CH3-插值法與最小二乘法-3.2-插值多項(xiàng)式中的誤差市公開課特等獎市賽課微課一等獎?wù)n件

由圖可知，插值多項(xiàng)式與原函數(shù)之間有一定誤差。那么，怎樣預(yù)計這個誤差？依據(jù)上節(jié)例題，是否能夠得出結(jié)論：插值多項(xiàng)式次數(shù)越高，計算結(jié)果越準(zhǔn)確？插值余項(xiàng)公式和對高次插值多項(xiàng)式問題分析給出了上述兩個問題答案。1第1頁第三章插值法和最小二乘法3.2插值多項(xiàng)式中誤差計算機(jī)數(shù)值方法2第2頁3.2插值多項(xiàng)式中誤差一、插值余項(xiàng)滿足插值條件：3第3頁這就意味著插值多項(xiàng)式存在著截斷誤差,而通常情況下f(x)準(zhǔn)確值都是未知，那么我們該怎樣預(yù)計這個截斷誤差呢？定理：設(shè)在含節(jié)點(diǎn)區(qū)間[a,b]上n+1次可微，是關(guān)于給定n+1個節(jié)點(diǎn)n次插值多項(xiàng)式，則對于，存在與x相關(guān)，使得n次插值多項(xiàng)式余項(xiàng)（即截斷誤差）為：4第4頁證:(1)(2)待定函數(shù)5第5頁(3)(4)6第6頁依據(jù)Rolle定理,再由Rolle定理,因?yàn)橐肋@類推所以7第7頁所以(5)(5)式代入(2)式，得：(6)8第8頁設(shè)實(shí)用插值余項(xiàng)預(yù)計式：則(7)則(7)則(7)則(7)9第9頁解:例:則(6)(7)10第10頁11第11頁二、高次插值多項(xiàng)式問題用f(x)插值多項(xiàng)式迫近f(x)時，是否插值節(jié)點(diǎn)越密（即多項(xiàng)式次數(shù)越高），誤差越小？從余項(xiàng)表示式能夠看出，插值多項(xiàng)式與被插值函數(shù)迫近程度與節(jié)點(diǎn)數(shù)目和位置是相關(guān)。對一些函數(shù)，適當(dāng)提升插值多項(xiàng)式次數(shù)，會提升計算精度，但并非插值多項(xiàng)式次數(shù)越高，其精度就越高。原因以下：12第12頁1）加密插值節(jié)點(diǎn)即使能夠使插值函數(shù)與被插值函在更多節(jié)點(diǎn)上取值相等，但卻可能使插值多項(xiàng)式函數(shù)在一些非節(jié)點(diǎn)處震蕩加大，因而可能使非節(jié)點(diǎn)處誤差變大。2）節(jié)點(diǎn)加密（多項(xiàng)式次數(shù)增高）會增加計算次數(shù)，不利于控制舍入誤差.13第13頁龍格現(xiàn)象(Runge現(xiàn)象)：插值多項(xiàng)式不收斂現(xiàn)象例式，并作圖比較.解:14第14頁不一樣次數(shù)Lagrange插值多項(xiàng)式比較圖-5-4-3-2-1012345-1.52-1-0.500.511.5n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)Runge現(xiàn)象15第15頁Runge現(xiàn)象表明：并不是插值多項(xiàng)式次數(shù)越高,插值效果越好,精