備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)模型02 相似模型（十大易錯(cuò)分析+變式訓(xùn)練+易錯(cuò)題通關(guān)）（原卷版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2727頁(yè)易錯(cuò)模型02相似模型易錯(cuò)模型一：A字型相似模型【模型解讀】①如圖，在中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．【易錯(cuò)點(diǎn)】善于尋找A字型的相似；【例1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，P為的邊上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，，的面積分別為S，S1，S2．若，則的值是（）

A．24 B．12 C．6 D．10練習(xí)1．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在中，，D是上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，連接交于點(diǎn)F，若，則＝．練習(xí)2．（2023秋·上海長(zhǎng)寧·九年級(jí)上海市第三女子初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作CA的平行線，交邊AB于點(diǎn)E．(1)求線段DE的長(zhǎng)；(2)取線段AD的中點(diǎn)M，連接BM，交線段DE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)線段BM交邊AC于點(diǎn)G，求的值．練習(xí)3．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）王華同學(xué)在晚上由路燈AC走向路燈BD，當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知王華同學(xué)的身高是1.6m，兩個(gè)路燈的高度都是9.6m．(1)求兩個(gè)路燈之間的距離；(2)當(dāng)王華同學(xué)走到路燈BD處時(shí)，他在路燈AC下的影子長(zhǎng)是多少？1．直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點(diǎn)D，則線段BD的長(zhǎng)度為A． B． C． D．2．如圖已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC邊上的高是3，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是．3．如圖，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB為直徑的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．連接BC，PB：PC＝1：2．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）已知⊙O的半徑為，求AP的長(zhǎng)．4．如圖，中，中線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求的值．（2）如果，，請(qǐng)找出與相似的三角形，并挑出一個(gè)進(jìn)行證明．易錯(cuò)模型二：8字型相似模型【模型解讀】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．【例1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D．練習(xí)1．（2021秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為對(duì)角線上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則正方形的邊長(zhǎng)為cm．練習(xí)2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）正方形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得到，直線交射線于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)用含的式子表示；(2)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試探究的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若，求的值．1．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，CD與AE交于點(diǎn)O，則OD的長(zhǎng)是(

)

A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.42．如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)G，若，則．3．如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點(diǎn)，連接，若的延長(zhǎng)線和的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）連接和相交于點(diǎn)為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．4．如圖，在正方形中，點(diǎn)E在對(duì)角線上，，過(guò)點(diǎn)E的直線分別交，于點(diǎn)M，N．（1）當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為________，________；（2）已知．①若，求此時(shí)的長(zhǎng)；②當(dāng)E，F(xiàn)為的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊上時(shí)，是否存在滿足的情況？如果存在，請(qǐng)通過(guò)分析指出這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；如果不存在，說(shuō)明理由．易錯(cuò)模型三：AX型相似模型【模型解讀】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過(guò)線段比進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【例1】（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．練習(xí)1、（2022·河北石家莊·九年級(jí)期末）已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，交于點(diǎn)．①若，求的長(zhǎng)；②作，垂足為，求證：．練習(xí)2、（2022·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)期中）已知，平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在直線上截取，連接，交于，則___________．練習(xí)3、（2022·湖南株洲·九年級(jí)期末）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過(guò)D點(diǎn)的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線于B1．（1）請(qǐng)你探究：，是否都成立？（2）請(qǐng)你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請(qǐng)問(wèn)一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，試求的值．1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D．2．如圖，在矩形中，分別為邊，的中點(diǎn)，與，分別交于點(diǎn)M，N．已知，，則的長(zhǎng)為．3．中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，且有，過(guò)F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長(zhǎng)．4．如圖，為平行四邊形的邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接．交于，交于．求證：．易錯(cuò)模型四：母子型相似模型【模型解讀】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時(shí)，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，為其常見的一個(gè)變形，即子母型．當(dāng)時(shí)，，則有．【例1】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊中，，點(diǎn)是以為圓心，半徑為3的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，，連接，則線段的最大值與最小值之積為（

）A．27 B．26 C．25 D．24練習(xí)1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的長(zhǎng)為．練習(xí)2．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長(zhǎng)．1．如圖，在等邊中，，點(diǎn)是以為圓心，半徑為3的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，，連接，則線段的最大值與最小值之積為（

）A．27 B．26 C．25 D．242．如圖，在中，AB=AC=4，，點(diǎn)D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C除外），將線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ED，連接CE，則面積的最大值為3．已知四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，求證：ED?EA=EC?EB；（2）如圖2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面積為6，求四邊形ABCD的面積．4．已知正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，和交于點(diǎn)．

（1）如圖，求證：①②（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，①若點(diǎn)為的中點(diǎn)（如圖），求的長(zhǎng)．

②若點(diǎn)在邊上滑動(dòng)（不與點(diǎn)重合），當(dāng)取得最小值時(shí)，求的長(zhǎng)．易錯(cuò)模型五：三角形內(nèi)接矩形相似模型【模型解讀】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來(lái)的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【例1】（2022秋·山東日照·九年級(jí)日照市新營(yíng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)E在上，于點(diǎn)F，，已知的面積為a，的面積為b，則矩形的面積為（）A． B． C． D．練習(xí)1．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，在中，，，．

（1）若四邊形為的內(nèi)接正方形，則正方形的邊長(zhǎng)為；（2）若四邊形為的內(nèi)接矩形，當(dāng)這個(gè)矩形面積最大時(shí)，則矩形的邊長(zhǎng)為．練習(xí)2．（2022秋·湖北宜昌·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，高．矩形的一邊在邊上，E、F兩點(diǎn)分別在、上，交于點(diǎn)H．

(1)若矩形為正方形，求該正方形的邊長(zhǎng)．(2)設(shè)，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形的面積最大？并求其最大值．1．如圖，為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點(diǎn)P處與地面的距離為1.6米，車頭近似看成一個(gè)矩形，且滿足，若盲區(qū)的長(zhǎng)度是6米，則車寬的長(zhǎng)度為（）米．A． B． C． D．22．如圖，矩形中，點(diǎn)在上，，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿足，連接交于點(diǎn)，若，，則．3．如圖，矩形的邊在的邊上，頂點(diǎn)D、G分別在邊上、已知，，設(shè)，．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求y的值．4．在銳角中，，矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別在上，另兩個(gè)頂點(diǎn)均在上，高交于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，矩形的面積為．(1)求的長(zhǎng)，并用含的式子表示線段的長(zhǎng)；(2)請(qǐng)求出關(guān)于的函數(shù)解析式；(3)試求的最大值．易錯(cuò)模型六：射影定理相似模型【模型解讀】①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、長(zhǎng)方形中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和內(nèi)均有射影定理模型．（2）如圖，在圓中也會(huì)出現(xiàn)射影定理模型．【例1】】（2022秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點(diǎn)，分別以ED、EC為折痕將兩個(gè)角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點(diǎn)A、B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長(zhǎng)是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)練習(xí)1、（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點(diǎn)，則圖中與△ABC相似的三角形有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)練習(xí)2、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．練習(xí)3、（2022秋?汝州市校級(jí)月考）中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，且有，過(guò)F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長(zhǎng)．1．如圖，在中，于點(diǎn)，給出下面三個(gè)條件：；；．添加上述條件中的一個(gè)，即可證明是直角三角形的條件序號(hào)是（

）A． B． C． D．2．如圖，是直角三角形，，且，，則．3．材料閱讀：直角三角形射影定理又稱“歐幾里德定理”．定理的內(nèi)容是：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)：每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．這一定理可以描述如下：如圖，在中，滿足條件：，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論成立：①

②

③

④

(1)自主探究：請(qǐng)證明結(jié)論③己知：在中，是斜邊上的高，求證：(2)直接運(yùn)用：運(yùn)用射影定理解決下面的問(wèn)題：如圖，在中，，是斜邊上的高，若，求的長(zhǎng)．4．如圖，D是邊上點(diǎn)，已知，，．

(1)求邊的長(zhǎng)；(2)如果（點(diǎn)A、C、D對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、B、D），求的度數(shù)．易錯(cuò)模型七：旋轉(zhuǎn)相似模型【模型解讀】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．【例1】】（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為AEFG，如圖所示．CD所在直線與AE、GF交于點(diǎn)H、I，CH＝IH．則線段HI的長(zhǎng)度為（）A．3 B．2 C．5 D．練習(xí)1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到，連接，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．

練習(xí)2．（2022秋·江西吉安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過(guò)活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)．讓我們一起動(dòng)手來(lái)折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣．折一折：將正方形紙片折疊，使邊都落在對(duì)角線上，展開得折痕，，連接，如圖1．

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，如圖2．剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線剪開，如圖4．(1)______，寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)線段之間的數(shù)量關(guān)系為______；(3)連接正方形對(duì)角線，若圖2中的的邊分別交對(duì)角線于點(diǎn)G、點(diǎn)H．如圖3，求的值．練習(xí)3．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖1，在中，，，過(guò)點(diǎn)A作直線，過(guò)點(diǎn)B，C分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，D．

操作探究：（1）如圖2，若直線l從圖1狀態(tài)開始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）如圖3，若直線l從圖1狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與線段BC相交于點(diǎn)G，請(qǐng)?jiān)偬骄烤€段的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；嘗試應(yīng)用：（3）在圖3中，延長(zhǎng)線段交線段AC于點(diǎn)F，若，，求．1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD對(duì)折，使點(diǎn)C落在C′的位置，C′D交AB于點(diǎn)Q，則的值為（）A． B． C． D．2．已知正方形DEFG的頂點(diǎn)F在正方形ABCD的一邊AD的延長(zhǎng)線上，連結(jié)AG，CE交于點(diǎn)H，若，，則CH的長(zhǎng)為.3．如圖1，分別是的內(nèi)角的平分線，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，如果，且，求的值；（3）如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．4．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求的值，（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的邊長(zhǎng)．易錯(cuò)模型八：k字型相似模型【模型解讀】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見的一線三等角圖形【例1】（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形內(nèi)放一個(gè)Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角頂點(diǎn)D在半徑OB上，OD＝2DB，點(diǎn)E在半徑OA上，點(diǎn)F在弧上．則半徑OA的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．練習(xí)1．（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD:DE=2:3，則CF=．練習(xí)2．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，，將邊繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點(diǎn)D，使得．請(qǐng)求出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，則線段與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請(qǐng)寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，把線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長(zhǎng)．

1．如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)，在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)始終在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，若，則的值為（

）A．－6 B．－12 C．－18 D．－242．已知是等邊三角形，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)點(diǎn)分別在邊上，，同時(shí)平分和，則的長(zhǎng)為．3．如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連結(jié)，若，試確定點(diǎn)的位置并說(shuō)明理由．4．如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，連接，且．（1）證明：；（2）若，當(dāng)點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與重合），且是等腰三角形，求此時(shí)的長(zhǎng)．易錯(cuò)模型九：折疊相似模型涉及翻折問(wèn)題，以矩形對(duì)稱最常見，變化形式多樣。無(wú)論如何變化，解題工具無(wú)非全等、相似、勾股以及三角函數(shù)，從條件出發(fā)，找到每種對(duì)稱下隱藏的結(jié)論，往往是解題關(guān)鍵。本專題以各類幾個(gè)圖形（三角形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓等）為背景進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。【知識(shí)儲(chǔ)備】翻折和折疊問(wèn)題其實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱問(wèn)題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對(duì)應(yīng)的邊和角都是相等的。以這個(gè)性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合三角形、四邊形、圓的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理設(shè)方程思想來(lái)考查。解決翻折題型的策略：1）利用翻折的性質(zhì)：①翻折前后兩個(gè)圖形全等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分；2）結(jié)合相關(guān)圖形的性質(zhì)(三角形，四邊形等)；3）運(yùn)用勾股定理或者三角形相似建立方程?！纠?】（2021秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將長(zhǎng)方形紙片分別沿，折疊，點(diǎn)D，E恰好重合于點(diǎn)M．記面積為，面積為，且，則的值為（

）

A． B． C． D．練習(xí)1．（2023·河南信陽(yáng)·校考三模）如圖，正方形中，，點(diǎn)P為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接，把沿折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在線段的垂直平分線上時(shí)，的長(zhǎng)為．

練習(xí)2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形沿直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，折痕分別與邊，交于點(diǎn)，，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．1．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，將正方形沿直線折疊，點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．如圖，在菱形紙片中，點(diǎn)E在邊上，將紙片沿折疊，點(diǎn)B落在處，，垂足為F．若，，則cm．3．如圖1，矩形的一條邊，將矩形折疊，使得頂點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，已知折痕與邊交于點(diǎn)，連接、、．(1)求證：(2)如圖2，擦去折痕、線段，連接．動(dòng)點(diǎn)在線段上（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），動(dòng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，連接交于點(diǎn)，作于點(diǎn)．探究：當(dāng)點(diǎn)、在移動(dòng)過(guò)程中，線段與線段有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．4．問(wèn)題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖①，已知是的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖②，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來(lái)證明嘗試證明：（1）請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖②證明：．應(yīng)用拓展：（2）如圖③，在中，，D是邊上一點(diǎn)，連接，將沿所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的E點(diǎn)處．若，，求的長(zhǎng)．

易錯(cuò)模型十：動(dòng)態(tài)相似模型動(dòng)態(tài)相似問(wèn)題，主要在于要學(xué)會(huì)根據(jù)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討