2020年度歷年自考04184線性代數(shù)試題真題模擬及答案分析解答

歷年自考04184線性代數(shù)試題真題及答案

分析解答

資料僅供參考

全國4月高等教育自學考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)

試題答案

一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分,

共20分)

1.已知2階行列式鳳%=〃，貝!4％=

b}b2qc2|a}+c]a2+c2

(B)

A.m-nB?n-mC?m+nD?—(m4-n)

由h2仇h2h\h2

+=-m+〃=?

a〕+qa24-c2%a?

2.設4,B,。均為z?階方陣，AB=BA,AC=CA9則

ABC=(D)

A.ACBB.CABC.CBAD.BCA

ABC=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=BCA.

3.設2為3階方陣,，為4階方陣，且IA又，…

則行列式3川之值為(A)

A.-8B.-2C.2D.8

||B|A|=|-2A|=(-2)3|A|=-8.

(a、“13)

\\a%l3%2<10q00、

\2。13o'

4.A二a2\a22〃239B=a2\3a22a23，p=030，0=310,則

a00

/31。3233)3〃32<01><o1,

B=(B)

A.PAB.APC.QAD.AQ

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"?11a

412^13V100、\\3%2。13

AP=〃21B.

a22a23030a2\3a22。23

aa

〃32033>、00L3\3a3?33)

5.已知A是一個3x4矩陣，下列命題中正確的是

(C)

A.若矩陣4中所有3階子式都為0,則秩儲)=2

B.若4中存在2階子式不為0,則秩(4)=2

C.若秩(2)=2,則Z中所有3階子式都為0

D.若秩(2)=2,則2中所有2階子式都不為0

6.下列命題中?錯?誤的是(C)

A.只含有1個零向量的向量組線性相關B.由

3個2維向量組成的向量組線性相關

C.由1個非零向量組成的向量組線性相關D.2

個成比例的向量組成的向量組線性相關

7.已知向量組即％.線性無關，%尸線性相關，

則(D)

A.%必能由a2M3,月線性表出B.夕2必能由a1,4,夕

線性表出

C.%必能由％為夕線性表出D.夕必能由即%,%

線性表出

注：W是%,%,。3'夕的一■個極大無關組.

8.設2為心〃矩陣，，"〃，則方程組4尸0只有零解

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的充分必要條件是4的秩（D）

A.小于卬B.等于rC.小于刀

D.等于Z7

注：方程組2尸0有〃個未知量.______________

9.設4為可逆矩陣，則與4必有相同特征值的矩

陣為（A）

2

A.ATB.AC.A-ID.A*

\AE-AT|=|（2E-A）r\=\AE-A\9因此A與“有相同的特征值.

2

10.二次型/（X1,X2,X3）=X1+X2+X；+2xtx2的正慣性指數(shù)為

（C）

A.0B.1C.2D.3

/（X],）—（X]+盯）2+石=y；+貨,正慣性指數(shù)為2.|

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共

20分）

口?行列式黑黑的值為-------------

200720082000200078

=+=—2?

2009201020002000910

12.設矩陣叱二；,哪>則A"

(\2V、/22、

(20、

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13.設a=(3,—1,0,2)7,=⑶i,_i,4)r,若向量/滿足2a+/=3/，

貝！I/=?

y=3/3-2a=(9,3-3,12)7-(6-2,0,4)r=(3,5,-3,8)7.

14.設4為〃階可逆矩陣，且\A\=n--，則

|IA-1|=.

15.設2為刀階矩陣，8為〃階非零矩陣，若8的

每一個列向量都是齊次線性方程組2年0的解，則

IA1=?

〃個方程、〃個未知量的4歸0有非零解，則⑷=0.

16.齊次線性方程組°的基礎解系所含解

2工］-x24-3X3=()

向量的個數(shù)為

\基礎解系所含解向量的個數(shù)

IZ—1JJ(U-J1.

n—r=3—2=1.

17.設Z7階可逆矩陣Z的一個特征值是一3,則矩陣

必有一個特征值為.

4有特征值-3,則次有特征值*3)2=3,有特

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征值「

1-2-2、

18.設矩陣.-2x0的特征值為4,1-2，則數(shù)

-200;

x=

由l+x+0=4+l-2,得釬2.

1/V20、

19.已知A一/近b0是正交矩陣，則

001

/

a+b=

由第1、2列正交，即它們的內(nèi)積9+…得

a+h=0.

20.二次型f(x},x2,x3)=-4%jx2+2芭x3+6X2X3的矩陣是

(0-21、

-203*

l]30,

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共

54分）

abc

21.計算行列式止a2b2c2的值.

3

4-ab+b3c+c3

abcb111

解：D=abc2b-2=abcabc

a+a3h+h3c+c,33h3,3a2b2c2

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0b-a

c-a

0b~-a

=abc(b-a)(c-a)-abc(b-a)(c-a)(c-b)?

22.已知矩陣8=(2,1,3)，C=(1,2,3),求⑴A=BTC;(2)

A2?

46、

A=BTC23

69,

(2)注意到CBT=(1,2,3)=13,因此

A2=(BrC)(BrC)=Br(CBr)C=13BrC=13A=13123

、369,

TTTT

23.設向量組a,=(2,l,3,D,a2=(l,2,0(l),?3=(-1,1,-3,0),a4=(1,1,1,1)，

求向量組的秩及一個極大線性無關組，并用該極

大線性無關組表示向量組中的其余向量.

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，21-11、(\10<1101、

121112110110

解:A=(。］,%，。3，。4)=—>->

30一3130-310-3-3-2

110V121-1J1°TT

口101、01o1]<10-10

01100110011

—)°，向量組的秩為

000-20001^0003,

、000-1J(0000；10000J

%,%是一個極大無關組,=-ax+a2?

—...4123、‘-14、

24.已知矩陣4=012,8=25(1)求「；(2)

、00"J-3,

解矩陣方程心=5.

23100、<12010-3、

解:(1)(A,E)=012010->01001-2

、001001J1001001,

001-21、(1-21

―01001-29A-1=01-2

k001001;I。。1,

(\-21V-14)f-4-9、

(2)X=A-]B=01-225=011

1

3

ko0八1-3JI1~>

x+2x+=4

25.問a為何值時，線性方程組「二有惟一

2可+2X2+3/=6

解？有無窮多解？并在有解時求出其解(在有無

窮多解時，要求用一個特解和導出組的基礎解系

表示全部解).

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234]門234、p234、

解:(A,b)=02a202a2T02a2

3236,、°-2-3-2>,00a-3°,

X時r(A,Z?)=r(A)=39有惟解，此時

q234、[1204、

(A,b)f02a2->0202

、0010>、0010>

’1002、p002、=2

->0202T0101=19

、0010>,0010>尤3=0

q=3時，r(A,b)—r(?4)=2<n，有無窮多解，此時

'1234、

(A,b)f0232

、0000>

X1=2

’1002、n002、，2、、

0232013/219=1-1，通解為1+k-3/29

000o><000°,°1

、=巧7

其中人為任意常數(shù).

(200、

26.設矩陣A=3a的三個特征值分別為3,求正

a3,

00、

的常數(shù)》的值及可逆矩陣尸，使P-'AP=020

1°05,

200

解:由|川=03〃=2=2(9-?2)=1X2X5，得小=4,。=2?

3

0。3

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p-200、

AE-A=02-3-2

<0-2

對于4=1,解(2E-A)x=0：

00、<100、%1=010、

AE-A=0-2-2T011，<X2=-x3，Pl=-1；

X=X

-2<0°0)33I1,

對于%=2,解(檢-A)x=0：

<000、’010、x\=x\

AE-A=0-1-2-?ooi9<々=0，

、0-2-L、0oo>*3=0

對于4=5,解（花-A）x=0：

'300](\00、

AE-A=02-2-?01-1，

、0-2JI。00,

，010、

令P=（Pl，P2，P3）=-101，則p是可逆矩陣，使

J0

<100、

P-'AP=020

、005,

四、證明題（本題6分）

27.設J,B,A+8均為n階正交矩陣，證明

(A+B)T=AT+B-'.

證：A,B,A+B均為〃階正交陣，則9一,i,

(A+8)7=(A+B『,因此

(A+3)T=(A+B)T^AT+BT^A-'+B

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全國7月高等教育自學考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）

試題答案

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分,

共20分）

1.設3階方陣A=(a1,a2,a3),其中ai(I=1,2,3)為z的列

向量，若\B\=|((z,+2a2,a2,a3)l=6f則|A|=(C)

IA1=1(%,H+2a2,。2，。3)1=6?

A.-12B.-6C.6D.12

30-20

2.計算行列式：:50(A)

-20一

-23-23

A.-isoB.-i2oC.120D.180

30-20

30-2

2105030

=3x2105=3x(—2)x=3x(—2)x30=—180?

00-20210

00-2

-23-23

3.若4為3階方陣且*1=2,則12Al=(C)

A.1B.2C.4D.8

2

1、1

\A\=-9|2A|=23IA|=8x-=4.

22

4.設即％%都是3維向量，則必有(~~B~~)

A.線性無關B.線性相

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關

C.%可由％,%,%線性表示D.必不可由

5.若4為6階方陣，齊次方程組力廣0基礎解系

中解向量的個數(shù)為2,則《)=(C)

A.2B.3C.4D.5

由6-r(A)=2,得r(A)=4.

6.設2、B為同階方陣，且r(A)=r(8),則(C)

A.Z與8相似B.|A|=|B|c.Z與8等價

D.4與B合同

注：z與人有相同的等價標準形.一

7.設2為3階方陣，其特征值分別為2,1,0,則|A+2E|=

(D)

A.0B.2C.3D.24

A+2E的特征值分別為4,3,2，|A+2E|=4x3x2=24?|

8.若力、B相似，則下列說法?錯?誤的是(B)

A.4與*等價B.Z與9合同C.\A\=\B\D.A

與，有相同特征值

注：只有正交相似才是合同的.

9.若向量?=(1-2,1)寫齊=(2,3,/)正交，則”(D)

A.-2B.0C.2D.4

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由內(nèi)積2-6+/=0,得".I

10.設3階實對稱矩陣Z的特征值分別為2」,0,則

(B)

A.Z正定B.4半正定C.Z負定

D.4半負定

對應的規(guī)范型2z；+z；+()z”()，是半正定的._______

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共

20分)

11.設A=01，B=[1二],則45=________________________,

I4)I。T

(3-2V(65-31

\21-1、1

AB=J0A1"=[0…-1.0J_._____________________________________

12.設力為3階方陣，且⑷=3，則

134-|=.

|3A-1|=33|A-1|=33?—=33'=9.

IA|3

13.三元方程Xj+x2+x3=1的通解是一

X：=1,通解是0+占1+%20?

巧=%3⑹[。JI1)

14.設a=(—1,2,2)9則與a反方向的單位向量是

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15.設2為5階方陣，且r(A)=39則線性空間W={x\Ax=O}

的維數(shù)是

W={x|Ax=O}的維數(shù)等于Ar=O基礎解系所含向量的個

第：-5-3=2.

16.

53

|5A-1|=53?—=-125.

\A\-2x(l/2)xl

17.若4B為5階方陣，且加只有零解，且r(B)=3，

則r(AB)=.

Ar=O只有零解，因此A可逆，從而r(AB)="8)=3?

(2一10、

18.實對稱矩陣—1。1所對應的二次型

[011J

+x；-2x)4-2XX?

/(%!,x2,x3)=x223

1]j-1、

19.設3元非齊次線性方程組心哥有解行29a2=2

、3,

且r(A)=29則Ar=Z?的通解是

-(al-a2)=是Ax=0的基礎解系，4“的通解是

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3(1、

2+k0

、3,g

rn

20.設立2，則A=W的非零特征值是

①

由/a=(1,2,3)2=14,可得1=a(aTa)a7=14。/=14A9設A的非

零特征值是，,

則#=14；1,2=14?

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共

54分)

20001

02000

21.計算5階行列式人00200

00020

10002

解：連續(xù)3次按第2行展開，

2001

201

020021

D=2x=4x020=8x=8x3=24?

002012

10

1002

(20o]p00W1-43

22.設矩陣了滿足方程0-10X001=20-19求

<002J[。1Oj11-20

X.

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<200、00、-43、

解：記A=0-10B001c=20-19則AXB=C

00-20

1°2J0J7

1/20000、

]

A-009009

001/2J(°0J

00-4300、

1

X=A-lCB^10-2020-100

2

001-200

1-43W100、13-4A

-40200-420

22

1-20J00J110~2)

X]+x-3X一工4=1

求非齊次線性方程組23

23.3x,-x2-3X3+4X4=4的通解.

Xj+5X2-9X3-8x4=0

1-3-11、1-3-11、'11-3-11、

解:(A,b)=3-1-344->0-4671->0-4671

J5-9-8（）/<04—6-7-1、00000>

’44-12-44、(40-635、」0-3/23/45/4、

f0—4671f0—4671->01-3/2-7/4-1/4

0oj[000

0000?k00000

<5/4、‘3/2、，-3/4、

-1/43/27/4

,通解為+k]十七，仆人都是任

010

<°，<1，

意常數(shù).

24.求向量組a,=(1,2,-1,4)，%=(9,100,10,4)，%=(-2,-4,2,-8)的秩

和一個極大無關組.

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19-2A(\9-2、19-2、

2100-4150-20410

解:(a1,a；,a；)二->

-1102-11020190

44-81一2,0—80>

19-2、10-2、

010010

->->向量組的秩為2,即見是一個

000000

000>000,

極大無關組.

2-12、

25.已知A=5a3的一個特征向量m)T，求a力及

-1b-2,

〈所對應的特征值，并寫出對應于這個特征值的全

部特征向量.

解：設幾是4所對應的特征值，則輻=芯,即

(2-12、(1(—1、3

5a311,從而a+2A，可得=—3,Z?=094=—1；

、一1b-2,

對于4=-1，解齊次方程組(2E-A)x=0Z

'7-21-2‘-31-2、101\101\

AE-A=-54+3-3-52-3->-52-3022

、102+27、10L、一31-270117

'101為=一/r-i}

基礎解系為-1,屬于6T的全部特

01IX2=~X39

11,

、000,x3=X3

(-1

征向量為k-1“為任意非零實數(shù).

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-211-2、

26.設人=1-21a，試確定“使"A)=2.

、11-22,

，-211-2\(11-22Ap1-22、

解:A=1-21a-211-2-03-32

-22J[1-21

i11a,、0—33ci—2)

’11—221

303-32，。=0時r(A)=2?

、000%

四、證明題(本大題共1小題，6分)

27.若OC?,OC2,OC3是Ax—b(b#0)的線性無關解，證明

%-即是對應齊次線性方程組-=0的線性無關

解.

證：因為1%,%,由^^Ax=b的解，因此一%,%-%是Ax=0的

解；

kx(a2-a1)+k2(?z3-<2,)=0,BP(-^-k2)a\+k]a2+k2a3=0,四,%,由

線性無關，得Hi，只有零解&=%2=0，因此

k2=0

a2I線性無關.

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全國1月高等教育自學考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

課程代碼：04184

說明：本卷中，々表示方陣4的逆矩陣，下儲）表

示矩陣4的秩，（“）表示向量“與〃的內(nèi)積,

月表示單位矩陣，|4|表示方陣Z的行列式.

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分,

共20分）

1.設行列式=4,則行列式

。31。32。33

資料僅供參考

2ali2〃]22a[3_(、

a2\a22a23-()

3。313〃323〃33

A.12B.24

C.36D.48

2.設矩陣4B,C,1為同階方陣，且4

B可逆，AXB^C,則矩陣乒()

A.AXCBXB.CAXBV

C.B/CD.由才

3.已知才+正后。，則矩陣不二()

A.A-EB.~ArE

C.A^ED.-A\E

4.設%,a2,。3,"4'是四維向量，則（)

A.%,%，03。4，。5一定線性無關&],a2，。3，。4，。5

定線性相關

C.%一定能夠由4g?，%線性表示D.叫一定

能夠由%gg,%線性表出

5.設Z是刀階方陣，若對任意的Z7維向

量X均滿足2尸。,則（）

A.A=OB.A=E

C.r(J)-nD.0<r(A)<(n)

6.設4為〃階方陣，r(A)</7,下列關于

資料僅供參考

齊次線性方程組Ax=O的敘述正確的是

()

兒4戶0只有零解民2尸0的基礎解系含

下儲)個解向量

C.Ax=O的基礎解系含kr(Z)個解向量

及2尸0沒有解

7.設位2是非齊次線性方程組A"b的兩

個不同的解，貝!|()

A.%+%是A"b的解B.…是A"b的解

C.37一2力是Ax=b的解D.25-3%是Ax=b的

解

「390~1

8.設4，乙，4為矩陣左…5的三個特征

002

值，貝！()

A.20B.24

C.28D.30

9.設尸為正交矩陣,向量”的內(nèi)積為(a,Q

=

2,貝!j(Pa,PQ)=()

A.1B.1

2

aID.2

資料僅供參考

10.二次型

X；+巖+君+2X|X+2X|x+2XX的秩為

f(x\,x2,③)=2323

()

A.1B.2

C.3D.4

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共

20分)

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、

不填均無分。

11.行列式7廣=0,則

2k-\

k=.

12.設相［；；］,4為正整數(shù)，則

/=.

13.設2階可逆矩陣A的逆矩陣4可；：］，則矩

陣￡.

14.設向量4(6,-2,0,4),嚴(-3,1,5,

7),向量/滿足2a+y=3j3,則

Y~_________________________?

15.設2是RX/7矩陣，A爐0,只有零解，則

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r(A)=.

16.設％,%是齊次線性方程組2尸。的兩個解，

貝［|4(3%+7a2)=.

17.實數(shù)向量空間片{(豆,蒞,禹)|豆-苞+斤0}

的維數(shù)是.

18.設方陣A有一個特征值為0,則

I*=.

19.設向量臼=(-1,1,-3),?2=(2,-1,A)

正交，則尸.

20.設fix’,蒞，扁)二元:+4^2+2x；+2tx1x2+2XjX3是正定二

次型，則力滿足.

三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共

54分)

21.計算行列式“一7U-c2：

2c2cc-a-b

~ii_i

22.設矩陣2-.；5,對參數(shù)大討論矩陣A

110-61

的秩.

I3i_i4

23.求解矩陣方程25I后52

0011-3

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24.求向量組:3j的

-3

一個極大線性無關組，并將其余向量經(jīng)過該極大

線性無關組表示出來.

25.求齊次線性方程組1的一個基

Xj-212+3與+=0

礎解系及其通解.

"232"

26.求矩陣is2的特征值和特征向量.

-2-14-3

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27.設向量％,如，….，處線性無關，證

明：%+叼，a2,…，如線性無關.

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全國1月高等教育自學考試

線性代數(shù)（經(jīng)管）試題參考答案

課程代碼：04184

單項選擇題

1、B2、A3、C4、B5、A6、C7^C8、B9、D10、A

二、sss

-21

13、3_2I

.2~2.

14^(-21,7,a+6+ca+b+c?a+b+c

17^212bb-a-c2b

2c2cc-a-b

三、11計算題

~{a+b+c)2bb-a—c2b

2c2cc-a-b

解:原行列

式

=(a+b+c)3

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22.：對矩陣實行初等變換,得

1221-12

A2-102+21

11010-5-1

121000

01+22-1000-1

09-3A000A-30

當兀=3時，A的秩為2

當時，A的秩為3

23.：由于04：E）實行10等

100-5-532

0-10-22-1-1

0010001

一）32

所以Z可逆，且4二2-1-1

001

故原矩陣方程變?yōu)?

24.：以所有向量為列向量形成4x4矩陣，然后對該矩陣施行初等行變換化為簡化行

階梯形矩陣

-123

2512

-1-61-7

-2-51-3

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案第2頁（共4頁）

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123-f

01-54

0-44-8

0-17-5

0013-9

011-54

000-21

00000

10-50

-0130

f00-21

0000

所以其一個極大線性無關組為：6,恁，?4

且“3=W5<ZI+3(Z2-2q

25.解：利用行初等變換將該線性方程組的系數(shù)矩陣化為行簡化的階梯形矩陣

53

A=2-4

3

-1310

0-7-70-1

077000

所以原方程組等價于其中七,乙為自由未知量

令囿心心

得其一組基礎解系為:

原方程組的通解為:

4=3+&&=4]+

0

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案第3頁（共4頁）

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z-2-3-2|2-2-3-2

26.解：|/￡-胃=—12-8一2=—1A—8-2

214A+3|02A-22-1

|2—21-21、

②+③x(—2)—12-4-2=(A-l)(A-3)2

1

100A-1

所以”的特征值為1,3（二重）

對2=1，解齊次線性方程組（E-/1）X=。

得再（天為自由未知量）

令》3=1,得屬于1的全部特征向量為

，-2、

k0,e）為任意常數(shù).

J>

對2=3,解齊次線性方程組（,3E-A）X=0

1.

玉=尹.

得，，］，其中不為自由未知量

XL/

令馬=2,得4的屬于特征值3的全部特征向量為

T、

I-1為任意常數(shù).

J,

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27.證明：設有一組數(shù)5