人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教案1 1 .2 .2 三角形的外角

11.2.2三角形的外角

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與能力

1.理解三角形的外角的概念.

2.探索并證明三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，

能運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問題.

過程與方法

在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，逐步

養(yǎng)成數(shù)學(xué)推理的習(xí)慣.

情感態(tài)度與價(jià)值觀

體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，增強(qiáng)克服困難的勇氣和信心.

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：1.理解三角形的外角的概念.

2.掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

難點(diǎn)：掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

教師出示問題：在一次飛機(jī)模型的設(shè)計(jì)大賽上，李東與王師傅在做最后的

準(zhǔn)備工作，其中需要一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定NA應(yīng)等于90°，/

B,NC應(yīng)分別等于32°和21°,李東量得3BDC=148°,話音剛落，王師傅就

脫口而出：這零件不合格.

c

A'----J-----'-B

教師:聰明的同學(xué)，你知道王師傅的判斷依據(jù)是什么嗎？通過這節(jié)課的

學(xué)習(xí)，我們就可解決上面問題.

二、探究歸納

活動(dòng)一：探索三角形外角的特征

【問題】

1.三角形內(nèi)角和為.在4ABC中，若NA=35°,NABC=80°,則N

C=.

2.如圖，在上題圖中，若將邊CB延長(zhǎng)至D,則可以得到一個(gè)新卜

角,這個(gè)角還是三角形的內(nèi)角嗎？/\

概念:三角形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，叫做CB

三角形的外角.

教師要求學(xué)生按照對(duì)外角概念的理解在紙上畫出三角形的外角，并進(jìn)行點(diǎn)

評(píng).

鞏固練習(xí)：（1）Z1是哪個(gè)三角形的外角？（N1是AABD的外角.）

（2）Z2是哪個(gè)三角形的外角？（N2是4PDC的外角）

A

B■C

點(diǎn)撥:三角形的外角的三個(gè)特征：（1）頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上.（2）一條

邊是三角形的一條邊.（3）另一條邊是三角形的某條邊的延長(zhǎng)線.三角形每

個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，但這兩個(gè)是對(duì)頂角.

根據(jù)不同的結(jié)果,提出：一個(gè)三角形有多少個(gè)外角？每個(gè)外角與內(nèi)角有什么

關(guān)系？

活動(dòng)二:探索與證明三角形的外角的性質(zhì)：

【問題】三角形的外角與內(nèi)角有什么關(guān)系？

首先,從相等關(guān)系出發(fā),觀察我們最熟悉的這個(gè)三角板：

發(fā)現(xiàn)：（l）NACD+NACB=180°（相鄰），

點(diǎn)撥:位置關(guān)系：外角與它相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角.

數(shù)量關(guān)系:三角形的一個(gè)外角與它相鄰內(nèi)角的和是180°

⑵三角形的一個(gè)外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之間有何關(guān)系？

NACD=NA+NB（不相鄰）.

即:三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

活動(dòng)三:證明三角形外角的性質(zhì)

【問題】思考：如何說明NACD=NA+NB?你能寫出證明過程嗎?

解:方法1:如圖，因?yàn)镹ACD+NACB=180°（鄰補(bǔ)角的定義）,

所以NACD=180°-ZACB,

又因?yàn)镹A+NB+NACB=180°（三角形內(nèi)角和定理），所以NA+NB=180°

-ZACB,所以NACD=NA+NB（等量代換）.

方法2:如圖，過點(diǎn)C作CE〃AB.因?yàn)镃E〃AB（已俏，

A

BCD

所以NECD=NB（兩直線平行，同位角相等），

NACE=NA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

所以ZACD=ZACE+NECD=ZA+ZB（等量代換）.

其他方法：

總結(jié)：三角形外角的性質(zhì)：1.三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)

角的和.這是三角形內(nèi)角和定理的推論.

2.推論是由定理直接推出的結(jié)論，和定理一樣，推論可以作為進(jìn)一步推理

的依據(jù).

【拓展】（1）三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

A

BCD

⑵符號(hào)表示：NACD>NA,ZACD>ZB

活動(dòng)四：探索三角形的外角和

【問題】

1.定義（規(guī)定）：如圖所示,在每一個(gè)頂點(diǎn)上取一個(gè)外角，如Nl,Z2,N3,它

們的和叫做三角形的外角和.

2.三角形外角和定理：

如圖，Zl,Z2,Z3是三角形ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少?

分析：Z1與NBAC,Z2與NABC,Z3與NACB有什么關(guān)系？NBAC,ZABC,Z

ACB有什么關(guān)系？

方法一:根據(jù)同頂點(diǎn)的外角與內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角和三角形內(nèi)角和定理證明；

方法二：根據(jù)一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和及三角形內(nèi)角和定

理證明.

解：方法一：因?yàn)镹l+NBAC=180°,N2+NABC=180°,Z3+ZACB=180°,

所以Nl+NBAC+N2+NABC+N3+NACB=540°.

又NBAC+NABC+NACB=180°,

所以Nl+N2+N3+180°=540°.

所以Nl+N2+N3=360°.

方法二：因?yàn)镹1=NABC+NACB,Z2=ZBAC+ZACB,Z3=ZABC+ZBAC,

所以N1+N2+N3=NABC+ZACB+ZBAC+ZACB+ZABC+ZBAC=2(ZABC+Z

ACB+

ZBAC)=2X180°=360°.

學(xué)生思考別的解法,教師訂正：

方法三:通過添加平行線,根據(jù)：“兩直線平行，同位角相等”證得結(jié)論.

過A作AD〃BC,

所以/3=N4,Z2=ZBAD,

所以N2+N3=N4+NBAD,

所以N1+N2+N3=N1+N4+NBAD=36O°.

你能用語言敘述本例的結(jié)論嗎?

總結(jié)：三角形外角和性質(zhì)：三角形外角的和等于360°.

注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，是外

角數(shù)目一半的和?同一頂點(diǎn)上的內(nèi)、外角互為鄰補(bǔ)角是內(nèi)、外角關(guān)系轉(zhuǎn)換

的最基礎(chǔ)的依據(jù).

活動(dòng)五:例題講解

【例1］如圖，D是NABC的BC邊上一點(diǎn)，ZB=ZBAD,ZADC=80°,Z

BAC=70°.AD平分NBAC.

求：（1）ZB的度數(shù).（2）ZC的度數(shù).

分析：（1）先由三角形外角的性質(zhì)得出NADC=NB+NBAD,再由NADC=80°,

ZB=ZBAD即可得出NB的度數(shù).

⑵直接根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出ZC的度數(shù).

解：（1）因?yàn)镹ADC是AABD的一個(gè)外角，

所以NADC=NB+NBAD,

又因?yàn)镹ADC=80°,ZB=ZBAD,

所以NBjNADC』X80°=40°.

22

⑵在aABC中，因?yàn)镹BAC+NB+NC=180°,

所以NC=180°-ZB-ZBAC=180°-40°-70°=70°.

［例2］已知:如圖，在AABC中,AD平分外角NEAC,ZB=ZC.

求證：AD〃BC.

E,

BL二------------

分析：由角平分線定義可得NC』NEAC,再由三角形外角性質(zhì)可得NDAC=N

2

C,然后利用平行線的判定定理即可證明題目結(jié)論.

證明：因?yàn)镹EAC=NB+NC（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角

的和），NB=ZC（已知），所以NC=%NEAC（等式性質(zhì)）.

2

因?yàn)锳D平分NEAC（已知）.

所以NDACjNEAC（角平分線的定義）.

2

所以NDAC=NC（等量代換）.所以AD〃BC（內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行）.

［例3］如圖,一個(gè)直角三角形紙片，剪去直角后,得到一個(gè)四邊形,則N1+

Z2=.

A

BC

解：由三角形外角性質(zhì)定理可知，Nl=90°+ZAED,Z2=90°+NADE,所以

Z1+

Z2=90°+ZAED+900+ZADE.

因?yàn)?0°+ZAED+ZADE=180°,

所以Nl+N2=180°+90°=270°.

答案：270°

【例4】已知：國(guó)旗上的正五角星形如圖所示.

求：NA+NB+NC+ND+NE的度數(shù).

A

BE

CD

分析:設(shè)法利用外角把這五個(gè)角“湊”到一個(gè)三角形中，運(yùn)用三角形內(nèi)角和

定理來求解.

解：因?yàn)镹1是ABDE的一個(gè)外角（外角的定義），

所以N1=NB+ND（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）.

又因?yàn)镹2是AEHC的一個(gè)外角（外角的定義），

所以N2=NC+NE（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）.

又因?yàn)镹A+N1+N2=18O°（三角形內(nèi)角和定理）.

所以NA+NB+NC+ND+NE=180°（等式性質(zhì)）.

總結(jié):運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)可得五角星五個(gè)角的和是180°.

三、交流反思

1.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握探索的步驟:觀察一一歸納一一猜想一一證明.

2.通過本節(jié)課探索得到三角形的外角的性質(zhì)，能運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)解

決簡(jiǎn)單問題.

四、檢測(cè)反饋

1.如圖,CE是AABC的外角NACD的平分線，若NB=35°,NACE=60°,則N

A=

（）

A.35°B.95°C.85°D.75°

2.如圖,AB〃CD,NB=68°，/E=20°,則ND的度數(shù)為（）

A

A.28°B.38°

C.48°D.88°

3.將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的直角邊和含45°角

的三角板的一條直角邊在同一條直線上,則N1的度數(shù)為（）

A.75°B.65°C.45°D.30°

4.如圖，已知NCAE是4ABC的外角，AD〃BC,且AD是NEAC的平分線.若N

B=71°,則NBAC=.

5.右圖是某工廠生產(chǎn)的一種零件，如果三個(gè)銳角的和為135。，則

說明該零件合格,工人師傅卻只測(cè)量NADC的度數(shù)就能判斷零件是

否合格,你能解釋其中的道理嗎？

6.如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF的度數(shù).

D

E

7.如圖為蛻化的五角星，它們的五個(gè)角之和與五角星五個(gè)角的和仍然相等

嗎？為什么？

8.如圖,AC,BD相交于點(diǎn)0,BP,CP分別平分NABD,ZACD,且交于點(diǎn)P.

⑴若NA=70°,ND=60°,求NP的度數(shù).

⑵試探索NP與NA,ND間的數(shù)量關(guān)系.

五、布置作業(yè)

教科書第17頁第6,11題

六、板書設(shè)計(jì)

11.2.2三角形的外角

一、定義:三角形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形

的外角.

二、性質(zhì)

1.三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和