2021高考數(shù)學(xué)（理）真題名師評析（全國乙卷帶解析）

2021高考數(shù)學(xué)真題名師評析全國乙卷理帶解析）本資料分試卷使用地區(qū)、試卷總評、考點分布細(xì)目表、試題深度解讀四個模塊,其中試題深度解讀模塊又分為【命題意圖】【答案】【解析】【點評】【知識鏈接】等欄目,其中【解析】中盡可能提供多種解法供參考.本資料部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡(luò)試卷使用地區(qū)2021年全國乙卷由原來的全國=1\*ROMANI卷及=2\*ROMANII卷合并而成,使用地區(qū)為安徽、河南、陜西、山西、江西、甘肅、黑龍江、吉林、寧夏、青海、新疆、內(nèi)蒙古二、試卷總評2021年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科命題,堅持思想性與科學(xué)性的高度統(tǒng)一,發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛、聯(lián)系實際的學(xué)科特點,命制具有教育意義的試題,以增強考生社會責(zé)任感,引導(dǎo)考生形成正確的人生觀、價值觀、世界觀.試題運用我國社會主義建設(shè)和科技發(fā)展的重大成就作為情境,深入挖掘我國社會經(jīng)濟(jì)建設(shè)和科技發(fā)展等方面的學(xué)科素材,引導(dǎo)考生關(guān)注我國社會現(xiàn)實與經(jīng)濟(jì)、科技進(jìn)步與發(fā)展,增強民族自豪感與自信心,增強國家認(rèn)同,增強理想信念與愛國情懷.如第6題以北京冬奧會志愿者的培訓(xùn)為試題背景,考查邏輯推理能力和運算求解能力；第9題以魏晉時期我國數(shù)學(xué)家劉徽的著作《海島算經(jīng)》中的測量方法為背景,考查考生綜合運用知識解決問題的能力,讓考生充分感悟到我國古代數(shù)學(xué)家的聰明才智.《深化新時代教育評價改革總體方案》提出,構(gòu)建引導(dǎo)考生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系,改變相對固化的試題形式,增強試題開放性,減少死記硬背和“機械刷題”現(xiàn)象.2021年高考數(shù)學(xué)全國卷命題積極貫徹《總體方案》要求,加大開放題的創(chuàng)新力度,利用開放題考查考生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力,發(fā)揮數(shù)學(xué)科的選拔功能.第16題考查考生的空間想象能力,有多組正確答案,有多種解題方案可供選擇.全國乙卷理科命題注重理論聯(lián)系實際,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,并讓考生感悟到數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美.理論聯(lián)系實際的試題,體現(xiàn)現(xiàn)代科技發(fā)展和現(xiàn)代社會生產(chǎn)等方面的特點,有機滲透數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,對選拔與育人具有積極的意義.如第17題,以芯片生產(chǎn)中的刻蝕速率為原型,設(shè)計了概率統(tǒng)計的應(yīng)用問題,考查考生對平均數(shù)、方差等知識的理解和應(yīng)用,引導(dǎo)考生樹立正確的人生觀、價值觀.總之,2021年高考數(shù)學(xué)全國全國乙卷理科很好地落實了立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的高考核心功能,同時突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色,發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)科的選拔功能,對深化中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用.三、考點分布細(xì)目表題號命題點模塊（題目數(shù)）1復(fù)數(shù)的概念與運算復(fù)數(shù)（共1題）2集合的交集運算集合（共1題）3復(fù)合命題真假的判斷邏輯用語（共1題）4函數(shù)的奇偶性函數(shù)（共3題）5異面直線所成的角立體幾何（共3題）6排列組合概率與統(tǒng)計（共3題）7三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)與解三角形（共3題）8幾何概型概率與統(tǒng)計（共3題）9三角函數(shù)的應(yīng)用三角函數(shù)與解三角形（共3題）10函數(shù)的極值導(dǎo)數(shù)（共2題）11橢圓解析幾何（共3題）12比較函數(shù)值的大小函數(shù)（共3題）13雙曲線的幾何性質(zhì)解析幾何（共3題）14平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運算平面向量（共1題）15解三角形三角函數(shù)與解三角形（共3題）16三視圖立體幾何（共3題）17樣本的數(shù)字特征概率與統(tǒng)計（共3題）18幾何體棱長的計算與線面角立體幾何（共3題）19等差數(shù)列的證明與求通項數(shù)列（共1題）20導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.函數(shù)（共3題）2.導(dǎo)數(shù)（共2題）3.不等式（共1題）21拋物線與面積最值解析幾何（共3題）22極坐標(biāo)與參數(shù)方程選修4-423絕對值函數(shù)的圖象及恒成立問題選項4-5四、試題深度解讀1.設(shè),則（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的概率與運算,考查數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：容易.【答案】C【解析】解法一：設(shè),則,則,所以,,解得,因此,.故選C.解法二：因為,所以,所以,由,得,故選C.【點評】復(fù)數(shù)是高考每年必考知識點,一般以容易題面目呈現(xiàn),位于選擇題的前3題的位置上,考查熱點一是復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義,如復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義等,二是復(fù)數(shù)的加減乘除運算.今年復(fù)數(shù)的考查回避了往年考查的熱點：復(fù)數(shù)的除法運算,重點考查復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)及方程思想在求值中的應(yīng)用.【知識鏈接】解復(fù)數(shù)運算問題的常見類型及解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法．復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可．(2)復(fù)數(shù)的除法．除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.(3)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合題．先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡,一般化為a＋bi(a,b∈R)的形式,再結(jié)合相關(guān)定義解答．(4)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題．先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡,一般化為a＋bi(a,b∈R)的形式,再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答．2.已知集合,,則（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查集合的交集運算,考查數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：容易.【答案】C【解析】解法一：集合S是奇數(shù)集,集合T是由部分奇數(shù)構(gòu)成的集合,TS,所以,故選C.解法二：由,可得,排除A,由由,可得,可排除B,由,可排除D,故故選C.【點評】集合是高考每年必考知識點,一般以容易題面目呈現(xiàn),位于選擇題的前3題的位置上,考查熱點一是集合的并集、交集、補集運算,二是集合之間的關(guān)系,這種考查方式多年來保持穩(wěn)定.【知識鏈接】1.求解集合的運算問題的三個步驟：(1)看元素構(gòu)成,集合是由元素組成的,從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的關(guān)鍵,即辨清是數(shù)集、點集還是圖形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的．；(2)對集合化簡,有些集合是可以化簡的,先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運算,可使問題簡單明了、易于解決；(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行交、并、補等運算,常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和韋恩圖(Venn).2.；3..3.已知命題﹔命題﹐,則下列命題中為真命題的是（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查全稱命題、特稱命題及復(fù)合命題真假的判斷,考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：容易【答案】A【解析】由于,所以命題為真命題；由于在上為增函數(shù),,所以,所以命題為真命題；所以為真命題,故選A．【點評】老教材中有些知識點在新教材中被刪除,有些原來是高考每年必考題,如程序框圖及線性規(guī)劃,受新教材的影響,這些內(nèi)容的考查熱點有所降低,如程序框圖及線性規(guī)劃在本套試卷都沒有涉及,但不要認(rèn)為新教材刪除的內(nèi)容都不考,如本題的復(fù)合命題真假的判斷及16題中的三視圖都是新教材刪除的內(nèi)容.【知識鏈接】1.“p∨q”“p∧q”“p”等形式命題真假的判斷步驟(1)確定命題的構(gòu)成形式；(2)判斷其中命題p、q的真假；(3)確定“p∧q”“p∨q”“p”等形式命題的真假．2.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷規(guī)律(1)p∨q：p、q中有一個為真,則p∨q為真,即有真為真；(2)p∧q：p、q中有一個為假,則p∧q為假,即有假即假；(3)p：與p的真假相反,即一真一假,真假相反．4.設(shè)函數(shù),則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A B. C. D.【命題意圖】本題考查函數(shù)圖象的平移及函數(shù)圖象的對稱性.難度：容易【答案】B【解析】由題意可得,對于A,不是奇函數(shù)；對于B,是奇函數(shù)；對于C,,定義域不關(guān)于原點對稱,不是奇函數(shù)；對于D,,定義域不關(guān)于原點對稱,不是奇函數(shù).故選B【點評】函數(shù)的奇偶性如單獨命題一般為容易題,此類問題考查熱點是判斷函數(shù)的奇偶性；給出奇函數(shù)在一個區(qū)間上的解析式,求函數(shù)值或函數(shù)在另一個區(qū)間上的解析式；根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)取值等,如與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合在一起考查,一般為中等題.【知識鏈接】1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇,偶±偶＝偶,奇×奇＝偶,偶×偶＝偶,奇×偶＝奇．(4)f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(|x|)．(5)若奇函數(shù)在x＝0處有意義,則f(0)＝0.2.常見的奇函數(shù)與偶函數(shù),,是奇函數(shù),是偶函數(shù)5.在正方體中,P為的中點,則直線與所成的角為（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查異面直線所成的角,考查邏輯推理及直觀想象的核心素養(yǎng).難度：中等偏易【答案】D【解析】解法一：如圖所示,連接,則就是直線所成的角,易得,且,所以,故選D.解法二：以點D為坐標(biāo)原點,直線DA,DC,分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=1,則,,所以,,設(shè)直線與所成的角為,則,所以,故選D.【點評】客觀題中求異面直線所成的角,一般用幾何方法,有時也可以用空間向量.【知識鏈接】1.用幾何法求兩異面直線所成角的方法可概括為：平移定角,連線成形,解形求角,得鈍求補.2.用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個點的坐標(biāo),從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值．6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進(jìn)行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種【命題意圖】本題考查排列組合,考查數(shù)學(xué)應(yīng)用及邏輯推理素養(yǎng),難度：中等偏易【答案】C【解析】先把5名志愿者分為4組,再把4組志愿者分配到4個項目,不同的分配方案種數(shù)為共有,故選C.【點評】本題是一道排列組合基礎(chǔ)題,但也是一道易錯題,常見的錯誤解法是：如先選4名志愿者各分配1個項目,再把最后1人任意分配,得到錯誤種數(shù)為.【知識鏈接】1.對于有限制條件的排列問題,分析問題時有位置分析法、元素分析法,在實際進(jìn)行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則,即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置,對于分類過多的問題可以采用間接法．“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足；“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選?。爸辽佟被颉爸炼唷焙袔讉€元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解,通常用直接法分類復(fù)雜時,考慮逆向思維,用間接法處理．2.分組、分配問題的求解策略（1）對不同元素的分配問題=1\*GB3①對于整體均分,解題時要注意分組后,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù)),避免重復(fù)計數(shù)．=2\*GB3②對于部分均分,解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),即若有m組元素個數(shù)相等,則分組時應(yīng)除以m！,分組過程中有幾個這樣的均勻分組,就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．=3\*GB3③對于不等分組,只需先分組,后排列,注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等,所以不需要除以全排列數(shù)．（2）對于相同元素的“分配”問題,常用方法是采用“隔板法”．7.把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把所得曲線向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖像,則（）A. B.C. D.【命題意圖】本題考查三角函數(shù)圖象的平移,考查直觀想象及邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏易【答案】B【解析】解法一：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得到的圖象,再把所得曲線向右平移個單位長度,得到的圖象,所以,令,則,所以,所以,故選B.解法二：由函數(shù)逆向變換,第一步：向左平移個單位長度,得到的圖象,第二步：圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到的圖象,即為的圖象,所以.故選B.【點評】本題易錯之處是函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得到的圖象,再把所得曲線向右平移個單位長度,誤以為得到得到的圖象,【知識鏈接】1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規(guī)律：“左加右減,上加下減”．2．由y＝sinωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,φ>0)的變換：向左平移eq\f(φ,ω)個單位長度而非φ個單位長度．8.在區(qū)間與中各隨機取1個數(shù),則兩數(shù)之和大于的概率為（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查幾何概型,考查直觀想象的核心素養(yǎng).難度：中等偏易【答案】B【解析】設(shè),如圖所示,由幾何概型概率計算公式可得的概率為,故選B.【點評】求解本題的關(guān)鍵是把所取的兩個數(shù)視作,然后把點看作點,再利用面積測度求概率.【知識鏈接】求解與面積有關(guān)的幾何概型時,關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標(biāo),找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解．9.魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作,其中第一題是測海島的高．如圖,點,,在水平線上,和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度,稱為“表高”,稱為“表距”,和都稱為“表目距”,與的差稱為“表目距的差”則海島的高（）A.表高 B.表高C.表距 D.表距【命題意圖】本題考查測量問題與數(shù)學(xué)文化,考查直觀想象與數(shù)學(xué)建模的核心素.難度：中等【答案】A【解析】如圖所示：由平面相似可知,,而,所以,而,即＝．故選A.【點評】本題涉及的是我國古代數(shù)學(xué)文化,求解過程中用到了比例關(guān)系式與方程思想,但沒有涉及到高中數(shù)學(xué)知識.【知識鏈接】《海島算經(jīng)》由劉徽于三國魏景元四年(公元263年)所撰,本為《九章算術(shù)注》之第十卷,題為《重差》.唐初開始單行,體例亦是以應(yīng)用問題集的形式.研究的對象全是有關(guān)高與距離的測量,所使用的工具也都是利用垂直關(guān)系所連接起來的測竿與橫棒.有人說是實用三角法的啟蒙,不過其內(nèi)容并未涉及三角學(xué)中的正余弦概念.所有問題都是利用兩次或多次測望所得的數(shù)據(jù),來推算可望而不可及的目標(biāo)的高、深、廣、遠(yuǎn).此卷書被收集于明成祖時編修的永樂大典中,現(xiàn)保存在英國劍橋大學(xué)圖書館.劉徽也曾對九章算數(shù)重編并加以注釋.全書共9題,全是利用測量來計算高深廣遠(yuǎn)的問題,首題測算海島的高、遠(yuǎn),故得名.10.設(shè),若為函數(shù)的極大值點,則（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查邏輯推理及直觀想象的核心素養(yǎng).難度：中等【答案】D【解析】解法一：因為,所以,因為為的極大值點,所以或,即或,故選D.解法二：若,則為單調(diào)函數(shù),無極值點,不符合題意,故.有和兩個不同零點,且在左右附近是不變號,在左右附近是變號的.依題意,為函數(shù)的極大值點,在左右附近都是小于零的.當(dāng)時,由,,畫出的圖象如下圖所示：由圖可知,,故.當(dāng)時,由時,,畫出的圖象如下圖所示：由圖可知,,故.綜上所述,成立.故選D.【點評】忽略對a的符號的討論,是本題易出錯誤.【知識鏈接】1.求函數(shù)f(x)極值的一般解題步驟(1)確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號．2.根據(jù)函數(shù)極值情況求參數(shù)的兩個要領(lǐng)(1)列式：根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解．(2)驗證：求解后驗證根的合理性．3.若在可導(dǎo),則是在處取得極值的必要不充分條件.11.設(shè)是橢圓的上頂點,若上的任意一點都滿足,則的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查橢圓的幾何性質(zhì),考查邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度：中等偏難【答案】C【解析】解法一：設(shè),由,因為,,所以,因為,當(dāng),即時,,即,符合題意,由可得,即；當(dāng),即時,,即,化簡得,,顯然該不等式不成立．故選C．解法二：設(shè),則=因為,所以當(dāng)時時取得最大值,由,整理得,此時橢圓C的離心率,當(dāng)時時取得最大值,由得,此時橢圓C的離心率,又,故選C.【點評】求解本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)思想求的最大值.【知識鏈接】圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法,即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解．12.設(shè),,．則（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查利用構(gòu)造函數(shù)及利用函數(shù)單調(diào)性比較大小,考查邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)素養(yǎng).難度：難【答案】B【解析】設(shè),則,所以在上是減函數(shù),所以,即,所以,同理設(shè),則,因為,所以,所以在上是增函數(shù),所以,即,所以,故選B.【點評】構(gòu)造函數(shù),然后利用所構(gòu)造的函數(shù)解決問題是近幾年的高考熱點,求解這類問題的關(guān)鍵是洞悉條件中不同式子的相同結(jié)構(gòu),【知識鏈接】比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小,可以利用函數(shù)的單調(diào)性,引入中間量；有時也可用數(shù)形結(jié)合的方法,解題時要根據(jù)實際情況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較,如果指數(shù)相同,而底數(shù)不同則構(gòu)造冪函數(shù),若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù),若引入中間量,一般選0或1.對于復(fù)雜的數(shù)與式大小的比較可通過觀察式子結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù),此外還可以通過作差比較大小,或利用不等式的性質(zhì)及基本不等式比較大小.13.已知雙曲線的一條漸近線為,則C的焦距為_________．【命題意圖】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).【答案】4【解析】由漸近線方程化簡得,即,同時平方得,又雙曲線中,故,解得（舍去）,,故焦距.【點評】雙曲線的幾何性質(zhì)是高考考查熱點,但單獨考查,一般為容易題,若與直線、圓等其他曲線結(jié)合在一起考查,常作為客觀題的壓軸題.【知識鏈接】1.與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．2.雙曲線的幾何性質(zhì)中重點是漸近線方程和離心率,在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0,b>0)中,離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq\f(b,a)滿足關(guān)系式e2＝1＋k2.14.已知向量,若,則__________．【命題意圖】本題考查平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運算,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度：容易【答案】【解析】因為,所以由可得,,解得．【點評】平面向量是高考數(shù)學(xué)必考知識點,一般以客觀題形式考查,熱點是平面向量的線性運算及平面向量的數(shù)量積,可以是容易題,也可以是中等難度題,中等難度題常用平面幾何、不等式等知識交匯考查.本題屬于常規(guī)題型,難度與課本練習(xí)中的基礎(chǔ)題相等,且學(xué)生訓(xùn)練比較多,所以此題屬于得分題.【知識鏈接】平面向量數(shù)量積求解問題的策略=1\*GB3①求兩向量的夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|),要注意θ∈[0,π]．=2\*GB3②兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.=3\*GB3③求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a);|a±b|＝eq\r(a2±2a·b＋b2);若a＝(x,y),則|a|＝eq\r(x2＋y2).15.記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為,,,則________．【命題意圖】本題考查余弦定理及三角形面積公式,考查數(shù)學(xué)運算及邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：容易【答案】【解析】由題意,,所以,所以,解得.【點評】填空題是歷年得分率最低的一類題型,得分率低的一個主要原因是填空題沒有中間分,一步出錯,就得零分,所以做填空題一定要力求準(zhǔn)確,并按照要求答題,也許是為了提高填空題的得分率吧,本卷前3道填空題都比較簡單,運算量也比較小.【知識鏈接】應(yīng)用正弦、余弦定理的解題技巧(1)求邊：利用公式a＝eq\f(bsinA,sinB),b＝eq\f(asinB,sinA),c＝eq\f(asinC,sinA)或其他相應(yīng)變形公式求解．(2)求角：先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA＝eq\f(asinB,b),sinB＝eq\f(bsinA,a),sinC＝eq\f(csinA,a)或其他相應(yīng)變形公式求解．(3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解．(4)靈活利用式子的特點轉(zhuǎn)化：如出現(xiàn)a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理,等式兩邊是關(guān)于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理．16.以圖①為正視圖,在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖,組成某個三棱錐的三視圖,則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）．【命題意圖】本題考查三視圖,考查直觀想象及邏輯推理的素養(yǎng).難度：中等偏易【答案】③④（答案不唯一）【解析】由正視圖與側(cè)視圖同高,可得側(cè)視圖為=2\*GB3②或=3\*GB3③,若側(cè)視圖為=2\*GB3②,結(jié)合正視圖可得該三棱錐的右側(cè)面與底面垂直,俯視圖為=5\*GB3⑤,若側(cè)視圖為=3\*GB3③,結(jié)合正視圖可得該三棱錐的右側(cè)有一條側(cè)棱與底面垂直,俯視圖為=4\*GB3④【點評】有關(guān)三視圖的試題,往年大多為選擇題,且多與幾何體的體積、表面積交匯考查,今年試題有所創(chuàng)新,考查三視圖的識別,且與新高考中的多選題很靠近,但難度依然不大,總的來說,本試卷填空題難度比較小,對大多數(shù)考生來說,這四道題都屬于得分題.【知識鏈接】三視圖問題的常見類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向,注意看到的部分用實線表示,不能看到的部分用虛線表示．(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖,還原、推測直觀圖的可能形式,然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題,也可將選項逐項代入,再看看給出的部分三視圖是否符合．(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖,明確三視圖的形成原理,結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖．17.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高,用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和,樣本方差分別記為和．（1）求,,,；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高,否則不認(rèn)為有顯著提高）．【命題意圖】本題考查平均數(shù)與方差的計算及平均數(shù)與方差的應(yīng)用,考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度：容易【解析】（1）,,,.（2）依題意,,,,所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【點評】本題屬于基礎(chǔ)題,主要考查考生的運算能力,運算失誤是失分的主要原因.概率與統(tǒng)計是高考重點,在高考試卷中既有客觀題又有解答題,由于該模塊涉及知識點比較多,高考命題沒有固定的熱點,一般情況下,統(tǒng)計與概率、隨機變量的分布列都會涉及,客觀題至少會有2道.【知識鏈接】1.標(biāo)準(zhǔn)差與方差標(biāo)準(zhǔn)差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2](xn是樣本數(shù)據(jù),n是樣本容量,eq\x\to(x)是樣本平均數(shù))．2.有關(guān)平均數(shù)、方差的一些結(jié)論若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,方差為s2.則ax1,ax2,…,axn的平均數(shù)為,方差為a2s2.數(shù)據(jù)mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數(shù)為,方差為m2s2.3.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布表、頻率分布直方圖的關(guān)系(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一小組的組中值來顯示,即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo).(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應(yīng)頻率之積的和.18.如圖,四棱錐的底面是矩形,底面,,為的中點,且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【命題意圖】本題考查幾何體中基本量的計算及二面角的計算,考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等【解析】解法一：（1）連接BD,因為底面,平面ABCD,所以因為,且,所以平面PBD,因為平面PBD,所以,所以,所以；（2）以點為坐標(biāo)原點,、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、、,則,,,,設(shè)平面的法向量為,由,取,可得,設(shè)平面的法向量為,由,取,可得,,所以,,因此,二面角的正弦值為.解法二：（1）平面,四邊形為矩形,不妨以點為坐標(biāo)原點,、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則、、、、,則,,,則,解得,故；（2）設(shè)平面的法向量為,則,,由,取,可得,設(shè)平面的法向量為,,,由,取,可得,,所以,,因此,二面角的正弦值為.【點評】本題第1問,雖然是求BC的長,實質(zhì)是垂直關(guān)系的證明與應(yīng)用,第2問求空間角一般用空間向量求,該問失分主要原因是運算失誤.【知識鏈接】利用向量法計算二面角大小的常用方法（1）找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大?。?）找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小．19.記為數(shù)列的前n項和,為數(shù)列的前n項積,已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的證明及利用與的關(guān)系求通項,考查邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度：中等【解析】（1）解法一：由得,且,,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積,所以,所以,所以,由于所以,即,其中所以數(shù)列是以為首項,以為公差等差數(shù)列;解法二：因為為數(shù)列的前n項積,所以,由可得,去分母得,所以,數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）可得,數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,,,當(dāng)n=1時,,當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.【點評】前些年全國乙卷數(shù)列解答題一般放在第17題的位置上,試題一般比較容易,今年放在19題的位置上,難度有所加大,該題回避了常規(guī)的求和問題,運算量有所減小,但推理的成分加大.【知識鏈接】1.已知Sn,求an的步驟（1）當(dāng)n＝1時,a1＝S1；（2）當(dāng)n≥2時,an＝Sn－Sn－1；（3）對n＝1時的情況進(jìn)行檢驗,若適合n≥2的通項則可以合并；若不適合則寫成分段函數(shù)形式．2.證明一個數(shù)列為等差數(shù)列常用定義法與等差中項法,其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等差數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等差數(shù)列即可．利用遞推關(guān)系時要注意對n＝1時的情況進(jìn)行驗證．20.設(shè)函數(shù),已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【命題意圖】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：難【證明】（1）由,設(shè),又是函數(shù)的極值點,所以,解得；當(dāng)時,且時,時,所以是的極大值點,滿足題意,故.（2）由（1）得,因為時,時,所以時所以,設(shè),則,所以時,單調(diào)遞增,時,單調(diào)遞減,所以時,所以在恒成立.【點評】本題第2問的證明,關(guān)鍵是先判斷,把問題轉(zhuǎn)化為證明【知識鏈接】用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題一般要通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性來證明,基本方法有：(1)把證明轉(zhuǎn)化為證明(2)把證明轉(zhuǎn)化為證明(3)把證明轉(zhuǎn)化為證明,(4)把證明轉(zhuǎn)化為證明(5)改變不等式結(jié)構(gòu),重新構(gòu)造函數(shù)證明不等式.21.已知拋物線的焦點為,且與圓上點的距離的最小值為．（1）求；（2）若點在上,是的兩條切線,是切點,求面積的最大值．【命題意圖】本題考查圓與拋物線的方程、性質(zhì)及三角形面積的最值,考查邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度：難【解析】（1）拋物線的焦點為,,所以,與圓上點的距離的最小值為,解得；（2）解法一：設(shè),由題意可得直線AB斜率存在,設(shè)其方程為,與聯(lián)立得,,即,又所以,拋物線的方程為,即,所以,所以直線的方程為,即,同理可得直線的方程為,由得,即,所以點到直線的距離為,所以,,因為點在上,所以,所以,即,因為,所以當(dāng)時取得最大值,此時滿足,所以,即面積的最大值為.解法二：拋物線的方程為,即,對該函數(shù)求導(dǎo)得,設(shè)點、、,直線的方程為,即,即,同理可知,直線的方程為,由于點為這兩條直線的公共點,則,所以,點、的坐標(biāo)滿足方程,所以,直線的方程為,聯(lián)立,可得,由韋達(dá)定理可得,,所以,,點到直線的距離為,所以,,,由已知可得,所以,當(dāng)時,的面積取最大值.【點評】本題易