2021年四川中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編之圖形的性質(zhì)

2021年四川中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編之圖形的性質(zhì)

一.選擇題（共9小題）

1.（2021?宜賓）一塊含有45°的直角三角板和直尺如圖放置，若Nl=55°,則N2的度數(shù)

C.40°D.45°

2.（2021?達(dá)州）如圖，一束光線A8先后經(jīng)平面鏡OM,ON反射后，反射光線C。與AB

平行，當(dāng)/ABM=40°時(shí)，/OCN的度數(shù)為（）

C.60°D.80°

3.（2021?廣元）觀察下列作圖痕跡，所作線段CD為△ABC的角平分線的是（）

A.

c

4.（2021?廣安）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)半徑為18米的圓形草坪，從A地走到2地有觀賞路

（劣弧AB）和便民路（線段A8）.已知A、8是圓上的點(diǎn)，。為圓心，/AOB=120°,

小強(qiáng)從A走到8,走便民路比走觀賞路少走（）米.

A.6TT-6?B.6ir-9我C.12n-9?D.12Tt-18加

5.（2021?雅安）如圖，在RtZXABC中，NABC=90°，BF是AC邊上的中線，DE^ABC

的中位線，若。E=6,則BF的長(zhǎng)為（）

D

A.6B.4C.3D.5

6.(2021?雅安)如圖，將△ABC沿BC邊向右平移得到△OEF,OE交AC于點(diǎn)G.若8C：

EC=3：1.5A4DG=16.貝USzsCEG的值為()

7.（2021?宜賓）下列說(shuō)法正確的是（）

A.平行四邊形是軸對(duì)稱圖形

B.平行四邊形的鄰邊相等

C.平行四邊形的對(duì)角線互相垂直

D.平行四邊形的對(duì)角線互相平分

8.（2021?廣元）如圖，從一塊直徑是2的圓形鐵片上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，將剪

下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐.那么這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是（）

9.（2021?樂(lè)山）七巧板起源于我國(guó)先秦時(shí)期，古算書(shū)《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割

術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板，如圖1所示.19世紀(jì)傳到國(guó)外，被稱為“唐圖”（意為“來(lái)

自中國(guó)的拼圖"），圖2是由邊長(zhǎng)為4的正方形分割制作的七巧板拼擺而成的“葉問(wèn)蹬”

圖，則圖中抬起的“腿”（即陰影部分）的面積為（）

22

填空題（共3小題）

10.（2021?廣安）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是.

11.（2021?雅安）如圖，ABCDEF為正六邊形，ABGH為正方形，則圖中NBCG的度數(shù)

12.（2021?雅安）如圖，在矩形ABCO中，AC,8。相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)B作BELAC于點(diǎn)

交.CD于點(diǎn)、F,過(guò)點(diǎn)力作。E〃8尸交AC于點(diǎn)N.交AB于點(diǎn)E,連接尸N,EM.有下列

結(jié)論：①四邊形f為平行四邊形；②DN?=MC，NC；③△OA/'為等邊三角形；④當(dāng)

AO=A。時(shí)，四邊形OE8F是菱形.其中，正確結(jié)論的序號(hào).

三.解答題（共6小題）

13.（2021?廣安）如圖，四邊形ABC。是菱形，點(diǎn)E、尸分別在邊48、AD的延長(zhǎng)線上，且

BE=DF,連接CE、CF.求證：CE=CF.

14.（2021?雅安）如圖，△OAO為等腰直角三角形，延長(zhǎng)OA至點(diǎn)8使OB=OO,ABCD

是矩形，其對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)E,連接OE交AO于點(diǎn)F.

（1）求證：2X04尸絲△D4&

（2）求EE的值.

AF

15.（2021?廣安）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)

為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上.要求以4B為邊畫(huà)一個(gè)平行四邊形，且另外兩個(gè)頂

點(diǎn)在格點(diǎn)上.請(qǐng)?jiān)谙旅娴木W(wǎng)格圖中畫(huà)出4種不同的設(shè)計(jì)圖形

16.（2021?南充）如圖，A,8是上兩點(diǎn)，且48=04,連接OB并延長(zhǎng)到點(diǎn)C,使BC

=OB,連接AC.

（1）求證：AC是0。的切線；

（2）點(diǎn)。，E分別是AC,OA的中點(diǎn)，OE所在直線交。。于點(diǎn)尸，G,04=4,求GF

的長(zhǎng).

17.(2021?涼山州)如圖，在Rtz^ABC中，ZC=90°,AE平分NBAC交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)

。在AB上，DEVAE,OO是RtZ\AOE的外接圓，交AC于點(diǎn)F.

(1)求證：BC是。0的切線;

(2)若。。的半徑為5,AC=8,求SABDE.

18.(2021?眉山)如圖，在等腰直角三角形ABC中，NAC8=90°,AC=BC=2娓,邊長(zhǎng)

為2的正方形。EFG的對(duì)角線交點(diǎn)與點(diǎn)C重合，連接AD,BE.

(1)求證：△AC。名△BCE；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在△ABC內(nèi)部，且NA￡>C=90°時(shí)，設(shè)AC與。G相交于點(diǎn)求AM的長(zhǎng);

(3)將正方形OEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)點(diǎn)A、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)

G

出A。的長(zhǎng).

2021年四川中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編之圖形的性質(zhì)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共9小題）

1.（2021?宜賓）一塊含有45°的直角三角板和直尺如圖放置，若N1=55°,則N2的度數(shù)

是（）

D.45°

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰直角三角形.

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線：等腰三角形與直角三角形:推理能力.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及對(duì)頂角相等求解即可.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)ME,交CD于點(diǎn)、F,

1=55°,

在RtaNEF中，ZNEF=90°,

.\Z3=90o-ZMFC=35°,

；./2=N3=35°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理及對(duì)頂角相等是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?達(dá)州）如圖，一束光線先后經(jīng)平面鏡OM,ON反射后，反射光線與A8

平行，當(dāng)NABM=40°時(shí)，NZJCN的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.80°

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”解答即可.

【解答】解：：NABM=40°,NABM=NOBC,

：.ZOBC=40°,

AZABC=180°-ZABM-ZOBC=180°-40°-40°=100°,

'JCD//AB,

：.ZABC+ZBCD=\SOa,

.-.ZBCD=180°-/ABC=80°,

,:NBCO=NDCN,ZBCO+ZBCD+ZDCN=180°,

AZDC7V=A(180°-ZBCD)=50°,

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的基礎(chǔ).

3.（2021?廣元）觀察下列作圖痕跡，所作線段CD為aABC的角平分線的是（）

A.

c

【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高；作圖一基本作圖.

【專(zhuān)題】作圖題；幾何直觀.

【分析】根據(jù)基本作圖的方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解答】解：根據(jù)基本作圖，A、。選項(xiàng)中為過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線，B選項(xiàng)作AB的垂直

平分線得到AB邊上的中線CD,C選項(xiàng)作CD平分NACB.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；

作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知

直線的垂線）.也考查了三角形的角平分線、中線和高.

4.（2021?廣安）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)半徑為18米的圓形草坪，從4地走到8地有觀賞路

（劣弧AB）和便民路（線段A8）.已知A、B是圓上的點(diǎn)，。為圓心，NAOB=120°,

小強(qiáng)從A走到8,走便民路比走觀賞路少走（）米.

A.6n-6^/3B.6n-95/3C.12n-95/3D.12K-I8-/3

【考點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算.

【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的計(jì)算；應(yīng)用意識(shí).

【分析】作OCLAB于C,如圖，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC,再利用等腰三角形的性

質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出/A,從而得到0C和AC,可得4B,然后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算出

源的長(zhǎng)，最后求它們的差即可.

【解答】解：作。于C,如圖，

'：OA=OB,ZAOB=120°,

.,.NA=ZB=」（180°-NAOB）=30°,

2

在RtZ\40C中，OC=」O4=9米，

2

182-92=米，

*'?AB—2,AC=18，^米，

又..?第=120X兀X18米,

180

走便民路比走觀賞路少走（12兀-18?）米，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算

弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題.

5.（2021?雅安）如圖，在RtZXABC中，/A8C=90°,8F是4c邊上的中線，DEMAABC

的中位線，若QE=6,則B尸的長(zhǎng)為（)

A.6B.4C.3D.5

【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理.

【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出AC,根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一

半計(jì)算，得到答案.

【解答】解：是AABC的中位線，若QE=6,

：.AC=2DE=12,

在RtZXABC中，/A8C=90°,是AC邊上的中線，

：.BF=1AC=6,

2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平

行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?雅安）如圖，將△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF,OE交AC于點(diǎn)G.若BC：

EC=3：1.SAADG=16.貝IJSACEG的值為（）

B

A.2B.4C.6D.8

【考點(diǎn)】三角形的面積；平移的性質(zhì).

【專(zhuān)題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀.

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出AD=BE,進(jìn)而得出BE：EC=2：1,利用三角形面積之比

解答即可.

【解答】解：由平移性質(zhì)可得，AD//BE,AD=BE,

：.AADGs^ECG,

BC：EC=3：1,

:.BE：EC=2：1,

：.AD：EC=2：1,

,,SAADG*S^ECG=嘿"）2-4，

SAADG=16,

.,.SACEG=4，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查平移的性質(zhì)和三角形的面積，關(guān)鍵是根據(jù)平移的性質(zhì)得出三角形面積

之比解答.

7.（2021?宜賓）下列說(shuō)法正確的是（）

A.平行四邊形是軸對(duì)稱圖形

B.平行四邊形的鄰邊相等

C.平行四邊形的對(duì)角線互相垂直

D.平行四邊形的對(duì)角線互相平分

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；軸對(duì)稱圖形.

【專(zhuān)題】多邊形與平行四邊形；應(yīng)用意識(shí).

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形的對(duì)稱性對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.

【解答】解：4、平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形而是中心對(duì)稱圖形，故原命題錯(cuò)誤，不符合

題意；

B、平行四邊形的鄰邊不等，對(duì)邊相等，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；

C、平行四邊形對(duì)角線互相平分，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；

。、平行四邊形對(duì)角線互相平分，正確，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部

分折疊后可重合.

8.（2021?廣元）如圖，從一塊直徑是2的圓形鐵片上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，將剪

下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐.那么這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是（)

【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.

【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力.

【分析】首先求得扇形的弧長(zhǎng)，然后利用圓的周長(zhǎng)公式即可求得.

【解答】解：的直徑為2,則半徑是：1,

，SO0=nX12=TT,

連接BC、A。，根據(jù)題意知BC,A。，AO=BO=\,

在RtZ\ABO中，AB=J。B?A2=A/"^,

即扇形的對(duì)應(yīng)半徑

弧長(zhǎng)/=亞*=返加

1802

設(shè)圓錐底面圓半徑為r,則有

-穴,

2

解得：r=返.

4

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系

是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng).

9.（2021?樂(lè)山）七巧板起源于我國(guó)先秦時(shí)期，古算書(shū)《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割

術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板，如圖1所示.19世紀(jì)傳到國(guó)外，被稱為“唐圖”（意為“來(lái)

自中國(guó)的拼圖"），圖2是由邊長(zhǎng)為4的正方形分割制作的七巧板拼擺而成的“葉問(wèn)蹬”

圖，則圖中抬起的“腿”（即陰影部分）的面積為（）

22

【考點(diǎn)】七巧板.

【專(zhuān)題】矩形菱形正方形；幾何直觀.

【分析】分別求出陰影部分平行四邊形，三角形的面積可得結(jié)論.

【解答】解：由題意，陰影部分的平行四邊形的面積=2義1=2,

陰影部分的三角形的面積=上義2X1=1,

2

..?陰影部分的面積=2+1=3,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查七巧板，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

二.填空題（共3小題）

10.（2021?廣安）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是八.

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和等于（"-2）780。，外角和等于

360°,然后列方程求解即可.

【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是〃，根據(jù)題意得，

（〃-2）780°=3X360°,

解得〃=8,

???這個(gè)多邊形為八邊形.

故答案為：八.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，根據(jù)題意列出方程是解題

的關(guān)鍵，要注意“八”不能用阿拉伯?dāng)?shù)字寫(xiě).

11.（2021?雅安）如圖，ABCDE尸為正六邊形，ABGH為正方形,則圖中NBCG的度數(shù)為

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.

【專(zhuān)題】多邊形與平行四邊形；幾何直觀；運(yùn)算能力.

【分析】分別求出正六邊形和正方形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)，再求出NCBG的大小，即可求解.

【解答】解：?.,ABCDEF為正六邊形，ABGH為正方形，

:.AB=BC=BG,

:.NBCG=NBGC,

.正六邊形ABCQEF的每一個(gè)內(nèi)角是4X180°4-6=120°,

正方形A8GH的每個(gè)內(nèi)角是90°,

；.NCBG=360°-120°-90°=150°,

.?.ZBCG+ZBGC=180°-150°=30°,

：.ZBCG=15°.

故答案為：15°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形的內(nèi)角.熟練掌握正多邊形內(nèi)角的求法是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?雅安）如圖，在矩形A8CD中，AC,8。相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)8作4c于點(diǎn)

交CD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)。作交AC于點(diǎn)N.交A8于點(diǎn)E,連接月V,EM.有下列

結(jié)論：①四邊形NEM尸為平行四邊形；②DN2=MUNC；③為等邊三角形；④當(dāng)

AO=AC＞時(shí)，四邊形OEB尸是菱形.其中，正確結(jié)論的序號(hào)①②④.

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專(zhuān)題】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】①正確.想辦法證明EN//FM,可得結(jié)論.

②正確.證明推出幽=典，再證明DN=BM,AM=CN,可得結(jié)論.

BMCM

③錯(cuò)誤.用反證法證明即可.

④正確.證明OE=BE,可得結(jié)論.

【解答】解：???四邊形ABCC是矩形，

：.AD=BC,AD//BC,CD//AB

：.ZDAN=ZBCM,

"：BF±AC,DE//BF,

：.DE±AC,

：.ZDNA^ZBMC^90Q,

在△AON和△C8M中，

，ZDNA=ZBMC

<ZDAN=ZBCM?

AD=CB

:.XADN沿XCBM(A4S),

：.DN=BM,

"：DF//BE,DE//BF,

四邊形DFBE是平行四邊形，

：.DE=BF,

：.EN=FM,

\'NE//FM,

四邊形NEMF是平行四邊形，故①正確，

:△ADV絲△CBM,

：.AN=CM,

:?CN=AM,

VZAMB=ZBMC=ZABC=90Q,

AZABM+ZCBM=90Q,NCBM+NBCM=90°,

???NABM=NBCM,

：.XNMBsXBMC、

.AM=BM

**BMCI，

?；DN=BM,AM=CN,

:?Da=CM、CN,故②正確，

若ADNF是等邊三角形,則NCDN=60°,ZACD=30°,

這個(gè)與題目條件不符合，故③錯(cuò)誤，

???四邊形A3CO是矩形，

：.OA=OD,

\*AO=AD9

：.AO=AD=OD,

???△AOO是等邊三角形，

:?/ADO=NDAN=60°,

工NABD=900-ZADO=30°,

DELAC,

：.ZADN=ODN=30°,

AZODN=ZABD,

:.DE=BE,

???四邊形DEBF是平行四邊形，

???四邊形。砧尸是菱形；故④正確.

故答案為：①@④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形

的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)；熟練掌握矩形的

性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共6小題)

13.(2021?廣安)如圖，四邊形ABC。是菱形，點(diǎn)E、尸分別在邊AB、AD的延長(zhǎng)線上，且

BE=DF,連接CE、CF.求證：CE=CF.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】由四邊形是菱形，得出BC=CL>,ZABC=ZADC,根據(jù)等角的補(bǔ)角相

等得出/CBE=NC￡>F,從而△CDF絲ZkCBE(SAS)即可.

【解答】證明：???四邊形ABC。是菱形，

:.BC=CD,ZABC^AADC,

；NABC+NCBE=180°,

ZADC+ZCDF=180°,

：.ZCBE=ZCDF,

在△C￡>F和△C8E中，

'CD=CB

<ZCDF=ZCBE)

DF=BE

：./\CDF^/\CBE(SAS),

:.CE=CF.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，證出

C。產(chǎn)是解題的關(guān)鍵.

14.(2021?雅安)如圖，△04。為等腰直角三角形，延長(zhǎng)OA至點(diǎn)8使OB=O。，ABCD

是矩形，其對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)E,連接OE交于點(diǎn)F.

(1)求證：△04F絲△D4&

(2)求迦的值.

AF

DC

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】幾何綜合題：推理能力.

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得到AO=AD,

NOAD=NBAD,進(jìn)而可以判定；

(2)由△OAF絲△D4B得到AF=AB,得到AF與8F的關(guān)系，利用垂直平分線的性質(zhì)

得到。F=8F,進(jìn)而可得.

【解答】解：(1)證明：?.?四邊形A8CD是矩形，

：.BE=DE,/BA￡>=90°,

：.ZABD+ZADB=W0,

'：OB=OD,BE=DE,

：.OELBD,

：.ZOEB=90°,

：.NBOE+NOBE=90°,

：.ZBOE=ZBDA,

；△OAD為等腰直角三角形，

：.AO=AD,/。4。=90°,

：.ZOAD=ZBAD,

在△AOF和△AB。中，

"ZB0E=ZBDA

<A0=AD，

Z0AF=ZBAD

：./\OAF^/\DAB(ASA),

(2)由(1)得，△OAF絲△D48,

：.AF=AB,

連接BR如圖,

D

AB

卻

.,.BF=42.AF,

;BE=DE,0E1BD,

：.DF=BF,

：.DF=y/2AF,

嚕s

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，關(guān)鍵是熟記這些圖形的性質(zhì).

15.（2021?廣安）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)

為格點(diǎn)，線段A8的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上.要求以AB為邊畫(huà)一個(gè)平行四邊形，且另外兩個(gè)頂

點(diǎn)在格點(diǎn)上.請(qǐng)?jiān)谙旅娴木W(wǎng)格圖中畫(huà)出4種不同的設(shè)計(jì)圖形

/\9\9\/,

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；作圖一復(fù)雜作圖.

【專(zhuān)題】作圖題；幾何直觀.

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定畫(huà)出圖形即可.

【解答】解：如圖，四邊形ABCQ即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.

16.(2021?南充)如圖，A,8是。0上兩點(diǎn)，且A8=0A,連接08并延長(zhǎng)到點(diǎn)C,使8c

=OB,連接AC.

(1)求證：AC是的切線；

(2)點(diǎn)。，E分別是AC,OA的中點(diǎn)，OE所在直線交。。于點(diǎn)F,G,0A=4,求GF

的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】三角形中位線定理；垂徑定理；切線的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力.

【分析】(1)證明NOAC=90°即可；

(2)求弦長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理先求出弦長(zhǎng)的一半即可.連結(jié)。F,過(guò)點(diǎn)。作OHLGF于點(diǎn)

H,根據(jù)中位線定理得。E〃OC,所以/OEH=NAO8=60°,求出?！保鶕?jù)勾股定理

求出乘2即可求出GF.

【解答】(1)證明：；AB=04=0B,

/./\OAB是等邊三角形.

.*.N4OB=NOBA=/OA8=60°.

;BC=0B,

：.BC=AB,

：.ZBAC=ZC,

VZOBA=ZBAC+ZC=60°,

.?./BAC=NC=30°.

ZOAC=NO4B+NBAC=90°.

：.OA±AC,

.?.點(diǎn)A在。。上，

；.AC是OO的切線；

(2)解：如圖，連結(jié)OF,過(guò)點(diǎn)O作OHLGF于點(diǎn)H.

：.GF=2HF,NOHE=/OHF=90°.

丁點(diǎn)。，￡分別是AC,OA的中點(diǎn)，

.,.OE=AE=」OA=」X4=2,DE//OC.

22

；.NOEH=NAOB=60°,OH=OEsinZOEH=V3.

〃3八/一二代“穴加產(chǎn)后.

：.GF=2HF=2yflj.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，三角形中位線定理，垂徑定理，屬于中檔題，構(gòu)造直

角三角形，利用勾股定理求出，尸的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

17.(2021?涼山州)如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AE平分N8AC交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)

。在AB上，DE1AE,。。是RtZ\AOE的外接圓，交AC于點(diǎn)F.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若。。的半徑為5,4c=8,求SABDE.

【考點(diǎn)】圓周角定理；三角形的外接圓與外心；切線的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；推理能力；模

型思想.

【分析】(1)根據(jù)直角三角形兩銳角互余，等腰三角形性質(zhì)以及等量代換可得出NAEC+

NOE4=90°,BPOEA.BC,從而得出BC是。0的切線；

(2)根據(jù)△ACESZ\AE。和勾股定理可求出AE,DE,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出三角

形BDE的BD邊上的高EM,再根據(jù)相似三角形和勾股定理求出BD即可.

【解答】解：(1)連接0E,

VZC=90",

N2+NAEC=90°,

又：OA=OE,

.'.N1=NOEA,

?/Z1=Z2,

AZAEC+ZOEA=90°,

即OELBC,

.,.BC是OO的切線；

(2)過(guò)點(diǎn)E作垂足為M,

VZ1=Z2,ZC=ZA￡D=90°,

/\ACE^/\AED,

?-

:ACAE

A8EAD,

即=AE

一

AE10

：?AEjV5

由勾股定理得，

C￡=VAE2-AC2=4=￡M,

D￡=VAD2-AE2=2^'

:NDEB=Nl,NB=NB,

:.△BDEs^BEA,

-BD_DE_1

BEEA2

設(shè)5O=x,則8E=2r,

在RtZ\BOE中，由勾股定理得,

O￡2+BE2=OB2,

即52+(2x)2=(5+x)2,

解得x=M

3

：.SABDE=LBD.EM

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定，相似三角形，勾股定理，掌握切線的判定方法，相似三

角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理是解決問(wèn)題的前提.

18.(2021?眉山)如圖，在等腰直角三角形A8C中，ZACB=90°,AC=BC=2?邊長(zhǎng)

為2的正方形。EFG的對(duì)角線交點(diǎn)與點(diǎn)C重合，連接AO,BE.

(1)求證：AACD冬ABCE；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在△ABC內(nèi)部，且NAOC=90°時(shí)，設(shè)4c與。6相交于點(diǎn)M,求AM的長(zhǎng);

(3)將正方形OEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)點(diǎn)4、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)

出AD的長(zhǎng).F

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專(zhuān)題】幾何綜合題；推理能力.

【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等的性質(zhì),

可證明△ACQ也△"花；

(2)過(guò)點(diǎn)M作MH_LA。于點(diǎn)H,當(dāng)NA￡>C=90°時(shí)，則NAOM=45°,由正方形的邊

長(zhǎng)和AC的長(zhǎng)，可計(jì)算出A。的長(zhǎng)，利用△AMH和△OWH邊之間的特殊關(guān)系列方程，可

求出4W的長(zhǎng)；

(3)A、D、E三點(diǎn)在同一直線上又分兩種情況，即點(diǎn)。在A、E兩點(diǎn)之間或在射線AE

上，需要先證明點(diǎn)8、E、尸也在同一條直線上，然后在△ABE中用勾股定理列方程即可

求出A。的長(zhǎng).

【解答】解：(1)如圖1,；四邊形OEFG是正方形，

:.NDCE=90°,CD=CE；

VZACB=90°,

N4C￡>=NBCE=90°-/BCD,

在△AC。和ABCE中，

rAC=BC

<ZACD=ZBCE-

CD=CE

A^ACD^/XBCE(SAS).

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H,則NAHM=N￡>”M=90°.

；NDCG=90°,CD=CG,

：.ZCDG=ZCGD=45°,

AZADC=90°,

ZMDH=90o-45°=45°,

；.M”=￡W?tan45°=DH；

；8=OG，sin45°=2X返=我，AC=2巫,

2

1，MD=V(2A/5)2-(V2)2=啦

：.AH=3MH=3DH,

：.3DH+DH=3近；

4_

7MH=CD=sinZCy4D=j/2_=_l

AMAC2A/5A/10

AM=VioM/7=VIoX-§2/2.=3V5_.

42

（3）如圖3,A、D、E三點(diǎn)在同一直線上，且點(diǎn)。在點(diǎn)A和點(diǎn)E之間.

；CD=CE=CF,NDCE=/ECF=90°,

NCDE=NCED=NCEF=/C尸E=45°；

由得NBEC=/A￡）C=135°,

:.NBEC+NCEF=180°,

...點(diǎn)8、E、F在同一條直線上，

AZAEB=90°,

,：AE1+BE2=AB2,且DE=2,AD=BE,

2

：.CAD+2）2+A02=（2^5）2+㈡旄）,

解得1或AD=-內(nèi)-1（不符合題意，舍去）；

如圖4,A、D、E三點(diǎn)在同一直線上，且點(diǎn)。在AE的延長(zhǎng)線上.

：NBCF=NACE=90°-ZACF,BC=AC,CF=CE,

：./\BCF^/\ACE（SAS）,

：.ZBFC=ZAEC,

■:NCFE=NCED=45°,

NBFC+/CFE=NAEC+NCED=180°,

...點(diǎn)B、F、E在同一條直線上：

；AC=BC,ZACD^ZBCE=90°+ZACE,CD=CE,

：./XACD^^BCE（SAS）,

.\AD=BE；

'：AE2+BE2=AB2,

22

：.（AD-2）2+A02=（2娓）+（2V5）,

解得4。=/通+1或4。="而-1（不符合題意，舍去）.

綜上所述，A。的長(zhǎng)為舊-1或'備1.

B

G

圖i

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性

質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)與方法，解第（3）

題時(shí)要分類(lèi)討論，以免丟解.

考點(diǎn)卡片

1.七巧板

(1)七巧板是由下面七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形(兩塊小

形三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形.

(2)用這七塊板可以拼搭成幾何圖形，如三角形、平行四邊形、不規(guī)則的多角形等；也可

以拼成各種具體的人物形象，或者動(dòng)物或者是一些中、英文字符號(hào).

(3)制作七巧板的方法：①首先，在紙上畫(huà)一個(gè)正方形，把它分為十六個(gè)小方格.②再?gòu)?/p>

左上角到右下角畫(huà)一條線.③在上面的中間連一條線到右面的中間.④再在左下角到右上角

畫(huà)一條線，碰到第二條線就可以停了.⑤從剛才的那條線的尾端開(kāi)始一條線，畫(huà)到最下面四

份之三的位置，從左邊開(kāi)始數(shù)，碰到線就可停.⑥最后，把它們涂上不同的顏色并跟著黑線

條剪開(kāi)，你就有一副全新的七巧板了.

2.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角

相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)..簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

3.三角形的角平分線、中線和高

(1)從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高.

(2)三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)

間的線段叫做三角形的角平分線.

（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線.

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直

角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形

外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn).

4.三角形的面積

（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即底X高.

2

（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

5.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔

助線構(gòu)造三角形.

6.等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系:等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，

腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的.

（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊

的垂直平分線是對(duì)稱軸.

7.直角三角形斜邊上的中線

（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.（即直角三角形的外心位于斜

邊的中點(diǎn)）

（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條

邊為斜邊的直角三角形.

該定理可以用來(lái)判定直角三角形.

8.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,h,斜邊長(zhǎng)為c,那么〃2+/，=C2.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式/+必=02的變形有：?=/2,2,°2及。=爪2+卜2.

（4）由于/+必=°2>。2,所以c>&,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

9.等腰直角三角形

（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和

直角三角形的所有性質(zhì).即：兩個(gè)銳角都是45°,斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，

三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑上而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈?/p>

腰直角三角形的兩個(gè)小角均為45°,高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三

角形，則兩腰相等）；

（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=l,則外接圓的半徑/?=&+1,所以r：R=l：

V2+1.

10.三角形中位線定理

（1）三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

（2）幾何語(yǔ)言：

如圖，?.?點(diǎn)E分別是AB、4c的中點(diǎn)

J.DE//BC,DE=LBC.

2

（1）多邊形內(nèi)角和定理：（"-2）780°（“23且〃為整數(shù)）

此公式推導(dǎo)的基本方法是從〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n-3）條對(duì)角線，將〃邊形分割為

(〃-2)個(gè)三角形，這(〃-2)個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和正好是〃邊形的內(nèi)角和.除此方法

之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的.即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也

是研究多邊形問(wèn)題常用的方法.

(2)多邊形的外角和等于360°.

①多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則”邊形取〃個(gè)外角，無(wú)論邊數(shù)是幾，其外角

和永遠(yuǎn)為360°.

②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論：外角和=180°n-(〃-2)780°=360°.

12.菱形的性質(zhì)

(1)菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

(2)菱形的性質(zhì)

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線.

(3)菱形的面積計(jì)算

①利用平行四邊形的面積公式.

②菱形面積=1江(小〃是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度)

2

13.矩形的性質(zhì)

(1)矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

(2)矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個(gè)角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；

⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在

的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

(3)由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上