專題40二項(xiàng)分布與正態(tài)分布（理科）（教師版）

專題40二項(xiàng)分布與正態(tài)分布（理科）（核心考點(diǎn)精講精練）1.近幾年真題考點(diǎn)分布概率與統(tǒng)計(jì)近幾年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年全國乙（文科），第4題,5分莖葉圖計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、概率2022年全國乙（文科），第14題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第10題,5分互斥事件、獨(dú)立事件求概率2022年全國乙（理科），第13題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第19題,12分2022年全國乙（文科），第19題,12分（1）求平均數(shù)；（2）求相關(guān)系數(shù)（3）估算樣本量2022年全國甲（文科），第17題,12分（1）求概率；（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)2022年全國甲（文科），第6題,5分古典概型2022年全國甲（理科），第19題,12分（1）求概率；（2）離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望2022年全國甲（理科），第15題,5分古典概型立體幾何2022年全國甲（理科），第2題,5分2022年全國甲（文科），第2題,5分眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)比較，求極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差2023年全國乙（文科），第9題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國乙（理科），第5題,5分2023年全國乙（文科），第7題,5分幾何概型圓環(huán)面積2023年全國乙（理科），第9題,5分計(jì)數(shù)原理與排列、組合2023年全國乙（理科），第17題,12分2023年全國乙（文科），第17題,12分（1）求樣本平均數(shù)，方差；（2）統(tǒng)計(jì)新定義2023年全國甲（文科），第4題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國甲（理科），第6題,5分條件概率2023年全國甲（理科），第9題,5分計(jì)數(shù)原理與排列、組合2023年全國甲（理科），第19題,12分（1）離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)2023年全國甲（文科），第20題,12分（1）求樣本平均數(shù)；（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.二項(xiàng)分布與正態(tài)分布的關(guān)系主要在于當(dāng)二項(xiàng)分布的足夠大時(shí)，其成功次數(shù)和失敗次數(shù)的概率分布可以近似為正態(tài)分布。通過正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，可以計(jì)算出二項(xiàng)分布中成功的概率落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率。因此，二項(xiàng)分布和正態(tài)分布在一定程度上是相關(guān)的；2.二項(xiàng)分布的分布律為，二項(xiàng)分布在不考慮其結(jié)果的順序時(shí)，可用于對部分統(tǒng)計(jì)量的似然估計(jì)；【備考策略】1.理解二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念,能解決一些簡單的實(shí)際問題.2.了解正態(tài)分布的概念,并能借助正態(tài)分布曲線進(jìn)行簡單應(yīng)用.【命題預(yù)測】1.二項(xiàng)分布和正態(tài)分布是概率論中的重要概念，它們之間存在一定的關(guān)系。在二項(xiàng)分布中，每個(gè)試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果，即成功和失敗，而在正態(tài)分布中，每個(gè)隨機(jī)變量的取值都呈對稱分布；2.對于二項(xiàng)分布和正態(tài)分布之間的命題預(yù)測，需要結(jié)合具體的問題背景和數(shù)據(jù)特征進(jìn)行分析；知識講解一、二項(xiàng)分布1.重伯努利試驗(yàn)的特征(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做次;(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.2.二項(xiàng)分布一般地,在重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為,用表示事件發(fā)生的次數(shù),則的分布列為,.

如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,記作X~B(n,p).

3.二項(xiàng)分布的期望、方差如果~,那么np,np(1p).

二、超幾何分布1.超幾何分布一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有件,其中有件次品.從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回),用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù),則的分布列為,.

其中,,,.如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量服從超幾何分布.2.超幾何分布的期望設(shè)隨機(jī)變量服從超幾何分布,則.

三、正態(tài)分布1.正態(tài)分布函數(shù),其中為參數(shù),稱為正態(tài)密度函數(shù),的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.若隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)為,則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,記作~.

特別地,當(dāng)時(shí),稱隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.2.正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線是單峰的,它關(guān)于直線對稱;(2)曲線在處達(dá)到峰值;(3)當(dāng)無限增大時(shí),曲線無限接近軸.3.假設(shè)~,可以證明:對給定的,是一個(gè)只與有關(guān)的定值.特別地,(1)0.6827;

(2)0.9545;

(3)0.9973.

在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為原則.二項(xiàng)分布滿足的條件1.每次試驗(yàn)中,同一事件發(fā)生的概率是相同的;2.各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的;3.每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果,即事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生;4.隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù).解此類題時(shí)常用互斥事件概率加法公式,相互獨(dú)立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式.解決超幾何分布問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)超幾何分布是概率分布的一種形式,一定要注意公式中字母的范圍及其意義,解決問題時(shí)可以直接利用公式求解,但不能機(jī)械地記憶;(2)超幾何分布中,只要知道就可以利用公式求出取不同的概率,從而求出的分布列.解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1)對稱軸;(2)標(biāo)準(zhǔn)差;(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值;由分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為特殊區(qū)間,從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為.考點(diǎn)一、二項(xiàng)分布1．從一個(gè)裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1個(gè)，記X為取得紅球的次數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出從袋子中取出一個(gè)紅球的概率，進(jìn)而得到，利用二項(xiàng)分布的方差公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意得：從一個(gè)裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的袋子中取出一個(gè)球，是紅球的概率為，因?yàn)槭怯蟹呕氐娜∏?，所以，所?2．（2023年江蘇省模擬數(shù)學(xué)試題）一盒子中有8個(gè)大小完全相同的小球，其中3個(gè)紅球，4個(gè)白球，1個(gè)黑球.(1)若不放回地從盒中連續(xù)取兩次球，每次取一個(gè)，求在第一次取到紅球的條件下，第二次也取到紅球的概率；(2)若從盒中有放回的取球3次，求取出的3個(gè)球中白球個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）設(shè)事件“第一次取到紅球”，事件“第二次取到紅球”，求出，，再根據(jù)條件概率的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意服從二項(xiàng)分布，的可能取值為0、1、2、3，求出所對應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）設(shè)事件A=“第一次取到紅球”，事件B=“第二次取到紅球”，由于是不放回地從盒中連續(xù)取兩次球，每次取一個(gè)，所以第一次取球有8種方法，第二次取球是7種方法，一共的基本事件數(shù)是56，由于第一次取到紅球有3種方法，第二次取球是7種方法，，一次取到紅球有3種方法，第二次取到紅球有2種方法，，;（2）由題可知白球個(gè)數(shù)，且有，，故的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望為：.3．2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不斷，出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象.主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀(jì)念品在專賣店進(jìn)行售賣.已知這款紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為80元/件，為了確定其銷售價(jià)格，調(diào)查了對這款紀(jì)念品有購買意向的消費(fèi)者（以下把對該紀(jì)念品有購買意向的消費(fèi)者簡稱為消費(fèi)者）的心理價(jià)位，并將收集的100名消費(fèi)者的心理價(jià)位整理如下：心理價(jià)位（元/件）90100110120人數(shù)10205020x（單位：元/件），，且每位消費(fèi)者是否購買該紀(jì)念品相互獨(dú)立.用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，頻率視為概率.(1)若，試估計(jì)消費(fèi)者購買該紀(jì)念品的概率；已知某時(shí)段有4名消費(fèi)者進(jìn)店，X為這一時(shí)段該紀(jì)念品的購買人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)假設(shè)共有M名消費(fèi)者，設(shè)該公司售賣這款紀(jì)念品所得總利潤為Y（單位：元），當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價(jià)格x定為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【答案】(1)分布列見解析，期望為3.6；(2)當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價(jià)格定為110元多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值．【分析】（1）由調(diào)查表得出每個(gè)人購買紀(jì)念品的概念為，而，由二項(xiàng)分布計(jì)算概率的分布列，由二項(xiàng)分布的期望公式得期望；（2）利用二項(xiàng)分布的期望公式求出時(shí)的期望，比較得最大值．【詳解】（1）時(shí)，消費(fèi)者購買該紀(jì)念品的概率，由題意，，，，同理，，，，的分布列為：01234；（2）由（1）知時(shí)，（時(shí)等號成立），時(shí)，（時(shí)等號成立），時(shí)，（時(shí)等號成立），，因此最大，此時(shí)．所以當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價(jià)格定為110元多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值．4．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）某商場為了回饋廣大顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎活動，在抽獎箱中放10個(gè)大小相同的小球，其中5個(gè)為紅色，5個(gè)為白色.抽獎方式為：每名顧客進(jìn)行兩次抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個(gè)小球.如果每次抽獎摸出的兩個(gè)小球顏色相同即為中獎，兩個(gè)小球顏色不同即為不中獎.(1)若規(guī)定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進(jìn)行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)若規(guī)定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進(jìn)行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎方式中進(jìn)行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由.【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；(3)答案見解析；【分析】（1）根據(jù)古典概型的運(yùn)算公式，結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)古典概型的運(yùn)算公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，結(jié)合商場老板希望進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）若第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進(jìn)行第二次抽獎，則每次中獎的概率為，因?yàn)閮纱纬楠勏嗷オ?dú)立，所以中獎次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，所以的所有可能取值為，則，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望為.（2）若第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進(jìn)行第二次抽獎，中獎次數(shù)的所有可能取值為，則，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望為.（3）因?yàn)椋?）（2）兩問的數(shù)學(xué)期望相等，第（1）問中兩次獎的概率比第（2）問的小，即，第（1）不中獎的概率比第問小，即，回答一：若商場老板希望中兩次獎的顧客多，產(chǎn)生宣傳效應(yīng)，則選擇按第（2）問方式進(jìn)行抽.回答二：若商場老板希望中獎的顧客多，則選擇按第（1）問方式進(jìn)行抽獎.1．排球比賽實(shí)行“五局三勝制”，根據(jù)此前的若干次比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可知，在甲?乙兩隊(duì)的比賽中，每場比賽甲隊(duì)獲勝的概率為，乙隊(duì)獲勝的概率為，則在這場“五局三勝制”的排球賽中乙隊(duì)獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】乙隊(duì)獲勝可分為乙隊(duì)以或或的比分獲勝.然后分別求出各種情況的概率，加起來即可；也可以構(gòu)建二項(xiàng)分布模型解決.【詳解】解法一：乙隊(duì)獲勝可分為乙隊(duì)以或或的比分獲勝.乙隊(duì)以獲勝，即乙隊(duì)三場全勝，概率為；乙隊(duì)以獲勝，即乙隊(duì)前三場兩勝一負(fù)，第四場獲勝，概率為；乙隊(duì)以獲勝，即乙隊(duì)前四場兩勝兩負(fù)，第五場獲勝，概率為.所以，在這場“五局三勝制”的排球賽中乙隊(duì)獲勝的概率為.解法二：采用五局三勝制，不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中乙勝的局?jǐn)?shù)，則.乙最終獲勝的概率為.2．在一次以“二項(xiàng)分布的性質(zhì)”為主題的數(shù)學(xué)探究活動中，金陵中學(xué)高二某小組的學(xué)生表現(xiàn)優(yōu)異，發(fā)現(xiàn)的正確結(jié)論得到老師和同學(xué)們的一致好評．設(shè)隨機(jī)變量，記，，1，2，…，n．在研究的最大值時(shí)，該小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若為正整數(shù)，則時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若為非整數(shù)，當(dāng)k取的整數(shù)部分，則是唯一的最大值．以此為理論基礎(chǔ)，有同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)，當(dāng)投擲到第35次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)5次，若繼續(xù)再進(jìn)行65次投擲試驗(yàn)，則當(dāng)投擲到第100次時(shí)，點(diǎn)數(shù)1一共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大．【答案】15或16【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的知識，結(jié)合題目所給條件進(jìn)行計(jì)算，從而求得正確答案.【詳解】繼續(xù)再進(jìn)行65次投擲實(shí)驗(yàn)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，由，結(jié)合題中的結(jié)論可知，當(dāng)或時(shí)概率最大．即后面65次中出現(xiàn)11或10次點(diǎn)數(shù)1的概率最大，加上前面35次中的5次．所以出現(xiàn)15或16次的概率最大．3．某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案：應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題，按照題目要求獨(dú)立完成．規(guī)定：至少正確完成其中道題便可通過．已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．(1)求甲恰好正確完成兩個(gè)面試題的概率；(2)求乙正確完成面試題數(shù)的分布列及其期望.【答案】(1)；(2)分布列見解析，；【分析】（1）設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為，則的取值范圍是．然后求出即可；（2）設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為，則取值范圍是，求出取每個(gè)值時(shí)的概率，即可得分布列，然后根據(jù)二項(xiàng)分布期望的求法求解即可.【詳解】（1）解：由題意得：設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為，則的取值范圍是．；（2）設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為，則取值范圍是．，，，．應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)的分布列為.4．（2023屆遼寧省模擬調(diào)研卷數(shù)學(xué)試題）近年來，我國加速推行垃圾分類制度，全國垃圾分類工作取得積極進(jìn)展．某城市推出了兩套方案，并分別在A，B兩個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行．方案一：進(jìn)行廣泛的宣傳活動，通過設(shè)立宣傳點(diǎn)、發(fā)放宣傳單等方式，向小區(qū)居民和社會各界宣傳垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時(shí)間等，定期召開垃圾分類會議和知識宣傳教育活動；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內(nèi)分別設(shè)立分類垃圾桶，垃圾回收前端分類智能化，智能垃圾桶操作簡單，居民可以通過設(shè)備進(jìn)行自動登錄、自動稱重、自動積分等一系列操作．建立垃圾分類激勵機(jī)制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換禮品等，激發(fā)了居民參與垃圾分類的熱情，帶動居民積極主動地參與垃圾分類．經(jīng)過一段時(shí)間試行之后，在這兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問卷調(diào)查，記錄他們對試行方案的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組：并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)請通過頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表）；(2)估計(jì)A小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)；(3)以樣本頻率估計(jì)概率，若滿意度得分不低于70分說明居民贊成推行此方案，低于70分說明居民不太贊成推行此方案．現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，用X表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)方案一，二的滿意度平均得分分別為72.6，76.5，且方案二的措施更受居民歡迎；(2)第80百分位數(shù)為85分；(3)分布列見解析，4.【分析】（1）由頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)即可；（2）根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可；（3）由題意可得X滿足二項(xiàng)分布，然后進(jìn)行求解分布列和期望.【詳解】（1）設(shè)A小區(qū)方案一的滿意度平均分為，則，設(shè)B小區(qū)方案二的滿意度平均分為，則，因?yàn)?，所以方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎；（2）因?yàn)榍?組的頻率之和為，前5組的頻率之和為，所以第80百分位數(shù)在第5組，設(shè)第80百分位數(shù)為x，則，解得，所以A小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)為85分；（3）由題意可知方案二中，滿意度不低于70分的頻率為，低于70分的頻率為，現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，則，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，，，，，，，所以X的分布列為X012345P由二項(xiàng)分布知數(shù)學(xué)期望．考點(diǎn)二、超幾何分布1．從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設(shè)抽取的次品數(shù)為ξ，則E(5ξ＋1)＝（）A．2 B．1 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算方法，求出ξ的分布列，并求出，則.【詳解】的可能取值為.，，.∴的分布列為：ξ012P于是，故.2．在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布C．隨機(jī)變量服從超幾何分布 D．【答案】C【分析】由題意知隨機(jī)變量服從超幾何分布，利用超幾何分布的性質(zhì)直接判斷各選項(xiàng)即可．【詳解】解：由題意知隨機(jī)變量服從超幾何分布，故B錯誤，C正確；的取值分別為0，1，2，3，4，則，，，，，，故A，D錯誤．3．4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中，1，2，…，10．當(dāng)最大時(shí)，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）；(2)的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；(3)5；【分析】（1）由頻率分布直方圖列出方程，能求出的值，進(jìn)而估計(jì)出概率；（2）先按比例抽取人數(shù)，由題意可知此分布列為超幾何分布，即可求出分布列；（3）求出的式子進(jìn)行判斷.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得，，所以日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率為0.20；（2）由頻率分布直方圖得：這500名學(xué)生中日平均閱讀時(shí)間在，，，，，三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為：人，人，人，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從日平均閱讀時(shí)間在，內(nèi)的學(xué)生中抽?。喝耍F(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，，，，，的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.（3），理由如下：由頻率分布直方圖得學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率為0.50，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的分布列服從二項(xiàng)分布，，由組合數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)最大.1．有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從這些零件中任取3個(gè)，那么至少有1個(gè)是一等品的概率是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得都是二等品的概率為，求解計(jì)算即可.【詳解】全部都是二等品的概率為，故至少有1個(gè)是一等品的概率為.2．（2023屆湖北省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）某數(shù)學(xué)興趣小組為研究本校學(xué)生數(shù)學(xué)成績與語文成績的關(guān)系，采取有放回的簡單隨機(jī)抽樣，從學(xué)校抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學(xué)成績與語文成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：語文成績合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀503080不優(yōu)秀4080120合計(jì)90110200(1)根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？(2)在人工智能中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計(jì)中稱為似然比.現(xiàn)從該校學(xué)生中任選一人，表示“選到的學(xué)生語文成績不優(yōu)秀”，表示“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀”請利用樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)的值.(3)現(xiàn)從數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的樣本中，按分層抽樣的方法選出8人組成一個(gè)小組，從抽取的8人里再隨機(jī)抽取3人參加數(shù)學(xué)競賽，求這3人中，語文成績優(yōu)秀的人數(shù)的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.附：【答案】(1)認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)；(2)；(3)分布列見解析，.【分析】（1）零假設(shè)后，計(jì)算的值與比較即可；（2）根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可；（3）分層抽樣后運(yùn)用超幾何分布求解.【詳解】（1）零假設(shè)：數(shù)學(xué)成績與語文成績無關(guān).據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得：根據(jù)小概率值的的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，而認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)；（2）∵，∴估計(jì)的值為；（3）按分層抽樣，語文成績優(yōu)秀的5人，語文成績不優(yōu)秀的3人，隨機(jī)變量的所有可能取值為.，，，，∴的概率分布列為：0123∴數(shù)學(xué)期望.3．（2023年北京市模擬數(shù)學(xué)試題）地區(qū)期末進(jìn)行了統(tǒng)一考試，為做好本次考試的評價(jià)工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績在的為A等級，成績在的為B等級，其它為C等級．以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率．從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，求獲得等級的人數(shù)不少于2人的概率.【答案】(1)；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；(3).【分析】（1）根據(jù)頻率和為列方程計(jì)算求解；（2）由分層抽樣判斷得抽取的成績在的三組人數(shù)為，根據(jù)超幾何分布計(jì)算取對應(yīng)的概率，從而寫出分布列并計(jì)算期望；（3）根據(jù)頻率分布直方圖判斷出成績?yōu)锳,B,C等級的頻率分別為，可判斷出從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，獲得B等級的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布計(jì)算獲得B等級的人數(shù)不少于2人的概率.【詳解】（1）由頻率和為可得，解得.（2）由頻率分布直方圖可得，成績在的三組人數(shù)比為，根據(jù)分層抽樣抽取的成績在的三組人數(shù)為，所以的可能取值為.，，，所以的分布列為（3）由題意，成績?yōu)锳,B,C等級的頻率分別為，設(shè)從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，獲得B等級的人數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，所以獲得B等級的人數(shù)不少于2人的概率為考點(diǎn)三、正態(tài)分布1．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.2．（2023屆高三沖刺卷（一）全國卷理科數(shù)學(xué)試題）某班學(xué)生的一次的數(shù)學(xué)考試成績（滿分：100分）服從正態(tài)分布：，且，，（

）【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所?3．（2023屆山東省模擬數(shù)學(xué)試題）某學(xué)校共1000人參加數(shù)學(xué)測驗(yàn)，考試成績近似服從正態(tài)分布，若，則估計(jì)成績在120分以上的學(xué)生人數(shù)為（

）A．25 B．50 C．75 D．100【答案】B【分析】由已知可得，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可推得，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以.又，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得，所以.所以，可估計(jì)成績在120分以上的學(xué)生人數(shù)為.4．（2023屆山西省模擬數(shù)學(xué)試題）某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識有獎競賽，競賽獎勵規(guī)則如下：得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲得一等獎，其他學(xué)生不得獎，為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示．(1)現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競賽成績，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎的概率；(2)若該市所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：（i）若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；（ii）若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機(jī)取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望．附參考數(shù)據(jù)，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)；(2)（i）1587；（ii）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）根據(jù)樣本頻率分布直方圖確定獲獎人數(shù)，再求得從該樣本中隨機(jī)抽取的兩名學(xué)生的競賽成績基本事件總數(shù)，與“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎”情況數(shù)，利用古典概型計(jì)算概率即可；（2）由樣本頻率分布直方圖得，求解樣本平均數(shù)的估計(jì)值，即可得正泰分布的均值，按照正態(tài)分布的性質(zhì)求解參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)；由樣本估計(jì)總體可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布確定概率分布列與數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）由樣本頻率分布直方圖得，樣本中獲一等獎的有6人，獲二等獎的有8人，獲三等獎的有16人，共有30人獲獎，70人沒有獲獎．從該樣本中隨機(jī)抽取的兩名學(xué)生的競賽成績，基本事件總數(shù)為，設(shè)“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎”為事件A，則事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)為，因?yàn)槊總€(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都相等，所以，即抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎的概率為．（2）由樣本頻率分布直方圖得，樣本平均數(shù)的估計(jì)值，則所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布．（?。┮?yàn)?，所以．故參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)為．（ⅱ）由，得，即從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生競賽成績在64分以上的概率為．所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以，，，．所以隨機(jī)變量的分布列為：0123P均值．1．（2023年山東省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)隨機(jī)變量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題知，，進(jìn)而根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可.【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，因?yàn)?，所以，所以，根?jù)正態(tài)分布的對稱性，.2．（2023屆江蘇省調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，有下列四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：；丁：如果只有一個(gè)假命題，則該命題為（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可判定乙?丙一定都正確，繼而根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可判斷甲和丁，即得答案.【詳解】因?yàn)橹挥幸粋€(gè)假命題，故乙?丙只要有一個(gè)錯，另一個(gè)一定錯，不合題意，所以乙?丙一定都正確，則，故甲正確，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得，故丁錯.3．（2023屆山東省模擬考試數(shù)學(xué)試題）新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點(diǎn)，近年來備受青睞．某新能源汽車制造企業(yè)為調(diào)查其旗下A型號新能源汽車的耗電量（單位：kW·h/100km）情況，隨機(jī)調(diào)查得到了1200個(gè)樣本，據(jù)統(tǒng)計(jì)該型號新能源汽車的耗電量，若，則樣本中耗電量不小于的汽車大約有（

）A．180輛 B．360輛 C．600輛 D．840輛【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，求得的值，再由樣本容量求得頻數(shù)，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以樣本中耗電量不小于的汽車大約（輛）.【基礎(chǔ)過關(guān)】2023年10月09日二項(xiàng)分布一、單選題1．已知隨機(jī)變量，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)隨機(jī)變量可知，再根據(jù)，，可求出，利用，建立方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，因?yàn)?，，所以，即，?所以，即.2．乒乓球被稱為我國的國球，是一種深受人們喜愛的球類體育項(xiàng)目.某次乒乓球比賽中，比賽規(guī)則如下：比賽以11分為一局，采取七局四勝制.在一局比賽中，先得11分的選手為勝方；如果比賽一旦出現(xiàn)10平，先連續(xù)多得2分的選手為勝方.(1)假設(shè)甲選手在每一分爭奪中得分的概率為.在一局比賽中，若現(xiàn)在甲?乙兩名選手的得分為8比8平，求這局比賽甲以先得11分獲勝的概率；(2)假設(shè)甲選手每局獲勝的概率為，在前三局甲獲勝的前提下，記X表示到比賽結(jié)束時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)X1234p數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）分析出兩種情況，甲乙再打3個(gè)球，這三個(gè)均為甲贏和甲乙再打4個(gè)球，其中前三個(gè)球甲贏兩個(gè)，最后一個(gè)球甲贏，分別求出概率，相加即為結(jié)果；（2）求出X的可能取值為1，2，3，4，及對應(yīng)的概率，寫出分布列，求出期望值.【詳解】（1）設(shè)這局比賽甲以先得11分獲勝為事件A，則事件A中包含事件B和事件C，事件B：甲乙再打3個(gè)球，甲先得11分獲勝，事件C：甲乙再打4個(gè)球，甲先得11分獲勝.事件B：甲乙再打3個(gè)球，這三個(gè)球均為甲贏，則，事件C：甲乙再打4個(gè)球，則前三個(gè)球甲贏兩個(gè)，最后一個(gè)球甲贏，則；則（2）X的可能取值為1，2，3，4.，，，，所以X的分布列為：X1234p其中.即數(shù)學(xué)期望為.3．某公司開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為了解用戶對這款軟件的滿意度，推出該軟件3個(gè)月后，從使用該軟件的用戶中隨機(jī)抽查了1000名，將所得的滿意度的分?jǐn)?shù)分成7組：，整理得到如下頻率分布直方圖.根據(jù)所得的滿意度的分?jǐn)?shù)，將用戶的滿意度分為兩個(gè)等級：滿意度的分?jǐn)?shù)滿意度的等級不滿意滿意（1）從使用該軟件的用戶中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其滿意度的等級為“滿意”的概率；（2）用頻率估計(jì)概率，從使用該軟件的所有用戶中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中滿意度的等級為“滿意”的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，期望為；【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出在與的頻率，即可得到概率；（2）依題意，則的可能取值為、、，求出所對應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可；【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖可知滿意度的分?jǐn)?shù)的頻率為，滿意度的分?jǐn)?shù)的頻率為，故從使用該軟件的用戶中隨機(jī)抽取1人，其滿意度的等級為“滿意”的概率為（2）依題意可知，則的可能取值為、、，所以，，所以的分布列為：所以.4．某公司采購部需要采購一箱電子元件，供貨商對該電子元件整箱出售，每箱10個(gè).在采購時(shí)，隨機(jī)選擇一箱并從中隨機(jī)抽取3個(gè)逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn).若其中沒有次品，則直接購買該箱電子元件；否則，不購買該箱電子元件.(1)若某箱電子元件中恰有一個(gè)次品，求該箱電子元件能被直接購買的概率；(2)若某箱電子元件中恰有兩個(gè)次品，記對隨機(jī)抽取的3個(gè)電子元件進(jìn)行檢測的次數(shù)為，求的分布列及期望.【答案】(1)；(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【分析】（1）依題意，利用古典概型的公式計(jì)算求解；（2）利用概率的乘法計(jì)算每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率，再求數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)某箱電子元件有一個(gè)次品能被直接購買為事件A.則；（2）可能取值為，則；，故的分布列是故.5．（2023年北京市質(zhì)量監(jiān)測與反饋數(shù)學(xué)試題）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，白粽8個(gè)，這兩種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè)．(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)；(2)分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為；【分析】（1）根據(jù)古典概型以及組合數(shù)的計(jì)算求得正確答案.（2）根據(jù)超幾何分布的知識求得的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）依題意，既有豆沙粽又有白粽的概率為.（2）的可能取值為，則，，，所以的分布列如下：所以.6．（2023屆云南省模擬數(shù)學(xué)試題）在某校舉辦“青春獻(xiàn)禮二十大，強(qiáng)國有我新征程”的知識能力測評中，隨機(jī)抽查了100名學(xué)生，其中共有4名女生和3名男生的成績在90分以上，從這7名同學(xué)中每次隨機(jī)抽1人在全校作經(jīng)驗(yàn)分享，每位同學(xué)最多分享一次，記第一次抽到女生為事件A，第二次抽到男生為事件B．(1)求，，(2)若把抽取學(xué)生的方式更改為：從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)分享，記被抽取的3人中女生的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)，(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）法一：根據(jù)古典概型結(jié)合條件概率運(yùn)算求解；法二：根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式結(jié)合條件概率運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.【詳解】（1）方法一：由題意可得：，“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，從7個(gè)同學(xué)中每次不放回地隨機(jī)抽取2人，試驗(yàn)的樣本空間Ω包含個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，因?yàn)椋?，故．方法二：，“在第一次抽到女生的條件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，則，，故．（2）被抽取的3人中女生人數(shù)X的取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列：X0123PX的數(shù)學(xué)期望.7．“雙減”政策實(shí)施后，為了解某地中小學(xué)生周末體育鍛煉的時(shí)間，某研究人員隨機(jī)調(diào)查了600名學(xué)生，得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：周末體育鍛煉時(shí)間頻率(1)估計(jì)這600名學(xué)生周末體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)在這600人中，用分層抽樣的方法，從周末體育鍛煉時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取15人，再從這15人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中周末體育鍛煉時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)的定義，等于頻率乘以每一組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值之和；(2)根據(jù)題意，X的可能取值是0，1，2，3，再根據(jù)古典概型計(jì)算方法分別計(jì)算概率即可.【詳解】（1）估計(jì)這600名學(xué)生周末體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù).（2）依題意，周末體育鍛煉時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生抽6人，在內(nèi)的學(xué)生抽9人，則，，，，故X的分布列為：X0123P則.8．某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實(shí)踐活動”.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，并將得分分成以下6組：、、、…、，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：(1)試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)；(2)從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談，若從座談名單中隨機(jī)抽取3人，記其得分在的人數(shù)為，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本估計(jì)總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認(rèn)為參加知識競賽的學(xué)生的得分X近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算.所有參加知識競賽的2000名學(xué)生中，試問得分高于77分的人數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：，，.【答案】(1)；(2)分布列見解析，；(3)；【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖可得這100名學(xué)生得分的平均數(shù).（2）解：參加座談的11人中，得分在的有人，所以的可能取值為，，，所以，，.所以的分布列為012∴.（3）解：由（1）知，，所以.得分高于77分的人數(shù)最有可能是.9．一個(gè)袋中裝有5個(gè)形狀大小完全相同的小球，其中紅球有2個(gè)，白球有3個(gè)，從中任意取出3個(gè)球.(1)求取出的3個(gè)球恰有一個(gè)紅球的概率；(2)若隨機(jī)變量X表示取得紅球的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.【答案】(1)；(2)分布列見解析.【分析】設(shè)出事件，利用超幾何分布求概率公式進(jìn)行求解；（2）寫出隨機(jī)變量X的可能取值及相應(yīng)的概率，求出分布列.【詳解】（1）設(shè)取出的3個(gè)球恰有一個(gè)紅球?yàn)槭录嗀，則（2）隨機(jī)變量X可能取值為0,1,2,，，，故X的分布列為：X012P10．某公司全年圓滿完成預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù)，為答謝各位員工一年來的銳意進(jìn)取和辛勤努力，公司決定在聯(lián)歡晚會后，擬通過摸球兌獎的方式對500位員工進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位員工從一個(gè)裝有4種面值的獎券的箱子中，一次隨機(jī)摸出2張獎券，獎券上所標(biāo)的面值之和就是該員工所獲得的獎勵額．(1)若箱子中所裝的4種面值的獎券中有1張面值為80元，其余3張均為40元，試比較員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率的大小；(2)公司對獎勵總額的預(yù)算是6萬元，預(yù)定箱子中所裝的4種面值的獎券有兩種方案：第一方案是2張面值20元和2張面值100元；第二方案是2張面值40元和2張面值80元．為了使員工得到的獎勵總額盡可能地符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡，請問選擇哪一種方案比較好？并說明理由．【答案】(1)員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率相等(2)應(yīng)選擇第二種方案；理由見解析【分析】(1)根據(jù)超幾何分布求出員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率即可；(2)根據(jù)題意可知有兩種方案、，分別求出對應(yīng)的分布列，進(jìn)而求出對應(yīng)的數(shù)學(xué)期望和方差，從而得出結(jié)論.【詳解】（1）用X表示員工所獲得的獎勵額．因?yàn)?，，所以，故員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率相等．（2）第一種方案為，設(shè)員工所獲得的獎勵額為，則的分布列為40120200P所以的數(shù)學(xué)期望為，的方差為；第二種方案為，設(shè)員工所獲得的獎勵額為，則的分布列為80120160P所以的數(shù)學(xué)期望為，的方差為，又因?yàn)椋ㄔ?，所以兩種方案獎勵額的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但第二種方案的方差比第一種方案的小，故應(yīng)選擇第二種方案．11．一次性醫(yī)用口罩是適用于覆蓋使用者的口、鼻及下頜，用于普通醫(yī)療環(huán)境中佩戴、阻隔口腔和鼻腔呼出或噴出污染物的一次性口罩，按照我國醫(yī)藥行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，口罩對細(xì)菌的過濾效率達(dá)到95%及以上為合格，98%及以上為優(yōu)等品，某部門為了檢測一批口置對細(xì)菌的過濾效率.隨機(jī)抽檢了200個(gè)口罩，將它們的過濾效率（百分比）按照[95，96），[96，97），[97，98），[98，99），[99，100]分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中m的值并估計(jì)這一批口罩中優(yōu)等品的概率；(2)為了進(jìn)一步檢測樣本中優(yōu)等品的質(zhì)量，用分層抽樣的方法從[98，99）和[99，100]兩組中抽取7個(gè)口罩，再從這7個(gè)口罩中隨機(jī)抽取3個(gè)口罩做進(jìn)一步檢測，記取自[98，99）的口罩個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與期望.；(2)分布列見解析，；【分析】(1)根據(jù)頻率之和等于1可得m，然后直接計(jì)算優(yōu)等品的概率即可；(2)先由分層抽樣取得各層樣板個(gè)數(shù)，然后由超幾何分布計(jì)算可得.（1）由圖可知估計(jì)這一批口罩中優(yōu)等品的概率為（2）因?yàn)?，所以從[98，99）中抽取個(gè)，從[99，100]中抽取個(gè).則X的可能取值為1，2，3，且故X的分布列為X123P.12．（2023屆湖北省聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）某市舉行招聘考試，共有4000人參加，分為初試和復(fù)試，初試通過后參加復(fù)試．為了解考生的考試情況，隨機(jī)抽取了100名考生的初試成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，試求樣本平均數(shù)的估計(jì)值；(2)若所有考生的初試成績X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，試估計(jì)初試成績不低于88分的人數(shù)；(3)復(fù)試共三道題，第一題考生答對得5分，答錯得0分，后兩題考生每答對一道題得10分，答錯得0分，答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績．已知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響．記該考生的復(fù)試成績?yōu)閅，求Y的分布列及均值．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則：，，．【答案】(1)(2)人(3)分布列見解析，均值為【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的估算公式即可求解；(2)由可知即可求解；(3)根據(jù)題意確定Y的取值分別為0，5，10，15，20，25，利用獨(dú)立性可求得分布列，進(jìn)而求得均值.【詳解】（1）樣本平均數(shù)的估計(jì)值為．（2）因?yàn)閷W(xué)生初試成績X服從正態(tài)分布，其中，，則，所以，所以估計(jì)初試成績不低于88分的人數(shù)為人．（3）Y的取值分別為0，5，10，15，20，25，則，，，，，，故Y的分布列為：Y0510152025P所以數(shù)學(xué)期望為．13．春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策”.某路橋公司為了解春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費(fèi)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)大年初三上午9：20~10：40這一時(shí)間段內(nèi)有600輛車通過，將其通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻繪成頻率分布直方圖.其中時(shí)間段9：20~9：40記作區(qū)間，9：40~10：00記作，10：00~10：20記作，10：20~10：40記作，例如：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.(1)估計(jì)這600輛車在9：20~10：40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，記X為9：20~10：00之間通過的車輛數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9：20~10：40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9：46~10：40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）將直方圖中每個(gè)小長方形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)作為該組數(shù)據(jù)的代表值，頻率作為權(quán)重，加權(quán)平均即可．（2）抽樣比為，計(jì)算出各區(qū)間抽取的車輛數(shù)，找到隨機(jī)變量的所有可能的取值，計(jì)算出每個(gè)對應(yīng)的概率，列分布列，求期望即可．（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)出方差，再結(jié)合（1）求出的期望，得到，再根據(jù)其對稱性處理即可．【詳解】（1）解：這600輛車在時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值為，即（2）解：結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在前通過的車輛數(shù)就是位于時(shí)間分組中在，這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，即，所以的可能的取值為0，1，2，3，4．所以，，，，，所以的分布列為：01234所以．（3）由（1）得，，所以，估計(jì)在之間通過的車輛數(shù)也就是在，通過的車輛數(shù)，由，，得，所以估計(jì)在之間通過的車輛數(shù)為輛．14．某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50，根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為的近似值），現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上（方格圖上依次標(biāo)有數(shù)字0?1?2?3?……?20）移動，若遙控車最終停在“勝利大本營”（第19格），則可獲得購車優(yōu)惠券3萬元；若遙控車最終停在“微笑大本營”（第20格），則沒有任何優(yōu)優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正?反面的概率都是，遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次：若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到；若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從到格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券全額的期望值（精確到萬元）.【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析，參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為萬元.【分析】（1）利用直方圖求平均值的公式即得；（2）利用正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可；（3）由題可得，利用定義證明其為等比數(shù)列，結(jié)合累加法得出的表達(dá)式，由此得到，，設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為萬元，或0，分別求出或0的概率，然后求出期望即可.【詳解】（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值為：；（2）∵，∴.（3）由題可知，遙控車移到第格有兩種可能：①遙控車先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為；②遙控車先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為，∴，∴時(shí)，，又∵，∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，以上各式相加，得，∴時(shí)，，∴到達(dá)“勝利大本營”的概率，∴設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為萬元，則或0，∴的期望，∴參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為萬元15．冬奧會的成功舉辦極大鼓舞了人們體育強(qiáng)國的熱情，掀起了青少年鍛煉身體的熱潮.某校為了解全校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”的情況，從高三年級1000名學(xué)生中隨機(jī)選出40名學(xué)生參加“體能達(dá)標(biāo)”測試，并且規(guī)定“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測成績小于60分的為“不合格”，否則為合格.若高三年級“不合格”的人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的5%，則該年級體能達(dá)標(biāo)為“合格”；否則該年級體能達(dá)標(biāo)為“不合格”，需要重新對高三年級學(xué)生加強(qiáng)訓(xùn)練.現(xiàn)將這40名學(xué)生隨機(jī)分成甲、乙兩個(gè)組，其中甲組有24名學(xué)生，乙組有16名學(xué)生.經(jīng)過預(yù)測后，兩組各自將預(yù)測成績統(tǒng)計(jì)分析如下：甲組的平均成績?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為4；乙組的平均成績?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為6.（數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)）(1)求這40名學(xué)生測試成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差s；(2)假設(shè)高三學(xué)生的體能達(dá)標(biāo)預(yù)測成績服從正態(tài)分布N（μ，），用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值.利用估計(jì)值估計(jì)，高三學(xué)生體能達(dá)標(biāo)預(yù)測是否“合格”；，求王強(qiáng)在這輪比賽中所得積分為3分的條件下，他前3局比賽都獲勝的概率.附：①n個(gè)數(shù)的方差；②若隨機(jī)變量Z～N（μ，），則，，.【答案】(1)，；(2)合格；(3).【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題中所給的公式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)獨(dú)立事件和條件概率的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），第一組學(xué)生的方差為；解得；第二組學(xué)生的方差為；解得.這40名學(xué)生的方差為，所以；（2）由，，得的估計(jì)值，的估計(jì)值.，∴.從而高三年級1000名學(xué)生中，不合格的有（人），又，所以高三年級學(xué)生體能達(dá)標(biāo)為“合格”；（3）設(shè)王強(qiáng)在這輪比賽得3分為事件A，他以的比分獲勝為事件，他以的比分獲勝為事件.則，；所以，設(shè)王強(qiáng)前3局比賽獲勝的事件為B，則，所以.16．為調(diào)查禽類某種病菌感染情況，某養(yǎng)殖場每周都定期抽樣檢測禽類血液中指標(biāo)的檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪成如下頻率分布直方圖(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這5000只家禽血液樣本中指標(biāo)值的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；(2)通過長期調(diào)查分析可知，該養(yǎng)殖場家禽血液中指標(biāo)的值服從正態(tài)分布（i）若其中一個(gè)養(yǎng)殖棚有1000只家禽，估計(jì)其中血液指標(biāo)的值不超過的家禽數(shù)量（結(jié)果保留整數(shù)）；（ii）在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，通常認(rèn)為小概率事件的發(fā)生是不正常的.該養(yǎng)殖場除定期抽檢外，每天還會隨機(jī)抽檢20只，若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只家禽中恰有3只血液中指標(biāo)的值大于，判斷這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況是否正常，并分析說明理由.參考數(shù)據(jù)：①；②若，則；(2)（i）841；（ii）不正常，理由見解析.【分析】（1）先判斷中位數(shù)所在區(qū)間，再設(shè)出中位數(shù)，利用中位數(shù)左側(cè)頻率和為0.5求解即可；（2）（i）由正態(tài)分布的對稱性及特殊區(qū)間的概率求得，再計(jì)算家禽數(shù)量即可；（ii）先求出，再由獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率公式求出恰有3只血液中指標(biāo)的值大于的概率，和比較作出判斷即可.【詳解】（1）由可得中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，解得；（2）（i）由可得，則，只；（ii），，隨機(jī)抽檢20只相當(dāng)于進(jìn)行20次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，設(shè)恰有3只血液中指標(biāo)的值大于為事件，則，所以這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況不正常.17．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）某工廠一臺設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽檢了該設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)（單位：），經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到下面的頻率分布直方圖：(1)由頻率分布直方圖估計(jì)抽檢樣本關(guān)鍵指標(biāo)的平均數(shù)和方差．（用每組的中點(diǎn)代表該組的均值）(2)已知這臺設(shè)備正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件的關(guān)鍵指標(biāo)服從正態(tài)分布，用直方圖的平均數(shù)估計(jì)值作為的估計(jì)值，用直方圖的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值s作為估計(jì)值．（i）為了監(jiān)控該設(shè)備的生產(chǎn)過程，每個(gè)生產(chǎn)周期中都要隨機(jī)抽測10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)，如果關(guān)鍵指標(biāo)出現(xiàn)了之外的零件，就認(rèn)為生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常，需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．下面是某個(gè)生產(chǎn)周期中抽測的10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo)：利用和判斷該生產(chǎn)周期是否需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ii）若設(shè)備狀態(tài)正常，記X表示一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的零件個(gè)數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望．參考公式：直方圖的方差，其中為各區(qū)間的中點(diǎn)，為各組的頻率．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，，，．【答案】(1)(2)（i）需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備；（ii），【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求得，繼而結(jié)合方差的計(jì)算公式求得；（2）（i）根據(jù)，，確定，，判斷抽查的零件關(guān)鍵指標(biāo)有無在之外的情況，即可得結(jié)論；（ii）求出抽測一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的概率，確定，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，得．．（2）（i）由（1）可知，，所以，，顯然抽查中的零件指標(biāo)，故需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ii）抽測一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之內(nèi)的概率為，所以抽測一個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的概率為，故，所以，X的數(shù)學(xué)期望．18．（2023屆安徽省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）為貫徹落實(shí)《健康中國行動（2019—2030年）》《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見》等文件精神，確保2030年學(xué)生體質(zhì)達(dá)到規(guī)定要求，各地將認(rèn)真做好學(xué)生的體制健康監(jiān)測.某市決定對某中學(xué)學(xué)生的身體健康狀況進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從該校抽取200名學(xué)生測量他們的體重，得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(1)求這200名學(xué)生體重的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.(2)由頻率分布直方圖可知，該校學(xué)生的體重服從正態(tài)分布，其中μ近似為平均數(shù)，近似為方差.①利用該正態(tài)分布，求；②若從該校隨機(jī)抽取50名學(xué)生，記表示這50名學(xué)生的體重位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，利用①的結(jié)果，求.參考數(shù)據(jù)：.若，則，，.【答案】(1)，；(2)①；②；【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)的求法即可求出，利用方差公式計(jì)算即可求解；（2）由（1）可知，，結(jié)合題意給的參照數(shù)據(jù)即可求出，進(jìn)而得，利用二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由題意得，；.所以這200名學(xué)生體重的平均數(shù)為60，方差為86；（2）①由（1）可知，，則；②由①可知1名學(xué)生的體重位于的概率為0.6826.則，所以.19．張先生到一家公司參加面試，面試的規(guī)則是；面試官最多向他提出五個(gè)問題，只要正確回答出三個(gè)問題即終止提問，通過面試根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，張先生能夠正確回答面試官提出的任何一個(gè)問題的概率為，假設(shè)回答各個(gè)問題正確與否互不干擾．（1）求張先生通過面試的概率；（2）記本次面試張先生回答問題的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為．【分析】(1)利用互斥事件的概率加法即得；(2)利用二項(xiàng)分布寫出分布列．【詳解】解：記張先生第i次答對面試官提出的問題為事件，則，張先生前三個(gè)問題均回答正確為事件；前三個(gè)問題回答正確兩個(gè)且第四個(gè)又回答正確為事件，前四個(gè)問題回答正確兩個(gè)且第五個(gè)又回答正確為事件，張先生通過面試為事件．則根據(jù)題意，得因?yàn)槭录コ猓约磸埾壬軌蛲ㄟ^面試的概率為根據(jù)題意，表明前面三個(gè)問題均回答錯誤(淘汰)或均回答正確(通過)，所以表明前面三個(gè)問題中有兩個(gè)回答錯誤且第四個(gè)問題又回答錯誤(淘汰)，或者前面三個(gè)問題中有兩個(gè)回答正確且第四個(gè)問題回答正確(通過)，所以表明前面四個(gè)問題中有兩個(gè)回答錯誤、兩個(gè)回答正確，所以所以的分布列為：故20．為了讓人民群眾過一個(gè)歡樂祥和的新春佳節(jié)，某地疫情防控指揮部根據(jù)當(dāng)?shù)匾咔榉揽毓ぷ鞑渴?，安?名干部和三個(gè)部門（A，B，C）的16名職工到該地的四個(gè)高速路口擔(dān)任疫情防控志愿者，其中16名職工分別是A部門8人，B部門4人，C部門4人.(1)若從這16名職工中選出4人作為組長，求至少有2個(gè)組長來自A部門的概率；(2)若將這4名干部隨機(jī)安排到四個(gè)高速路口（假設(shè)每名干部安排到各高速路口是等可能的，且各位干部的選擇是相互獨(dú)立的），記安排到第一個(gè)高速路口的干部人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.（2）利用二項(xiàng)分布的知識計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）從這16名職工中選出4人作為組長，求至少有2個(gè)組長來自A部門的概率為：.（2）依題意可知且，所以，，，，，故分布列為：數(shù)學(xué)期望.21．致敬百年，讀書筑夢，某學(xué)校組織全校學(xué)生參加“學(xué)黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡(luò)知識競賽”活動．并對某年級的100位學(xué)生競賽成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表．規(guī)定：成績在內(nèi)，為成績優(yōu)秀．成績?nèi)藬?shù)510152520205(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為此次競賽成績與性別有關(guān)；優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男10女35合計(jì)(2)某班級實(shí)行學(xué)分制，為鼓勵學(xué)生多讀書，推出“讀書抽獎額外賺學(xué)分”趣味活動方案：規(guī)定成績達(dá)到優(yōu)秀的同學(xué)，可抽獎2次，每次中獎概率為（每次抽獎互不影響，且的值等于成績分布表中不低于80分的人數(shù)頻率），中獎1次學(xué)分加5分，中獎2次學(xué)分加10分．若學(xué)生甲成績在內(nèi)，請列出其本次讀書活動額外獲得學(xué)分?jǐn)?shù)的分布列并求其數(shù)學(xué)期望．參考公式：，．附表：【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有90%的把握認(rèn)為此次競賽成績與性別有關(guān)【分析】（1）根據(jù)成績分段表得到優(yōu)秀人數(shù)，結(jié)合列聯(lián)表中的男生優(yōu)秀人數(shù)求得女生優(yōu)秀人數(shù)，然后可以完成列聯(lián)表；根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，利用公式計(jì)算K2的觀測值k0，與相應(yīng)臨界值比較即可得到結(jié)論；（2）先根據(jù)成績分段表求得p的值，然后利用二項(xiàng)分布列計(jì)算X的各個(gè)取值的概率，列出分布列，根據(jù)分布列計(jì)算期望即可.【詳解】（1）優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男104050女153550合計(jì)2575100假設(shè):此次競賽成績與性別無關(guān).,所以沒有90%的把握認(rèn)為此次競賽成績與性別有關(guān)；（2）p,P(X=0)=P(X=5)=,P(X=10)=,X的分布列為：X0510P期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）22．（2023屆安徽省、云南省、吉林省、黑龍江省適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布．質(zhì)量指標(biāo)介于99至101之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到，則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得至多為．(若，則)【答案】【分析】根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知，的解集，即可根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，從而得解．【詳解】依題可知，，再根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知，的解集，由可得，，所以，解得：，故σ至多為．23．對一個(gè)物理量做次測量，并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果．已知最后結(jié)果的誤差，為使誤差在的概率不小于0.9545，至少要測量次（若，則）．【答案】32【解析】因?yàn)?，得到，，要使誤差在的概率不小于0.9545，則，得到不等式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性知：要使誤差在的概率不小于0.9545，則且，，所以.【點(diǎn)睛】本題是對正態(tài)分布的考查，關(guān)鍵點(diǎn)在于能從讀出所需信息.24．（2023屆重慶市模擬數(shù)學(xué)試題）重慶八中某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績服從正態(tài)分布.若，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績高于120的概率是.【答案】【分析】結(jié)合正態(tài)分布特點(diǎn)先求出，再由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式即可求解.【詳解】因?qū)W生成績符合正態(tài)分布，故，故任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績高于120的概率為.25．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）若，則(精確到0.01).參考數(shù)據(jù)：若，則，.【分析】根據(jù)正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算概率.【詳解】因?yàn)椋鶕?jù)參考數(shù)據(jù)，.【能力提升】1．已知隨機(jī)變量，若最大，則．【答案】24【分析】先根據(jù)解出，再根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式求出，再計(jì)算即可.【詳解】由題意知：，要使最大，有，化簡得，解得，故，又，故.2．若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則使取得最大值時(shí)，．【答案】3或4【分析】先求得的表達(dá)式，利用列不等式組的方法來求得使取得最大值時(shí)的值.【詳解】依題意，依題意，，，，所以、不是的最大項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由，整理得，即，整理得，，所以當(dāng)為3或4時(shí)，取得最大值.3．（2023年湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）統(tǒng)計(jì)與概率主要研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機(jī)現(xiàn)象，通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、描述及對事件發(fā)生的可能性刻畫，來幫助人們作出合理的決策.(1)現(xiàn)有池塘甲，已知池塘甲里有50條魚，其中A表示其中A種魚的條數(shù)，請寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望;(2)另有池塘乙，為估計(jì)池塘乙中的魚數(shù)，某同學(xué)先從中捉了50條魚，做好記號后放回池塘，再從中捉了20條魚，發(fā)現(xiàn)有記號的有5條.（?。┱垙姆謱映闃拥慕嵌裙烙?jì)池塘乙中的魚數(shù).（ⅱ）統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一種重要而普遍的求估計(jì)量的方法─最大似然估計(jì)，其原理是使用概率模型尋找能夠以較高概率產(chǎn)生觀察數(shù)據(jù)的系統(tǒng)發(fā)生樹，即在什么情況下最有可能發(fā)生已知的事件.請從條件概率的角度，采用最大似然估計(jì)法估計(jì)池塘乙中的魚數(shù).【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）200；（ii）199或200【分析】（1）根據(jù)超幾何概率公式即可求解概率，進(jìn)而得分布列和期望，（2）根據(jù)抽樣比即可求解總數(shù)，根據(jù)最大似然思想結(jié)合概率的單調(diào)性即可求解最大值.【詳解】（1）,故分布列為：012.（2）（i）設(shè)池塘乙中魚數(shù)為,則,解得,故池塘乙中的魚數(shù)為200.（ii）設(shè)池塘乙中魚數(shù)為,令事件“再捉20條魚,5條有記號”,事件“池塘乙中魚數(shù)為”則,由最大似然估計(jì)法,即求最大時(shí)的值,其中,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)所以池塘乙中的魚數(shù)為199或200.4．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：經(jīng)計(jì)算得，，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，.用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到0.01）.附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1），（2）（ⅰ）見詳解；（ⅱ）需要.,【分析】（1）依題知一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率，可知尺寸在之外的概率為0.0026，而，進(jìn)而可以求出的數(shù)學(xué)期望.（2）（i）判斷監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法的合理性，重點(diǎn)是考慮一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率是大還是小，若小即合理；（ii）計(jì)算，剔除之外的數(shù)據(jù)，算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為的估計(jì)值，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差，即為的估計(jì)值.【詳解】（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此.的數(shù)學(xué)期望為.（2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.（ii）由，得的估計(jì)值為，的估計(jì)值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計(jì)值為.，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，因此的估計(jì)值為.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用以及離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，正態(tài)分布是一種重要的分布，尤其是正態(tài)分布的原則，審清題意，細(xì)心計(jì)算，屬中檔題.5．（2023屆重慶市模擬數(shù)學(xué)試題（適用新高考））某網(wǎng)絡(luò)在平臺開展了一項(xiàng)有獎闖關(guān)活動，并對每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競猜活動共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)活動．(1)若甲第一關(guān)通過的概率為，第二關(guān)通過的概率為，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；(2)已知該闖關(guān)活動累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿分為分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共名參加者中得分前名發(fā)放獎勵，①假設(shè)該闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為分，分以上共有人，已知甲的得分為分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；②丙得知他的分?jǐn)?shù)為分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為分，分以上共有人”，請結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)危剑喝綦S機(jī)變量，則；；．【答案】(1)(2)①能，理由見解析；②乙所說為假【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率公式，結(jié)合甲闖關(guān)的可能情況求解即可；（2）①利用正態(tài)分布的對稱性及法則，求得前名參賽者的最低得分即可判斷；②假設(shè)乙所說為真，利用正態(tài)分布的對稱性及法則，證得丙的分?jǐn)?shù)為分是小概率事件，從而得以判斷.【詳解】（1）設(shè)：第次通過第一關(guān)，：第次通過第二關(guān)，甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為，由題意知.（2）設(shè)此次闖關(guān)活動的分?jǐn)?shù)記為．①由題意可知，因?yàn)?，且，所以，則；而，且，所以前名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為分，所以甲能夠獲得獎勵；②假設(shè)乙所說為真，則，，而，所以，從而，而，所以為小概率事件，即丙的分?jǐn)?shù)為分是小概率事件，可認(rèn)為其不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認(rèn)為乙所說為假．6．足球比賽全場比賽時(shí)間為90分鐘，在90分鐘結(jié)束時(shí)成績持平，若該場比賽需要決出勝負(fù)，需進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽，若加時(shí)賽仍是平局，則采取“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負(fù).“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊(duì)?wèi)?yīng)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝：②如果在踢滿5輪前，一隊(duì)的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢滿5次可能射中的球數(shù)，則不需再踢，譬如：第4輪結(jié)束時(shí)，雙方進(jìn)球數(shù)比為2：0，則不需再踢第5輪了；③若前5輪點(diǎn)球大戰(zhàn)中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則采用“突然死亡法”決出勝負(fù)，即從第6輪起，雙方每輪各派1人罰點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝.(1)已知小明在點(diǎn)球訓(xùn)練中射進(jìn)點(diǎn)球的概率是.在一次賽前訓(xùn)練中，小明射了3次點(diǎn)球，且每次射點(diǎn)球互不影響，記X為射進(jìn)點(diǎn)球的次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.，乙隊(duì)每名球員射進(jìn)點(diǎn)球的概率為.每輪點(diǎn)球中，進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.求在第4輪結(jié)束時(shí)，甲隊(duì)進(jìn)了3個(gè)球并剛好勝出的概率.【答案】(1)分布列見解析，期望為；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，即可計(jì)算分布列及期望；（2）“甲VS乙：3:0”記為事件，“甲VS乙：3:1”記為事件，此兩互斥事件的和即為所求事件，分別計(jì)算兩事件的概率，求和即得解.【詳解】（1）依題意，，的可能取值為：0,1,2,3，；.X的分布列為：X0123P.（2）記“在第4輪結(jié)束時(shí)，甲隊(duì)進(jìn)了3個(gè)球并剛好勝出”為事件A.依題意知：在第4輪結(jié)束時(shí)，甲隊(duì)進(jìn)了3個(gè)球并剛好勝出，甲乙兩隊(duì)進(jìn)球數(shù)比為:“甲VS乙：3:0”記為事件，或“甲VS乙：3:1”記為事件，則，且與互斥.依題意有：，，.7．（2023屆福建省適應(yīng)性練習(xí)卷（省質(zhì)檢）數(shù)學(xué)試題）已知，則，，.今有一批數(shù)量龐大的零件.假設(shè)這批零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)引單位：毫米）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取N個(gè)，這N個(gè)零件中恰有K個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)ξ位于區(qū)間.若，試以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為（

）A．45 B．53 C．54 D．90【答案】B【分析】由已知可推得，，根據(jù)已知以及正態(tài)分布的對稱性，可求得.則，，設(shè)，求出函數(shù)的最大整數(shù)值，即可得出答案.【詳解】由已知可得，.又，所以，，.設(shè)，則，所以，，所以.，所以，，所以.所以，以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由正態(tài)分布求出概率，然后根據(jù)已知，可得，得出，利用函數(shù)求出的最大值.8．學(xué)習(xí)強(qiáng)國中有兩項(xiàng)競賽答題活動，一項(xiàng)為“雙人對戰(zhàn)”，另一項(xiàng)為“四人賽”．活動規(guī)則如下：一天內(nèi)參與“雙人對戰(zhàn)”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內(nèi)參與“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對戰(zhàn)”活動時(shí)，每局比賽獲勝的概率為；參加“四人賽”活動（每天兩局）時(shí)，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p，．李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰(zhàn)”活動和“四人賽”活動（每天兩局），各局比賽互不影響．(1)求李明這5天參加“雙人對戰(zhàn)”活動的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為．求p為何值時(shí)，取得最大值．【答案】(1)分布列見解析，（分）(2)【分析】（1）可取5，6，7，8，9，10，求出對應(yīng)隨機(jī)變量的概率，從而可求出分布列，再根據(jù)期望公式求出數(shù)學(xué)期望即可；（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率為，再根據(jù)導(dǎo)出求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得出答案.【詳解】（1）解：可取5，6，7，8，9，10，，，，，，，分布列如下：5678910所以（分）；（2）解：設(shè)一天得分不低于3分為事件，則，則恰有3天每天得分不低于3分的概率，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.9．（2