復數(shù)與復變函數(shù)重點省公開課金獎全國賽課一等獎微課獲獎課件

11/44一、重點與難點重點：難點：1.復數(shù)運算和各種表示法2.復變函數(shù)以及映射概念1.復數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域2.映射概念22/44二、內(nèi)容提要復數(shù)復變函數(shù)極限連續(xù)性代數(shù)運算乘冪與方根復數(shù)表示法幾何表示法

向量表示法三角及指數(shù)表示法復球面復平面擴充曲線與區(qū)域判別定理極限計算33/44

1.復數(shù)概念44/441)兩復數(shù)和2)兩復數(shù)積3)兩復數(shù)商2.復數(shù)代數(shù)運算55/444)共軛復數(shù)實部相同而虛部絕對值相等符號相反兩個復數(shù)稱為共軛復數(shù).共軛復數(shù)性質(zhì)66/443.復數(shù)其它表示法（1）幾何表示法77/44（2）向量表示法復數(shù)模(或絕對值)88/44模性質(zhì)三角不等式復數(shù)輻角99/44輻角主值1010/44（3）三角表示法利用歐拉公式復數(shù)能夠表示成稱為復數(shù)z指數(shù)表示式.（4）指數(shù)表示法利用直角坐標與極坐標關(guān)系復數(shù)能夠表示成1111/444.復數(shù)乘冪與方根1)乘積與商兩個復數(shù)乘積模等于它們模乘積;兩個復數(shù)乘積輻角等于它們輻角和.則有1212/44

幾何意義復數(shù)相乘就是把模相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復數(shù)對應向量分別為1313/44兩個復數(shù)商模等于它們模商;兩個復數(shù)商輻角等于被除數(shù)與除數(shù)輻角之差.則有1414/442)冪與根(a)n次冪:1515/44

(b)棣莫佛公式1616/445.復球面與擴充復平面南極、北極定義(1)復球面1717/44球面上點,除去北極N外,與復平面內(nèi)點之間存在著一一對應關(guān)系.我們能夠用球面上點來表示復數(shù).我們要求:復數(shù)中有一個唯一“無窮大”與復平面上無窮遠點相對應,記作.因而球面上北極N就是復數(shù)無窮大幾何表示.球面上每一個點都有唯一復數(shù)與之對應,這么球面稱為復球面.復球面定義1818/44包含無窮遠點在內(nèi)復平面稱為擴充復平面.不包含無窮遠點在內(nèi)復平面稱為有限復平面,或簡稱復平面.對于復數(shù)

來說,實部,虛部,輻角等概念均無意義,它模要求為正無窮大.(2)擴充復平面定義1919/446.曲線與區(qū)域（1）鄰域（2）內(nèi)點2020/44假如G內(nèi)每一點都是它內(nèi)點,那末G稱為開集.(4)區(qū)域假如平面點集D滿足以下兩個條件,則稱它為一個區(qū)域.(a)D是一個開集；(b)D是連通,即D中任何兩點都能夠用完全屬于D一條折線連結(jié)起來.(3)開集2121/44(5)邊界點、邊界

設D是復平面內(nèi)一個區(qū)域,假如點P不屬于D,但在P任意小鄰域內(nèi)總有D中點,這么P點我們稱為D邊界點.(7)有界區(qū)域和無界區(qū)域D全部邊界點組成D邊界.(6)區(qū)域D與它邊界一起組成閉區(qū)域.

閉區(qū)域

2222/44

沒有重點曲線C稱為簡單曲線(或若爾當曲線).(8)簡單曲線2323/44(9)光滑曲線由幾段依次相接光滑曲線所組成曲線稱為按段光滑曲線.任意一條簡單閉曲線C將復平面唯一地分成三個互不相交點集.簡單閉曲線性質(zhì)2424/44(10)單連通域與多連通域復平面上一個區(qū)域B,假如在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域.一個區(qū)域假如不是單連通域,就稱為多連通域.

從幾何上看，單連通域就是無洞、無割痕域.2525/447.復變函數(shù)概念(1)復變函數(shù)定義2626/44(2)映射定義2727/44函數(shù)極限定義注意:

8.復變函數(shù)極限2828/44極限計算定理2929/44與實變函數(shù)極限運算法則類似.極限運算法則3030/44（1）連續(xù)定義

9.復變函數(shù)連續(xù)性3131/44連續(xù)充要條件連續(xù)性質(zhì)3232/44有理整函數(shù)(多項式)有理分式函數(shù)特殊:在復平面內(nèi)使分母不為零點也是連續(xù).3333/44三、經(jīng)典例題3434/443535/44

其幾何意義是三角形任意一邊長大于其它兩邊邊長之差絕對值.3636/443737/44解3838/44解3939/44解4040/44例6滿足以下條件點組成何種圖形?是不是區(qū)域?若是區(qū)域請指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解

是實數(shù)軸,不是區(qū)域.

是以為界帶形單連通區(qū)域.解4141/44

是以為焦點,以3為半長軸橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)域.

不是區(qū)域，因為圖中解解在圓環(huán)內(nèi)點不是內(nèi)點.4242/44例7函數(shù)將