原點;②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.四、二次函數(shù)的性質(zhì)1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0y0xy0x性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當(dāng)x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當(dāng)x=時，y有最大值，五、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標。因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點。當(dāng)>0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)=0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)<0時，圖像與x軸沒有交點。補充：函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減六、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時，，當(dāng)時，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時，，當(dāng)時，。典型例題1.已知函數(shù)，則使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（）A．0 B．1 C．2 D．32.如圖為拋物線的圖像，A、B、C為拋物線與坐標軸的交點，且OA=OC=1，則下列關(guān)系中正確的是（）A．a(chǎn)＋b=－1B．a(chǎn)－b=－1C．b<2a3.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標系中的大致圖象是（）.4.如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（－1，0），（1，－2），當(dāng)隨的增大而增大時，的取值范圍是．（（1,-2）-15.在平面直角坐標系中，將拋物線繞著它與y軸的交點旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（）．A．B．C．D．6.已知二次函數(shù)的圖像如圖，其對稱軸，給出下列結(jié)果①②③④⑤，則正確的結(jié)論是（）A①②③④B②④⑤C②③④D①④⑤7．拋物線上部分點的橫坐標，縱坐標的對應(yīng)值如下表：x…－2－1012…y…04664…從上表可知，下列說法中正確的是．（填寫序號）①拋物線與軸的一個交點為（3,0）；②函數(shù)的最大值為6；③拋物線的對稱軸是；④在對稱軸左側(cè)，隨增大而增大．8.如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標是（－2，4），過點A作AB⊥y軸，垂足為B，連結(jié)OA．(1)求△OAB的面積；(2)若拋物線經(jīng)過點A．①求c的值；②將拋物線向下平移m個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在△OAB的內(nèi)部（不包括△OAB的邊界），求m的取值范圍（直接寫出答案即可）．9．已知二次函數(shù)y=eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x的圖像如圖．（1）求它的對稱軸與x軸交點D的坐標；（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸、y軸的交點分別為A、B、C三點，若∠ACB=90°，求此時拋物線的解析式；（3）設(shè)（2）中平移后的拋物線的頂點為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關(guān)系，并說明理由．10.如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB在x軸上，AB＝10，以AB為直徑的⊙O′與y軸正半軸交于點C，連接BC，AC.CD是⊙O′的切線，AD⊥CD于點D，tan∠CAD＝，拋物線過A，B，C三點.（1）求證：∠CAD＝∠CAB；（2）①求拋物線的解析式；②判定拋物線的頂點E是否在直線CD上，并說明理由；（3）在拋物線上是否存在一點P，使四邊形PBCA是直角梯形.若存在，直接寫出點P的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由.11.如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點M，且M是BC的中點，A、B、13.在平面直角坐標系中，如圖1，將n個邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a<0)過矩形頂點B、C.（1）當(dāng)n＝1時，如果a=－1，試求b的值；（2）當(dāng)n＝2時，如圖2，在矩形OABC上方作一邊