北京市東城區(qū)一七一中學(xué)2022~2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)練習(xí)（含答案與解析）

北京市東城區(qū)一七一中學(xué)2022~2023學(xué)年上學(xué)期期末練習(xí)

九年級數(shù)學(xué)

（時間：120分鐘滿分：100分）

注意事項：

1.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試卷上直接作答。

2.作答前認真閱讀答題卡上的注意事項。

3.考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試卷和答題卡一并收回。

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

1.若關(guān)于X的一元二次方程式+3%+。=°的一個根為1,則。的值為（

A.2B.-2C.-3

2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

3.將拋物線y=x2向右平移3個單位長度得到的拋物線是（）

A.y-X2+3B.y=x2-3C.y=（x-3jD.y=(x+3)2

4.某種彩票的中獎機會是1%,下列說法正確的是【】

A.買1張這種彩票一定不會中獎

B.買1張這種彩票一定會中獎

C.買100張這種彩票一定會中獎

D.當(dāng)購買彩票數(shù)量很大時，中獎的頻率穩(wěn)定在1%

5.用配方法解方程好―4%=1，變形后結(jié)果正確的是（）

A.（九+2）2=5B.（x+2）2=2C.（無一2『=5D.(x—2『=2

6.如圖，圓心角NAO8=n0°,則ZACB的度數(shù)是（）

A.70°B.55°C.125°D.130°

7.在半徑為6圓中，120°的圓心角所對扇形的面積是（）

A.4萬B.8"C.12萬D.16〃

8.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=1,AB=3,將AABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，取

AC的中點E，4線的中點尸，則在旋轉(zhuǎn)過程中，線段砂的最大值為（）

A.1B.2.5C.2D.1.5

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.點（3,-1）關(guān)于原點對稱點的坐標是.

10.請寫出一個開口向下，頂點在x軸上二次函數(shù)解析式________________.

H.已知P（X],1）,。5，1）兩點都在拋物線y=3x+i上，那么占+4=.

12.2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育活動.據(jù)

了解，某展覽中心3月份的參觀人數(shù)為11萬人，5月份的參觀人數(shù)增加到15.1萬人.設(shè)參觀人數(shù)的月平均

增長率為x,則可列方程為.

13.如圖，A3是。。直徑，C,。是。。上的兩點.若NC鉆=60°,則4OC的度數(shù)為

14.如圖，PA,尸5是。。的切線，切點分別為A,B.若NOSA=30°,PA=3,則AB的長為

p

15.如表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結(jié)果.那么，這名球員投籃一次，投中的概率約為（精

確到0.1）.

投籃次數(shù)（n）50100150200250300500

投中次數(shù)（m）286078104123152251

投中頻率（m/n）0.560.600.520.520.490.510.50

16.如圖，在平面直角坐標系xQy中，P為x軸正半軸上一點.己知點4（0,1）,6（0,7）,?M為&ABP

的外接圓.

B

（1）點M的縱坐標為；

（2）當(dāng)最大時，點尸的坐標為.

三、解答題（本題共68分，17-22題每題5分，23-26題每題6分，27-28題每題7分）

17.下面是小樂設(shè)計的“過圓外一點作這個圓的兩條切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：O。及。。外一點尸.

求作：直線Q4和直線PB,使切。。于點A,PB切。。于點B.

作法：如圖，

①連接O尸，分別以點。和點尸為圓心，大于工。戶的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點V,N；

2

②連接"N,交OP于點Q,再以點。為圓心，。。的長為半徑作弧，交。。于點A和點8；

③作直線P4和直線PB.

所以直線PA和PB就是所求作的直線.

根據(jù)小樂設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（2）完成下面的證明.

證明：尸是OQ的直徑，

AZOAP=ZOBP=°（）（填推理的依據(jù)）.

APALOA,PBLOB.

,：OA,。8是。。的半徑，

：.PA,PS是。。的切線.

18.如圖，A3是。。的弦，。為A5的中點，0c的延長線與交于點。，若CD=1，A3=6,求。。

19.用配方法解一元二次方程：2x-4x+l=0.

20.已知二次函數(shù)丁=12+4%+3.

(1)二次函數(shù)的圖象與X軸交于點A,B(點A在點8左邊)，則A,B兩點的坐標為

(2)在平面直角坐標系中畫出該函數(shù)圖象；

(3)當(dāng)一34尤＜0時，＞的取值范圍是.

21.如圖，方格中每個小正方形的邊長都是單位1,在平面直角坐標系中的位置如圖.

(1)畫出將AABC繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形；

(2)求出點。經(jīng)過的路徑的長.

22.在一個不透明的紙箱里裝有紅、黃、藍三種顏色的小球，它們除顏色外完全相同，其中紅球有2個，

黃球有1個，藍球有1個.現(xiàn)有一張電影票，小明和小亮決定通過摸球游戲定輸贏(贏的一方得電影

票).游戲規(guī)則是：兩人各摸1次球，先由小明從紙箱里隨機摸出1個球，記錄顏色后放回，將小球搖勻，

再由小亮隨機摸出1個球.若兩人摸到的球顏色相同，則小明贏，否則小亮贏.這個游戲規(guī)則對雙方公平

嗎？請你利用樹狀圖或列表法說明理由.

23.已知關(guān)于x的一元二次方程兀2+(1-2加)％+??-加=0.

(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若此方程的兩個實數(shù)根都是正數(shù)，求機的取值范圍.

24.如圖，在一次學(xué)校組織的社會實踐活動中，小龍看到農(nóng)田上安裝了很多灌溉噴槍，噴槍噴出的水流軌

跡是拋物線，他發(fā)現(xiàn)這種噴槍射程是可調(diào)節(jié)的，且噴射的水流越高射程越遠，于是他從該農(nóng)田的技術(shù)部門

得到了這種噴槍的一個數(shù)據(jù)表，水流的最高點與噴槍的水平距離記為X,水流的最高點到地面的距離記為

y與x的幾組對應(yīng)值如下表:

5

x(單位：m)012234

222

9511137_

y(單位：m)234

42~4~42

(1)該噴槍的出水口到地面的距離為m；

(2)在平面直角坐標系中，描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并畫出丫與x的函數(shù)圖象;

叫

5

4-

3-

2-

1■

O'1~2~3~456789

(3)結(jié)合(2)中的圖象，估算當(dāng)水流的最高點與噴槍的水平距離為8m時，水流的最高點到地面的距離

為m(精確到1m).根據(jù)估算結(jié)果，計算此時水流的射程約為m(精確到1m,參考數(shù)

據(jù)卡—

25.如圖，A3是。。的直徑，弦石戶，A5于點C,過點尸作。。的切線交A3的延長線于點。,

ZA=30°.

(1)求的大??；

(2)取防的中點連接上加，請補全圖形；若=J五，求。。的半徑.

26.已知二次函數(shù)y=+法+3的圖象經(jīng)過點（1,3）.

（1）用含。的代數(shù)式表示萬；

（2）若該函數(shù)的圖象與x軸的一個交點為（-2,0）,求二次函數(shù)的解析式；

（3）當(dāng)a<0時，該函數(shù)圖象上的任意兩點P（王,%）、。（無2，%），若滿足%=-1，%>上，求X2的取

值范圍.

27.如圖，在三角形ABC中，NB4C=90°,A3=AC,點產(chǎn)為內(nèi)一點，連接AP,BP，CP,

將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AP'，連接PP，CP'.

（1）用等式表示CP'與6F的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）當(dāng)N5PC=135°時，

①直接寫出NP'CP的度數(shù)為；

②若M為的中點，連接PM，請用等式表示與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.給出如下定義：對于。。的弦"N和。。外一點P（M,O,N三點不共線，且P,。在直線

"N的異側(cè)），當(dāng)4/取+/“叩=180。時，則稱點P是線段"N關(guān)于點。的關(guān)聯(lián)點.圖1是點P為

線段關(guān)于點。的關(guān)聯(lián)點的示意圖.

圖1圖2圖3

在平面直角坐標系x0y中，。。的半徑為2.

⑴如圖2,M（V2,V2）,N（V2,-V2）.在A（2,0）,3（2應(yīng),0）,C（2,2）,三點中，是線段肱V

關(guān)于點。的關(guān)聯(lián)點的是；

（2）如圖3,M（0,2）,N（省1）,點。是線段肱V關(guān)于點。的關(guān)聯(lián)點.

①ZMDN的大小為°；

②在第一象限內(nèi)有一點加），點E是線段關(guān)于點。的關(guān)聯(lián)點，求點E的坐標；

③點尸在直線y=-走戈+4上，當(dāng)NMFNN/MDN時,直接寫出點尸的橫坐標號的取值范圍

3

參考答案

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

L若關(guān)于x的一元二次方程f+3x+a=°的一個根為1,貝甲的值為（）

A.2B.-2C.-3D.-4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把X=1代入方程，得出關(guān)于。的方程，解出即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程f+3%+4=0的一個根為1,

.,.把％=1代入方程，可得：l+3+a=0,

解得：。=-4,

的值為—4.

故選：D

【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握一元二次方程的解的定義.使一元二次

方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義即可進行解答.

【詳解】解：A、既軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故A符合題意;

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B不符合題意；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故D不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)

后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直

線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)定義.

3.將拋物線y=x2向右平移3個單位長度得到的拋物線是()

A.y-x2+3B.y=x2-3C.y=(x-3)~D.y=(x+3j

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可.

【詳解】解：拋物線>向右平移3個單位長度得到的拋物線是y=(%-3)二

故選：C

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，理解平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

4.某種彩票的中獎機會是1%,下列說法正確的是【】

A.買1張這種彩票一定不會中獎

B.買1張這種彩票一定會中獎

C.買100張這種彩票一定會中獎

D.當(dāng)購買彩票的數(shù)量很大時，中獎的頻率穩(wěn)定在1%

【答案】D

【解析】

【分析】

【詳解】解：A、因為中獎機會是1%,就是說中獎概率是1%,機會較小，但也有可能發(fā)生，故本選項

錯誤；

B、買1張這種彩票中獎的概率是1%,即買1張這種彩票會中獎的機會很小，故本選項錯誤；

C、買100張這種彩票不一定會中獎，故本選項錯誤；

D、當(dāng)購買彩票的數(shù)量很大時，中獎的頻率穩(wěn)定在1%,故本選項正確，

故選D.

5.用配方法解方程x2—4x=l，變形后結(jié)果正確的是()

A.(%+2)2=5B.(x+2)2=2C.(x-2『=5D.(%-2)2=2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)配方法可直接進行求解.

【詳解】解：由方程乂―4龍=1兩邊同時加上4可得(x—2)2=5；

故選C.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，圓心角NAOfi=nO°,則ZACB的度數(shù)是（）

A.70°B.55°C.125°D.130°

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)點尸是優(yōu)弧上的一點，連接AP，6P，根據(jù)圓周角定理，得出NAPfi=55°,再根據(jù)圓

內(nèi)接四邊形的對角互補，計算即可得出NACB的度數(shù).

【詳解】解：如圖，設(shè)點尸是優(yōu)弧A3上的一點，連接轉(zhuǎn)，BP，

VZAO8=n。。，

/.ZAPB=-ZAOB=55°,

2

?；ZAPB+ZACB=180°,

ZACB=180°—ZAPS=125°.

故選：C

【點睛】本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理，并正

確作出輔助線.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心

角的一半.

7.在半徑為6的圓中，120。的圓心角所對扇形的面積是（）

A.4萬B.87rC.12萬D.167r

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)扇形面積公式S房彩=上二即可進行解答.

扇形360

【詳解】解：S扇形=12076=I2",

360

故選：C.

【點睛】本題主要考查了求扇形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式5戶取=空二.

扇形360

8.如圖，在“WC中，ZACB=90°,AC=1,AB=3,將繞頂點。順時針旋轉(zhuǎn)得到,取

AC的中點E，A用的中點P，則在旋轉(zhuǎn)過程中，線段石P的最大值為（）

A.1B.2.5C.2D.1.5

【答案】C

【解析】

【分析】連接CP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出用=90。，4四=3,再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于

斜邊的一半,得出4P=B}P=CP=1.5,再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出EC+CP>EP,進而得出當(dāng)點E、

C、P三點共線時，EP最大,最大值為CE+CP,再根據(jù)中點的性質(zhì)，得出CE=0.5,進而即可得出答

案.

【詳解】解：連接CP,

：AABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)得到AA51C,ZACB=90°,AC=1,AB=3,

.?./AS=90。,A4=3,

?；A4的中點尸，

\P=BxP=CP=i.5,

■:EC+CP>EP,

當(dāng)點E、C、尸三點共線時，EP最大,最大值為CE+CP,

..?點E是AC的中點，AC=1,

/.CE=0.5,

：.EP最大值為0.5+1.5=2.

故選：C

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、三角形的三邊關(guān)系，解本題的

關(guān)鍵在熟練掌握三角形的三邊關(guān)系.

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9.點(3,-1)關(guān)于原點對稱點的坐標是.

【答案】(-3,1)

【解析】

【分析】根據(jù)兩點關(guān)于原點對稱，則兩點的橫、縱坐標都是互為相反數(shù)解答.

【詳解】解：點(3,-1)關(guān)于原點的對稱點的坐標是(-3,1).

故答案為：(-3,1).

【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，兩點關(guān)于原點對稱，則兩點的橫、縱坐標都是互為相反

數(shù).

10.請寫出一個開口向下，頂點在x軸上的二次函數(shù)解析式.

【答案】y=-2(x+1)2.答案不唯一

【解析】

【分析】先設(shè)出二次函數(shù)解析式方程，y=+左再根據(jù)圖像開口向下可知a<0,可以得

出結(jié)論.

【詳解】設(shè)該二次函數(shù)的解析式為丁=。(％+4+左(亦0)

:拋物線的開口向下

a<0

又丁在x軸上

k=0

?1.y=-2(x+1)2,答案不唯一，滿足上述條件即可.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)丁=。（％+/2『+左（。。0）中，當(dāng)a<0,時開口向下，且頂點在x軸上時

要滿足的條件，熟練掌握函數(shù)性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.

11.已知？（七』），。（程1）兩點都在拋物線丁=爐—3x+l上，那么西+/=.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得點尸和點。關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求出函數(shù)的對稱軸即可進行解答.

b-33

【詳解】解：根據(jù)題意可得：拋物線的對稱軸為直線：x=-=--=—,

2a22

,?,P（%，1）,Q（X2，1）,

.玉+馬_3

??一,

22

/.X]+々=3.

故答案為:3.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，找到P、。兩點關(guān)于對稱軸對稱求解.

12.2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育活動.據(jù)

了解，某展覽中心3月份的參觀人數(shù)為11萬人，5月份的參觀人數(shù)增加到15.1萬人.設(shè)參觀人數(shù)的月平均

增長率為無，則可列方程為.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得4月份的參觀人數(shù)為11（1+1）人，則5月份的人數(shù)為11（1+%丁，根據(jù)5月份的參觀

人數(shù)增加到15.1萬人，列一元二次方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)參觀人數(shù)的月平均增長率為x,則可列方程為U（l+x）2=15.1

故答案為：11（1+無7=15.1.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)增長率問題列一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，A3是。。的直徑，C,。是。。上的兩點.若NC鉆=60°,則4OC的度數(shù)為

【答案】30°##30度

【解析】

【分析】根據(jù)圓周角定理，得出NACB=90。，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出NA5C=30。，再根

據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得出ZAOC的度數(shù).

【詳解】解：為。。的直徑，

/./ACS=90。，

ZABC=90°-ZCAB=90°-60°=30°,

ZADCZABC=30°.

故答案為：30°.

【點睛】本題考查了圓周角定理及其推論、直角三角形兩銳角互余，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)

定理.

14.如圖，PA,PB是。。的切線，切點分別為A,B.若NOSA=30°,PA=3,則AB的長為

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)切線長定理和切線的性質(zhì)，得出PA=PB,NPBO=90°,再根據(jù)等腰三角形的判定定

理，得出△上鉆為等腰三角形，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出NP5A=60°,再根據(jù)等邊三角形的判定

定理，得出為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出=進而即可得出答案.

【詳解】解：也分別為。。的切線，

APA=PB,NPBO=90°,

，為等腰三角形，

VZOBA=30°,

：.ZPBA=ZPBO-AOBA=60°,

：.△以§為等邊三角形，

/.AB=PA,

?/PA=3,

：.AB=3.

故答案為：3

【點睛】本題考查了切線長定理、切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解本

題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理.

15.如表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結(jié)果.那么，這名球員投籃一次，投中的概率約為（精

確到0.1）.

投籃次數(shù)（n）50100150200250300500

投中次數(shù)（m）286078104123152251

投中頻率（m/n）0.560.600.520.520.490.510.50

【答案】0.5

【解析】

【分析】利用頻率的計算公式進行計算即可.

【詳解】解：由題意得，這名球員投籃的次數(shù)為1550次，投中的次數(shù)為796,故這名球員投籃一次，投中

796

的概率約為：----=0.5.

1550

故答案為0.5.

【點睛】本題考查利用頻率估計概率，難度不大.

16.如圖，在平面直角坐標系中，P為x軸正半軸上一點.已知點A（0,l）,B（0,7）,OM為AABP

的外接圓.

B

(1)點M縱坐標為；

(2)當(dāng)/AP3最大時，點尸的坐標為.

【答案】①.4②.(77,0)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角形外心的定義，可得出AABP的外接圓圓心在線段A3的垂直平分線上，即可求解;

(2)點尸在。時切點處時，NAPB最大,而四邊形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可.

【詳解】解:(1)???4(0,1),5(0,7),

二線段AB的垂直平分線為直線y=r=4,

:點M在AB的垂直平分線上，

???點加的縱坐標為4,

(2)過點4(0,1),5(0,7),作OM與x軸相切，則點尸在切點處時，/APB最大,

理由：

如上圖，若點尸'是無軸正半軸上異于切點P的任意一點,

設(shè)AP'交。M于點E，連接AE，則Z4￡B=Z4PB,

,/NAEB是VAPE的外角，

???ZAEB>ZAP,B,

AZAPB>ZAP'B,即點尸在切點處時，NAPB最大,

經(jīng)過點4(0,1),5(0,7),

...點M在線段AB的垂直平分線上，即點M在直線y=4上，

：與x軸相切于點P,軸，從而MP=4，即。"的半徑為4,

設(shè)AB的中點為。，連接MD、AM,如上圖，則MDLAB，AD=BD=-AB=3,

2

AM=MP=4，

VZPOD=90°,MPLx軸，MD±AB，

四邊形OPMD是矩形，從而OP=MD,

由勾股定理，得

MD=^AM--AD1=742-32=77-

???OP=MD=&,

..?點P的坐標為(、廳,0),

故答案為：4,(77,0).

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的判定及勾股定理，正確作

出圖形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本題共68分，17-22題每題5分，23-26題每題6分，27-28題每題7分)

17.下面是小樂設(shè)計的“過圓外一點作這個圓的兩條切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：O。及。。外一點P.

求作：直線和直線PB,使Q4切。。于點A,PB切。。于點8.

作法：如圖，

①連接OP,分別以點。和點尸為圓心，大于工。「的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點N；

2

②連接MN,交OP于點。，再以點。為圓心，的長為半徑作弧，交OO于點A和點8；

③作直線巴4和直線P3.

所以直線必和PB就是所求作的直線.

根據(jù)小樂設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（2）完成下面的證明.

證明：尸是。。的直徑，

：./OAP=NOBP=°（）（填推理的依據(jù)）.

APA1OA,PBLOB.

?：OA,。8是。。的半徑，

.,.PA,PB是。。的切線.

【答案】（1）見解析（2）90,直徑所對的圓周角為直角

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，畫出圖形即可；

（2）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出NQ4尸=NOBP=90。，再根據(jù)垂線的定義，得出P4J_Q4,

PBLOB,再根據(jù)切線的判定定理，即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：補全圖形如圖：

【小問2詳解】

證明：尸是OQ的直徑,

ZOAP^ZOBP=90°（直徑所對的圓周角為直角）.

APA1OA,PBLOB.

,：OA,是。。的半徑，

：.PA,尸3是。。的切線.

故答案為：90,直徑所對的圓周角為直角

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定定理，解本題的關(guān)鍵

在理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

18.如圖，A3是。。的弦，C為A3的中點，0c的延長線與。。交于點。，若CD=1,A3=6,求。。

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)垂徑定理可得coLAB,AC=根據(jù)勾股定理即可求解.

2

【詳解】解：：AB是。。的弦，C為AB的中點，AB=6,

：.OD±AB,AC=-AB=3,

2

設(shè)。。的半徑為r,則40=00=r,

?/CD=1,

：.CO=DO—CD=r—l,

在RQAOC中，根據(jù)勾股定理可得：AC2+CO2=AO1，

即3?+(r—l『=/，解得：r=5.

。。的半徑為5.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)勾股定理列出方程求解.

19.用配方法解一元二次方程：2/-4x+l=0.

【答案】再=1+冬工廣苣

【解析】

【分析】方程整理后，利用配方法求出解即可.

91

【詳解】解：方程整理得：X2-2X=——,

2

11

配方得：x9—2元+1=5，即（%—1）9=—,

開方得：x-l=+—，

2

解得：x.=l+—，x=l-—.

222

【點睛】此題考查了解一元二次方程一配方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式.

20.已知二次函數(shù)y=d+4x+3.

（1）二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A,B（點A在點B左邊），則A,3兩點的坐標為;

（2）在平面直角坐標系xQy中畫出該函數(shù)的圖象；

（3）當(dāng)—3<x<0時，>的取值范圍是.

【答案】⑴A（-3,0）,B（-l,0）

（2）見解析（3）-l<y<3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸交于點A,B,得出y=0,即f+4%+3=0,解出即可得出

A,8兩點的坐標；

（2）列表、描點、連線，畫出圖象即可；

（3）根據(jù)（2）的圖象，即可得出答案.

【小問1詳解】

解：?.?二次函數(shù)y=f+4x+3的圖象與無軸交于點A,B（點A在點B左邊），

>=0,即無2+4%+3=0，

解得：無i=-3,x2=-1,

A（-3,0）,B（-LO）；

故答案為：A（-3,0）,B（-l,0）

【小問2詳解】

解：列表：

X-4-3-2-10

y30-103

故答案為：—

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點問題、解一元二次方程、用描點法畫二次函數(shù)圖象、二次函

數(shù)的圖象與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在正確畫出二次函數(shù)的圖象.

21.如圖，方格中每個小正方形的邊長都是單位1,"WC在平面直角坐標系中的位置如圖.

ci）畫出將AABC繞點8順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形;

（2）求出點C經(jīng)過的路徑的長.

【答案】（1）見解析（2）昱兀

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的作圖方法和作圖步驟即可進行解答；

（2）點C經(jīng)過的路徑是以點B為圓心，8C長為半徑，旋轉(zhuǎn)角為圓心角的弧長.

【小問1詳解】

解：如圖所示：

【小問2詳解】

根據(jù)勾股定理得：5。=爐兩=6，

nnr_90乃x逐_布

點C經(jīng)過的路徑長為:

欣廣180一號萬

【點睛】本題主要考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義與性質(zhì).

22.在一個不透明的紙箱里裝有紅、黃、藍三種顏色的小球，它們除顏色外完全相同，其中紅球有2個，

黃球有1個，藍球有1個.現(xiàn)有一張電影票，小明和小亮決定通過摸球游戲定輸贏（贏的一方得電影

票）.游戲規(guī)則是：兩人各摸1次球，先由小明從紙箱里隨機摸出1個球，記錄顏色后放回，將小球搖勻，

再由小亮隨機摸出1個球.若兩人摸到的球顏色相同，則小明贏，否則小亮贏.這個游戲規(guī)則對雙方公平

嗎？請你利用樹狀圖或列表法說明理由.

【答案】不公平

【解析】

【分析】游戲是否公平，關(guān)鍵要看游戲雙方獲勝的機會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉(zhuǎn)

化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等.

【詳解】解：此游戲不公平.

理由如下：列樹狀圖如下，

開始

紅紅黃藍

/TVxx-Ax

纖纖黃蔣訂打黃薄纖打黃落訂訂黃蕭

由上述樹狀圖知：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有16種.

P（小明贏）=—=-，P（小亮贏）,故此游戲?qū)﹄p方不公平，小亮贏的可能性大.

168168

23.已知關(guān)于x一元二次方程爐+。-2加）％+4一加=0.

（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若此方程的兩個實數(shù)根都是正數(shù)，求加的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析

（2）7Z7>1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)一元二次函數(shù)的判別式，進行求解即可；

（2）首先根據(jù)十字相乘法解一元二次方程，得出石=根，々=〃z-1，然后再根據(jù)題意：方程的兩個實數(shù)

根都是正數(shù)，得出不等式組，解出即可得出結(jié)果.

【小問1詳解】

證明：在關(guān)于x的一元二次方程f+（1—2m）x+m2-m=0中，

,/A=b2-4?c=（l-2m）-一4（〃/一機）=1>0,

，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

【小問2詳解】

?：X2+（l-2m）x+m2—m=0

因式分解，可得：（％一加）（1一加+1）=。，

于是得：%—根=0或％—m+1=0,

：.Xy=m,x2=m-l,

??,方程的兩個實數(shù)根都是正數(shù)，

m>0

二.可得：〈,

m-1>0

解得：m>1,

???加的取值范圍為：/>1.

【點睛】本題考查了一元二次方程的判別式、因式分解法解一元二次方程、解不等式組，熟練掌握一元二

次方程的解法及根的判別式是解本題的關(guān)鍵.

24.如圖，在一次學(xué)校組織的社會實踐活動中，小龍看到農(nóng)田上安裝了很多灌溉噴槍，噴槍噴出的水流軌

跡是拋物線，他發(fā)現(xiàn)這種噴槍射程是可調(diào)節(jié)的，且噴射的水流越高射程越遠，于是他從該農(nóng)田的技術(shù)部門

得到了這種噴槍的一個數(shù)據(jù)表，水流的最高點與噴槍的水平距離記為心水流的最高點到地面的距離記為

y與x的幾組對應(yīng)值如下表:

3_5

x（單位：m）01234

222

9511137

y（單位：m）234

42~4~42

（1）該噴槍的出水口到地面的距離為m；

（2）在平面直角坐標系xOy中，描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并畫出y與X的函數(shù)圖象;

叫

5

4-

3-

2-

1■

O'1~2~3~456789

（3）結(jié)合（2）中的圖象，估算當(dāng)水流的最高點與噴槍的水平距離為8m時，水流的最高點到地面的距離

為m（精確到1m）.根據(jù)估算結(jié)果，計算此時水流的射程約為m（精確到1m,參考數(shù)

據(jù)灰。2.4）.

【答案】（1）2

（2）見解析（3）6,18

【解析】

【分析】（1）令x=0時，求得〉值即可；

（2）按照描點，連線的基本步驟畫函數(shù)圖象即可；

（3）設(shè)直線為、=履+人，把x=0,y=2和了=2,y=3代入解析式，聯(lián)立方程組，解出即可得出直線的

解析式為y=；x+2,然后再把x=8代入y=gx+2,求得y=6,進而得出拋物線的頂點坐標，然后設(shè)

出拋物線解析式為y=4尤―8）2+3,把（0,2）代入解析式,確定a=—,得到拋物線解析式,再令y=0,

求得x的值即可.

【小問1詳解】

解：令x=0時，得尸2,

故答案為：2

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意，畫圖如下:

【小問3詳解】

b=2

把x=0,y=2和》=2,y=3代入，可得:

2k+b=3,

k-L

解得彳2,

b=2

二直線的解析式為y=；x+2,

當(dāng)x=8時，可得：y=gx8+2=6（m）,

水流的最高點到地面的距離為6m,

???拋物線的頂點坐標為（8,6）,

設(shè)拋物線解析式為y=a（x—8）2+6,

把（0,2）代入解析式，可得：64a+6=2,

解得：a―――,

16

y=_”（冗_8）2+6,

19

令y=。，可得：（%-8）+6=0,

解得：x=8+4而或x=8-4#（舍去），

且x=8+4指儀17.79~18（m）,

此時水流的射程約為18m.

故答案為：6,18

【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的畫法、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、求二次函數(shù)解析式、一元二

次方程的解法、二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵.

25.如圖，AB是。。的直徑，弦石尸，A5于點C,過點R作。。的切線交AB的延長線于點。，

ZA=30°.

（1）求/￡）的大??；

（2）取助的中點連接〃/，請補全圖形；若“=后，求。。的半徑.

【答案】（1）30°

（2）圖形見解析，2后

【解析】

【分析】（1）連接。尸，先求出NA5E=60。，從而得出N3EC=30。，再根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心

角的一半得出ZDOF=2ZBEC=60°,最后根據(jù)切線的定義即可求解；

（2）連接,證明AEOB為等邊三角形，將QW的長度用半徑表示出來，再證明

ZMOF=ZDOF+ZBOM=90°,根據(jù)勾股定理列出方程求解即可.

【小問1詳解】

解：連接。尸，

：AB是。。的直徑，

：.ZAEB^90°,

?：ZA=30°,

：.ZABE=90°-30°=60°,

?/EhAB，

：.ZBEC=900-60°=30°,

：.ZDOF=2ZBEC=60°,

DF為OO的切線，

/.OF±DF,

：.ZD=900-ZDOF=90°-60°=30°.

VOE=OB,ZABE=60°,

???AEOB為等邊三角形，

:點M為3E中點，

AZBOM=3Q°,OMLBE,

ZMOF=NDOF+ZBOM=60°+30°=90°,

設(shè)。。半徑為r,

在RtAOBM中，OM=sin60°OB=—r,

2

'：MF=A/14-OF=r,

.??RtzXOMr中，根據(jù)勾股定理可得：OM2+OF2=MF2,

即+r2=(714)2,解得：r=2日

A。。半徑為2a.

【點睛】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理，圓的切線的定義，直角三角形兩

個內(nèi)角互余，勾股定理等相關(guān)知識.

26.已知二次函數(shù)y=以2+法+3的圖象經(jīng)過點(1,3).

(1)用含〃的代數(shù)式表示b;

(2)若該函數(shù)的圖象與x軸的一個交點為(-2,0),求二次函數(shù)的解析式；

(3)當(dāng)。<0時，該函數(shù)圖象上的任意兩點P(玉,%)、。(%2，%)，若滿足%=-1，%〉為，求巧的取

值范圍.

【答案】(1)b=-a

1,1

(2)y=—xH—x+3

22

(3)x2<-1或尤2>2

【解析】

【分析】(1)把(L3)代入丁=以2+法+3可得關(guān)于。和b的等式，再進行整理即可；

⑵把(1,3),(一2,0)代入y=以2+法+3,求出a和6的值即可；

(3)先求出函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)函數(shù)的開口方向和增減性即可進行解答.

【小問1詳解】

解：把(1,3)代入y=ax?+法+3得：

3=a+Z?+3,

整理得：b=—a.

【小問2詳解】

把(1,3),(一2,0)代入y=ax2+/zx+3可得：

3=a+b+3

，解得：＜

0=4a—2b+3

11。

該二次函數(shù)的解析式為:y——x2H—x+3.

22

【小問3詳解】

由(1)可矢口，b=—a

b—a1

2a2a29

Va<0,

.,.函數(shù)開口向下，

,在對稱軸左邊，y隨x增大而增大；在對稱軸右邊，y隨x增大而減??；當(dāng)x=1■時，函數(shù)取得最大值;

：X]=-1,%>為，

???點尸在對稱軸左側(cè)，

①當(dāng)點尸和點。在對稱軸同側(cè)時：％2<%1，即犬2<-1，

②當(dāng)點尸和點。在對稱軸兩側(cè)時:

：X]=-1,

13

，帶你P到對稱軸的距離=——（-1）=—,

2v72

113

點尸關(guān)于直線x=—的對稱點的橫坐標為：^+4=2

222

>2.

綜上：々<一1或%>2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練

掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.如圖，在三角形ABC中，ZBAC=90°,=點P為內(nèi)一點，連接AP,BP，CP,

將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AP'，連接PP，CP'.

（1）用等式表示CP'與6F的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）當(dāng)NBPC=135°時，

①直接寫出NP'CP的度數(shù)為；

②若加為的中點，連接請用等式表示與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）CP'=BP,證明見解析

（2）①NPC尸=45°,②AP=&M，證明見解析

【解析】

【分析】（1）通過證明6Pg△ACP,即可得出結(jié)論；

（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出ZPBC+NPCB=45°,ZABC+ZACB=90°,即可得出

ZABP+ZACP=45°,再根據(jù)即可得出結(jié)論；②延長至點。使PM=MQ,

連接CQ，先證明V5PM至VCQM,得出3P=CQ,ZPBC=ZMCQ,再證明VPC。4VPCP,得

出PQ=PP,再根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系，即可進行解答.