高等數(shù)學(xué)課件：D5-5定積分在幾何中的應(yīng)用

一、面積問(wèn)題二、體積問(wèn)題三、曲線的弧長(zhǎng)第五節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用第六章《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期定積分概念的出現(xiàn)和發(fā)展都是由實(shí)際問(wèn)題引起和推動(dòng)的。因此定積分的應(yīng)用也非常廣泛。本章主要介紹幾何上，物理上實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用，例如：計(jì)算平面圖形面積，曲線弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)體體積引力，做功等?；舅枷耄簩?shí)際問(wèn)題所求量U轉(zhuǎn)化為求U=(積分模型)轉(zhuǎn)化方法：元素法（或微元法），即從局部到整體《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期一、元素法回顧

曲邊梯形求面積的問(wèn)題曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期其面積關(guān)鍵是部分量的近似《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期則積分上限函數(shù)以[a,x]為底的曲邊梯形的面積微分dA(x)=f(x)dx面積A的面積元素點(diǎn)x處以dx為寬的小曲邊梯形的面積A的近似值A(chǔ)(x)《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期定積分的微元法從面積表示為定積分的步驟,可抽象出在應(yīng)用學(xué)科中表示為定積分的方法廣泛采用的將所求量U(總量)—微元法(也稱為元素法).(1)由分割寫出微元根據(jù)具體問(wèn)題,選取一個(gè)積分變量,并確定它的變化區(qū)間[a,b],任取[a,b]的一個(gè)區(qū)間微元

[x,x+dx],求出相應(yīng)于這個(gè)區(qū)間微元上部分量的近似值,即求出所求總量U的微元《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期定積分的微元法從面積表示為定積分的步驟,可抽象出在應(yīng)用學(xué)科中表示為定積分的方法廣泛采用的將所求量U(總量)—微元法(也稱為元素法).(1)由分割寫出微元(2)由微元寫出積分根據(jù)寫出表示總量的定積分《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期二、平面圖形的面積Oyab

xy=f

上(x)y=f

下(x)x

x+dxx

=b所圍成的圖形的面積．面積元素為：[f

上(x)-f

下(x)]dx．所求圖形的面積為：A=[f

上(x)-f

下(x)]dx．1.直角坐標(biāo)的情形求由曲線y

=f

上(x)、y

=f

下(x)及直線x

=a、《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期面積微元aby=f

上(x)O討論：如果下圖形的面積元素是什么？面積公式是什么？yxA1y=f

下(x)Oyxaby=f

上(x)A2y=f

下(x)A1=A2=

[f

上(x)-f

下(x)]dx．《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期右下圖所示圖形面積為《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期例1.計(jì)算兩條拋物線解:由得交點(diǎn)1x在第一象限所圍圖形的面積.yy2xyx

20

x

x+dx

1《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期討論：如果下圖形的面積元素是什么？面積公式是什么？xcOydx=f

左(y)x=f

右(y)A33右左A

=

[f

(y)-f

(y)]dy．yy+dy《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期例2.計(jì)算拋物線與直線解:由得交點(diǎn)所圍圖形的面積.選取y

作積分變量,則有y

2=2xy=x-4(8,

4(2,

-2)《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期例3.求橢圓所圍圖形的面積.解:利用對(duì)稱性,有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a

=b

時(shí)得圓面積公式《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期求由曲線圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間 上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為2.極坐標(biāo)情形設(shè)及射線《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期例4.計(jì)算阿基米德螺線Ox對(duì)應(yīng) 從

0

變到

2 所圍圖形面積.解:2paρ

ad《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期例5.計(jì)算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對(duì)稱性)Ox2a《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期練習(xí)1解《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期練習(xí)2解《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期三、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積用切線MT繞x軸旋轉(zhuǎn)所得圓臺(tái)的側(cè)面積近似《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)平面光滑曲線求積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.取側(cè)面積元素:位于[x,x+dx]上的圓臺(tái)的側(cè)面積《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期例6.計(jì)算圓繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積S

.解:對(duì)曲線弧應(yīng)用公式得當(dāng)球臺(tái)高h(yuǎn)＝2R

時(shí),得球的表面積公式《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期圓柱圓錐圓臺(tái)1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期三、體積xyo《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期y《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期y《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期y+dyy即,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期例5.計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:利用直角坐標(biāo)方程則(利用對(duì)稱性)《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期、求由曲線 所圍成的圖形分例6別繞 軸和軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解作草圖,并求得曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為及及《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期設(shè)所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),A(x)在[a,b]上連續(xù)則,對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期2.已知平行截面面積函數(shù)的立體體積例8.

一平面經(jīng)過(guò)半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成 角,計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.解:如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為yxO)aR-Rx

2

y

2

R

2《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期例8.一平面經(jīng)過(guò)半徑為的圓柱體的底圓角,計(jì)算該平面截圓中心,并與底面交成

柱體所得立體的體積.解:利用對(duì)稱性yxO)aR-Rx

2

y

2

R

2《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期解

取坐標(biāo)系如圖底圓方程為垂直于軸的截面為等腰三角形截面面積立體體積《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積直角坐標(biāo)方程邊界方程

參數(shù)方程極坐標(biāo)方程《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期2.已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞x

軸:繞y

軸:《高等數(shù)學(xué)》化學(xué)131、1322013－2014學(xué)年第一學(xué)期與直線所圍成練習(xí)1

求由拋物線的面積.解由方程組解得它們的交點(diǎn)為選為積分變量,則的變化范圍是 任取其則可得到相應(yīng)面積上的一個(gè)區(qū)間微元微元從而所求面積《