2024年初三下冊數(shù)學專項探索三角形相似的條件-鞏固練習（提高）

2024年初三下冊數(shù)學專項探索三角形相似的條件--鞏固練習（提高）【鞏固練習】一、選擇題1.如圖，P是RtΔABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點P做直線截ΔABC，使截得的三角形與ΔABC相似，滿足這樣條件的直線共有（）.A．1條

B．2條

C．3條

D．4條2．在△ABC中，點D在AB上，點E在AC上，且DE∥BC，，則等于()．

A．

B．

C．D．3.如圖，在△ABC中，M是AC邊中點，E是AB上一點，且AE=AB，連結EM并延長，交BC的延長線于D，此時BC：CD為().A.2：1B.3：2C.3：1D.5：24.（2015?哈爾濱）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在BA的延長線上，點F在BC的延長線上，連接EF，分別交AD，CD于點G，H，則下列結論錯誤的是（） A．= B． = C． = D． =5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足為D，則圖中相似三角形有（）．

A．4對B．3對C．2對D．1對6.如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點，P是BC邊上的一點，下列條件中，不能推出△ABP與△ECP相似的是().A.∠APB=∠EPCB.∠APE=90°C.P是BC的中點D.BP：BC=2：3

二、填空題

7.如圖,∠1=∠2=∠3,則圖中與△CDE相似三角形是________和________.

8.（2015?六合區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直線l經過C，且l∥AB，P為l上一個動點，若△ABC與△PAC相似，則PC=．9.如圖，是正方形ABCD的外接圓，點F是AB的中點，CF的延長線交于點E,則CF:EF的值是________________.10.如圖，點M在BC上，點N在AM上，CM=CN,,則①△ABM∽△ACB,②△ANC∽△AMB,③△ANC∽△ACM,④△CMN∽△BCA中正確的有___________.11.如圖，在平行四邊形ABCD中，M,N為AB的三等分點，DM,DN分別交AC于P,Q兩點，則AP：PQ:QC=____________.12.如圖，正方形ABCD的邊長為2，AE=EB,MN=1.線段MN的兩端在CB,CD邊上滑動，當CM=______時，△AED與以M、N、C為頂點的三角形相似.三、解答題13.（2015?婁底）一塊直角三角板ABC按如圖放置，頂點A的坐標為（0，1），直角頂點C的坐標為（﹣3，0），∠B=30°，求點B的坐標？14.（2015?大慶模擬）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC交AC與E，已知AD=AB，連接BE交AD于F，下列結論：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③AF=DF；④S△ABF=3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正確的有幾個？15.已知點P在線段AB上，點O在線段AB的延長線上.以點O為圓心，OP為半徑作圓，點C是圓O上的一點.

(1)如圖，如果AP=2PB，PB=BO.求證：△CAO∽△BCO；

(2)如果AP=m(m是常數(shù)，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中項.當點C在圓O上運動時，求的值(結果用含m的式子表示)；

(3)在(2)的條件下，討論以BC為半徑的圓B和以CA為半徑的圓C的位置關系，并寫出相應m的取值范圍.

【答案與解析】一．選擇題1.【答案】C.【解析】分別是過點P做AB,AC,BC的垂線.2．【答案】C.【解析】∵DE∥BC，∴,又∵，∴,即=.3.【答案】A.【解析】如圖，做CN∥AB,交ED于點N,∵M是AC邊中點,△AEM≌△CNM,即CN=AE,∵AE=AB，∴AE:BE=1:3，即CN:BE=1:3.∵CN∥AB，∴△DCN∽△DBE,即CD:BD=CN:BE=1:3,∴CD:BC=1:2.4.【答案】C.【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，∴，，，故選C．5.【答案】B.【解析】△ABC∽△ACD;△ABC∽△CBD;△CBD∽△ACD.6.【答案】C.【解析】當P是BC的中點時，△EPC為等腰直角三角形.二.填空題7.【答案】△CEA、△CAB.

8.【答案】4.8或.

【解析】∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB==10，當△ABC∽△PCA時，則AB：PC=BC：AC，即10：PC=6：8，解得：PC=，當△ABC∽△ACP時，則AB：AC=BC：PC，即10：8=6：PC，解得：PC=4.8．綜上可知若△ABC與△PAC相似，則PC=4.8或．9．【答案】5：1.【解析】如圖，連接AE,則△AEF∽△CBF,∵點F是AB的中點,正方形ABCD,∴EF:AE=BF:BC=1:2.設EF=K,則AE=2K,AF=K,即BF=K,BC=2K，CF=5K.∴CF:EF=5:1.10.【答案】②.11.【答案】5:3:12.【解析】∵平行四邊形ABCD,M,N為AB的三等分點∴AM:CD=AP:PC=1:3，AN:CD=AQ:QC=2:3，即AP=AC,AQ=AC,∴QP=AC,QC=AC,∴AP：PQ:QC=AC:AC:AC=5:3:12.12.【答案】.三綜合題13.【解析】解：過點B作BD⊥OD于點D，∵△ABC為直角三角形，∴∠BCD+∠CAO=90°，∴△BCD∽△COA，∴=，設點B坐標為（x，y），則=，y=﹣3x﹣9，∴BC==，AC==，∵∠B=30°，∴==，解得：x=﹣3﹣，則y=3．即點B的坐標為（﹣3﹣，3）．故答案為：（﹣3﹣，3）．14.【解析】

解：∵D是BC的中點，且DE⊥BC，∴DE是BC的垂直平分線，CD=BD，∴CE=BE，故①本答案正確；∴∠C=∠7，∵AD=AB，∴∠8=∠ABC=∠6+∠7，∵∠8=∠C+∠4，∴∠C+∠4=∠6+∠7，∴∠4=∠6，即∠CAD=∠ABE，故②本答案正確；作AG⊥BD于點G，交BE于點H，∵AD=AB，DE⊥BC，∴∠2=∠3，DG=BG=BD，DE∥AG，∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，EH=BH，∠EDA=∠3，∠5=∠1，∴CD：CG=DE：AG，HG=DE，設DG=x，DE=2y，則GB=x，CD=2x，CG=3x，∴2x：3x=2y：AG，解得：AG=3y，HG=y，∴AH=2y，∴DE=AH，且∠EDA=∠3，∠5=∠1∴△DEF≌△AHF∴AF=DF，故③本答案正確；EF=HF=EH，且EH=BH，∴EF：BF=1：3，∴S△ABF=3S△AEF，∵S△DEF=S△AEF，∴S△ABF=3S△DEF，故④本答案正確；∵∠1=∠2+∠6，且∠4=∠6，∠2=∠3，∴∠5=∠3+∠4，∴∠5≠∠4，∴△DEF∽△DAE，不成立，故⑤本答案錯誤．綜上所述：正確的答案有4個．15.【解析】（1）利用兩邊的比相等，夾角相等證相似.

由已知AP=2PB，PB=BO,可推出，,∴△CAO∽△BCO.（2）設,

∵是的比例中項，

∴是的比例中項.

即,

∴,

解得.

又∵

△COB∽△AOC,

.

（3）∵，，即,

當時，兩圓內切；當時，兩圓內含；當時，兩圓相交.

探索三角形相似的條件（提高）知識講解責編【學習目標】1.掌握平行線分線段成比例定理以及和三角形一邊平行的判定定理，并會靈活應用；2.探索三角形相似的條件，掌握三角形相似的判定方法；3.了解三角形的重心，并能從相似的角度去進行相關的證明.【要點梳理】要點一、平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.如圖：l1∥l2∥l3，直線a、b分別與l1、l2、l3交于點A、B、C和點D、E、F、，則有（1）（2）（3）成立.要點詮釋：當兩線段的比是1時，即為平行線等分線段定理，可見平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理特殊情況，平行線分線段成比例定理是平行線等分線段定理的推廣.2.平行于三角形一邊的直線的性質平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似.要點詮釋：

這條定理也可以作為判定兩個三角形相似的判定定理，有時也把他叫做判定兩個三角形相似的預備定理.要點二、相似三角形的判定定理【高清課程名稱：相似三角形的判定（1）高清ID號：394497關聯(lián)的位置名稱：相似三角形的判定】1．判定方法（一）：兩角分別相等的兩個三角形相似.要點詮釋：

要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.2．判定方法（二）：兩邊成比例夾角相等的兩個三角形相似.要點詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.3．判定方法（三）：三邊成比例的兩個三角形相似.

要點三、相似三角形的常見圖形及其變換：要點四、三角形的重心三角形的三條中線相交于一點，這點叫做三角形的重心.【典型例題】類型一、平行線分線段成比例定理1.如圖,在⊿ABC,DG∥EC,EG∥BC,求證:【答案與解析】證明：∵DG∥EC,∴,∵EG∥BC,∴,∴,即.【總結升華】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，掌握平行線分線段中的線段對應成比例是解題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖，直線l1∥l2∥l3，若AB=2，BC=3，DE=1，則EF的值為（）A.B.C.6D.【答案】B.【解析】∵直線l1∥l2∥l3，

∴，

∵AB=2，BC=3，DE=1，

∴，

∴EF=，

故選B．2.如圖，AD是△ABC的中線，P是AD上任意一點，CP、BP的延長線分別交AB、AC于E、D兩點,連接EF.求證：EF∥BC.【思路點撥】構造平行線，利用平行線所截得的對應線段成比例來證明.【答案與解析】延長PD到M，使DM=PD，連接BM、CM,

∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD,∵DM=PD

∴四邊形BPCM是平行四邊形.

∴BP∥CM，即PF∥MC，∴,同理,

∴∴DE∥BC.【總結升華】平行線所截得的對應線段成比例，反過來如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.類型二、相似三角形的判定【高清課程名稱：相似三角形的判定（1）高清ID號：394497關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：練習4】3.（2015?柳州）如圖，矩形EFGH內接于△ABC，且邊FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的長為多少？【思路點撥】設EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的邊EH上的高，根據(jù)三角形AEH與三角形ABC相似，利用相似三角形對應邊上的高之比等于相似比求出x的值，即為EH的長．【答案與解析】解：∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴=，設EH=3x，則有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴=，解得：x=，則EH=．故答案為：．4.（2015春?成武縣期末）如圖，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，點M為AB的中點，在線段AC上取點N，使△AMN與△ABC相似，求MN的長．【思路點撥】作MN∥BC交AC于點N，利用三角形的中位線定理可得MN的長；作∠ANM=∠B，利用相似可得MN的長．【答案與解析】解：①圖1，作MN∥BC交AC于點N，則△AMN∽△ABC，有，∵M為AB中點，AB=，∴AM=，∵BC=6，∴MN=3；②圖2，作∠ANM=∠B，則△ANM∽△ABC，有，∵M為AB中點，AB=，∴AM=，∵BC=6，AC=，∴MN=，∴MN的長為3或．

【總結升華】本題主要考查相似三角形的作圖和相似三角形的判定以及存在性，解題的關鍵是注意相似作圖及解答有多種情況．舉一反三：

【變式】（2015?大慶模擬）如圖，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D為AB的中點，過點D的直線與BC交于點E，若直線DE截△ABC所得的三角形與△ABC相似，則DE=．【答案】解：∵D為AB的中點，∴BD=AB=，∵∠DBE=∠ABC，∴當∠DBE=∠ACB時，△BDE∽△BAC時，如圖1，則=，即=，解得DE=2；當∠BDE=∠ACB時，如圖2，DE交AC于F，∵∠DAF=∠CAB，∴△ADF∽△ACB，∴△BDE∽△BCA，∴=，即=，解得DE=，綜上所述，若直線DE截△ABC所得的三角形與△ABC相似，則DE=2或．相似三角形的性質--鞏固練習（基礎）【鞏固練習】一、選擇題1．（2015?酒泉）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，則S△DOE：S△AOC的值為（） A． B． C． D．2.如圖2,在△ABC中,D、E兩點分別在AB、AC邊上,DE∥BC.若AD:DB=2:1,則S△ADE

:S△ABC為()A.9:4B.4:9C.1:4D.3:2

3．某校有兩塊相似的多邊形草坪，其面積比為9∶4，其中一塊草坪的周長是36米，則另一塊草坪的周長是（）．A．24米B．54米C．24米或54米D．36米或54米4.圖為△ABC與△DEC重疊的情形，其中E在BC上，AC交DE于F點，且AB//DE.若△ABC與△DEC的面積相等，且EF=9，AB=12，則DF=()

A．3B．7C．12D．15

5．如圖，△ABC∽△A′B′C′，AD、BE分別是△ABC的高和中線，A′D′、B′E′分別是△A′B′C′的高和中線，且AD=4，A′D′=3，BE=6，則B′E′的長為（）A.B.C.D.6.要把一個三角形的面積擴大到原來面積的8倍，而它的形狀不變，那么它的邊長要增大到原來的（）倍.A.2B.4C.2D.64二、填空題7.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，E為AD的中點，在AB上取一點F，使△CBF∽△CDE，則AF=cm．8.已知兩個相似三角形的相似比為，面積之差為25，則較大三角形的面積為______.

9．已知△ABC∽△A′B′C′，且對應高的比為3：2，△ABC的周長為24，那么△A′B′C′的周長為．10.（2015?重慶）已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為2：3，則△ABC與△DEF對應邊上中線的比為．11.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為CD上一點，DE:CE=2:3，連接AE,BE,BD,且AE,BD交于點F，則________________.12.把一個三角形改做成和它相似的三角形，如果面積縮小到原來的倍，那么邊長應縮小到原來的________倍.三、解答題13.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC上的一點，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE=AB，AB=9，AO=6，求DE和AE的長．14.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，點G在AD上，過G作BC的平行線分別與AB、AC交于P、Q兩點，過點P作PE⊥BC于點E，過點Q作QF⊥BC于點F．設AD=80，BC=120，當四邊形PEFQ為正方形時，試求此正方形的邊長．15.（2014秋?射陽縣校級月考）如圖，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一點，AF⊥CE于F，AD交CE于G點，（1）求證：AC2=CE?CF；（2）若∠B=38°，求∠CFD的度數(shù)．【答案與解析】一．選擇題1．【答案】D．【解析】∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴=，∴S△DOE：S△AOC==，故選D．2．【答案】B．【解析】提示：面積比等于相似比的平方．3．【答案】C.4．【答案】B.5．【答案】D.【解析】提示：對應高的比和對應中線的比都等于相似比．6．【答案】C．【解析】提示：面積比等于相似比的平方．二．填空題7．【答案】7.8．【答案】45cm2.9．【答案】16．10．【答案】2：3.【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為2：3，∴△ABC與△DEF對應邊上中線的比是2：3，故答案為：2：3．11.【答案】4:10:25【解析】∵平行四邊形ABCD，∴△DEF∽△BAF,∴∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴∵△DEF與△BEF是同高的三角形，∴12．【答案】.三.綜合題13．【解析】解：∵△AOB∽△EOD，∴DE:AB=OA:OE∵DE=AB,AB=9，AO=6∴DE=×9=6，OE=×6=4∴AE=OA+OE=6+4=1014．【解析】解：∵四邊形PEFQ為正方形，且AD⊥BC，∴GD=PE=PQ=x，∴AG=80﹣x；∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，即，解得：x=48，即此時正方形的邊長為48．15．【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠CFA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CFA=∠BAC，∵∠ACF=∠FCA，∴△CAF∽△CEA，∴=，∴CA2=CE?CF；（2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴CA2=CB×CD，同理可得：CA2=CF×CE，∴CD?BC=CF?CE，∴=，∵∠DCF=∠ECB，∴△CDF∽△CEB，∴∠CFD=∠B，∵∠B=38°，∴∠CFD=38°．相似三角形的性質--知識講解（基礎）【學習目標】探索相似三角形的性質，能運用性質解決有關的計算或證明問題.【要點梳理】要點一、相似三角形的性質1.相似三角形周長的比等于相似比∽，則由比例性質可得：類似地，我們還可以得到：相似多邊形周長的比等于相似比.2.相似三角形面積的比等于相似比的平方∽，則分別作出與的高和，則要點詮釋：相似三角形的性質是通過比例線段的性質推證出來的.如果把兩個相似多邊形分成若干個相似的三角形，我們還可以得到：相似多邊形面積的比等于相似比的平方.要點二、相似三角形中對應線段的比【高清課程名稱：相似三角形的性質及應用高清ID號：394500關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：相似形的性質】1．相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.2.相似三角形中的對應線段的比等于相似比.相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.【典型例題】類型一、相似三角形的性質1.△ABC∽△DEF，若△ABC的邊長分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一邊的長度，你能求出△DEF的另外兩邊的長度嗎？試說明理由.

【答案與解析】解：設另兩邊長是xcm，ycm，且x＜y.

(1)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長5cm線段是對應邊時，有，

從而x=cm，y=cm.

(2)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長6cm線段是對應邊時，有，

從而x=cm，y=cm.

(3)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長7cm線段是對應邊時，有，

從而x=cm，y=cm.綜上所述，△DEF的另外兩邊的長度應是cm,cm或cm，cm或cm，cm三種可能.

【總結升華】一定要深刻理解“對應”，若題中沒有給出圖形，要特別注意是否有圖形的分類.2.（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE．（1）求證：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．【答案與解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠C