考向37 直線與方程-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專(zhuān)題（新高考地區(qū)專(zhuān)用）

考向37直線與方程1．（2021·山東高考真題）如下圖，直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖得到直線的傾斜角為30，進(jìn)而得到斜率，然后由直線與軸交點(diǎn)為求解.【詳解】由圖可得直線的傾斜角為30°，所以斜率，所以直線與軸的交點(diǎn)為，所以直線的點(diǎn)斜式方程可得：，即．故選：D2．（2021·全國(guó)高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．【答案】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式可得，，化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點(diǎn)和點(diǎn)，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個(gè)變量后，運(yùn)算即可得解.求直線方程一般有以下兩種方法：①直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式，然后直接寫(xiě)出其方程．②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)，即得所求直線方程．在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件，特別是對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程，使用時(shí)要注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．一、直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.二、直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．(2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式如果直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).三、直線方程的五種形式名稱(chēng)方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用四、兩條直線的平行與垂直1．兩條直線平行(1)對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.(2)當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.2．兩條直線垂直(1)如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.(2)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.五、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)已知兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，則交點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．【知識(shí)拓展】三種距離公式1．兩點(diǎn)間的距離公式(1)條件：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(2)結(jié)論：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)特例：點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)O(0,0)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).2．點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).1．（2021·江蘇高二專(zhuān)題練習(xí)）與直線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的直線的方程為（）A． B．C． D．2．（2021·全國(guó)高三）已知直線：（），：，若，則與間的距離為（）A． B． C．2 D．3．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為_(kāi)_____．4．（2022·全國(guó)）設(shè)，是正數(shù)，若兩直線和恒過(guò)同一定點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．1．（2021·全國(guó)高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線與直線互相垂直，垂足為.則等于（）A． B． C． D．2．（2021·江蘇高二專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱(chēng)之為三角形的歐拉線.已知的頂點(diǎn)，，，則的歐拉線方程為（）A． B．C． D．3．（2021·全國(guó)）已知直線，.則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2021·全國(guó)高二專(zhuān)題練習(xí)）已知傾斜角為的直線與直線垂直，則的值為（）A． B． C． D．5．（2021·全國(guó)（文））“直線與直線平行”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2021·全國(guó)高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線與直線垂直，則a＝（）A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣17．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知，，直線，，且，則的最小值為（）A．2 B．4 C． D．8．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知點(diǎn)P與點(diǎn)的距離不大于1，則點(diǎn)P到直線的距離最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．79．（2021·江蘇高二專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則直線必過(guò)定點(diǎn)________________．10．（2021·全國(guó)高二單元測(cè)試）若直線和互相垂直，則實(shí)數(shù)_____________.11．（2021·全國(guó)高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線：，：，，若，則___________.12．（2021·江蘇高二專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)到直線距離的最大值為_(kāi)__________.1．（2020·山東高考真題）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線方程是（）A． B．C． D．2．（2020·山東高考真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．（2020·全國(guó)高考真題（文））點(diǎn)(0，﹣1)到直線距離的最大值為（）A．1 B． C． D．24．（2008·全國(guó)高考真題（理））等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為A．3 B．2 C． D．5．（2007·浙江高考真題（理））直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線方程是（）A． B．C． D．6．（2008·福建高考真題（文））“a=1”是“直線x+y=0和直線x-ay=0互相垂直”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2008·四川高考真題（理））直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移１個(gè)單位，所得到的直線為(A． B．C． D．8．（2018·北京高考真題（理））在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)、變化時(shí)，的最大值為A． B．C． D．9．（2016·北京高考真題（文））已知A（2,5），B（4,1）.若點(diǎn)P（x,y）在線段AB上，則2x?y的最大值為A．?1 B．3 C．7 D．810．（2014·四川高考真題（文））設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．11．（2021·湖南高考真題）過(guò)圓的圓心且與直線垂直的直線方程為_(kāi)__________12．（2008·江蘇高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，點(diǎn)在線段OA上（異于端點(diǎn)），設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，一同學(xué)已正確算出的方程：，請(qǐng)你求OF的方程：__________________________．13．（2016·上海高考真題（文））已知平行直線，則的距離是_______________.1．【答案】B【分析】把方程中換成，整理即得．【詳解】直線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的直線的方程為，即．故選：B．2．【答案】B【分析】由直線平行的結(jié)論列方程求，再由平行直線的距離公式求兩直線的距離.【詳解】由得，解得，所以直線：，即，所以與間的距離為，故選B．3．【答案】和.【分析】根據(jù)題意，設(shè)正方形一邊所在直線的傾斜角為，得到，得出對(duì)角線所在直線的斜率為，結(jié)合兩角和的正切公式，求得，再結(jié)合兩直線的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)正方形一邊所在直線的傾斜角為，其斜率，則其中一條對(duì)角線所在直線的傾斜角為，其斜率為，根據(jù)題意值，可得，解得，即正方形其中一邊所在直線的斜率為，又由相鄰邊與這邊垂直，可得相鄰一邊所在直線的斜率為.故答案為：和.4．【答案】【分析】根據(jù)直線方程求出所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，將定點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程可得，將展開(kāi)利用基本不等式即可求解.【詳解】直線的方程可化為，顯然該直線恒過(guò)兩直線和的交點(diǎn)，由可得，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)也在直線上，故，即．因?yàn)椋钦龜?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故答案為：.1．【答案】D【分析】先由兩直線垂直利用直線的一般式解出的值，再代入交點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)立方程組求出未知數(shù)即可.【詳解】由兩直線垂直得，解得，所以原直線一可寫(xiě)為，又因?yàn)榇棺銥橥瑫r(shí)滿足兩直線方程，所以代入得，解得，所以，故選:D2．【答案】D【分析】根據(jù)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和直線AB的斜率求出線段AB的垂直平分線，結(jié)合歐拉線的定義即可得出結(jié)果.【詳解】線段AB的中點(diǎn)為M（1，2），kAB=﹣2，∴線段AB的垂直平分線為：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．∵AC=BC，∴的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上，因此的歐拉線的方程為：x﹣2y+3=0．故選：D．3．【答案】B【分析】由，求得，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，直線，直線，因?yàn)椋傻茫獾?，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4．【答案】A【分析】根據(jù)直線的垂直關(guān)系可求得直線的斜率為，所以，即可求得.【詳解】由垂直知兩直線的斜率之積為，而直線的斜率為，得直線的斜率為，即，得為鈍角，所以.故選：A5．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行得到或，再利用充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)直線與直線平行,，解得或，當(dāng)，直線和直線重合，舍去，所以.根據(jù)充分條件、必要條件的定義可得，“直線與直線平行”是“”的充分必要條件故選：C6．【答案】D【分析】根據(jù)，得出關(guān)于的方程，即可求解實(shí)數(shù)的值.【詳解】直線與直線垂直，所以，解得或.故選：D.7．【答案】D【分析】根據(jù)得到，再將化為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故選：D.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.8．【答案】B【分析】依題意知點(diǎn)P的軌跡為以為圓心半徑為1的圓面，則點(diǎn)P到直線的距離最小值為圓心到直線的距離減去半徑．【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，圓心到的距離為則點(diǎn)P到直線的距離最小值為故選：B9．【答案】【分析】將代入直線得，由即可得結(jié)果.【詳解】由已知得，代入直線得，即，由，解得，直線必過(guò)定點(diǎn)，故答案為:.10．【答案】6【分析】根據(jù)兩直線垂直的條件求解．【詳解】因?yàn)橹本€和互相垂直，所以，所以．故答案為：6．11．【答案】或【分析】根據(jù)直線一般式時(shí)的平行關(guān)系求解并檢驗(yàn)即可得答案.【詳解】∵，∴，解得：或，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，：，：滿足題意；當(dāng)時(shí)，：，：滿足題意故答案為：或【點(diǎn)睛】?jī)芍本€位置關(guān)系的判斷：和的平行和垂直的條件屬于?？碱}型，如果只從斜率角度考慮很容易出錯(cuò)，屬于易錯(cuò)題題型，應(yīng)熟記結(jié)論：垂直：；平行：，同時(shí)還需要保證兩條直線不能重合，需要檢驗(yàn).12．【答案】【分析】直線恒過(guò)點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系可得，點(diǎn)到直線的距離為.【詳解】解：直線恒過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，∴點(diǎn)到直線距離的最大值為：.故答案為：.1．【答案】D【分析】設(shè)對(duì)稱(chēng)的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)對(duì)稱(chēng)的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以即.故選：D.2．【答案】D【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出、，即可得出結(jié)果.【詳解】結(jié)合圖像易知，，，則角是第四象限角，故選：D.3．【答案】B【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，即可求得結(jié)果.【詳解】由可知直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，即為.故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，利用幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．【答案】A【詳解】，，設(shè)底邊為由題意，到所成的角等于到所成的角于是有，再將A、B、C、D代入驗(yàn)證得正確答案是A．5．【答案】D【分析】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)（x，y），關(guān)于x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)求出，代入已知直線方程，即可得到所求直線方程．【詳解】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)（），則它關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為在直線上，∴化簡(jiǎn)得故選答案D．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了相關(guān)點(diǎn)法：求軌跡方程法屬于基礎(chǔ)題．6．【答案】C【詳解】直線和直線互相垂直的充要條件是，即，故選C7．【答案】A【詳解】∵直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的直線為，從而淘汰（Ｃ），（D）又∵將向右平移１個(gè)單位得，即故選A；【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考察互相垂直的直線關(guān)系，以及直線平移問(wèn)題；【突破】熟悉互相垂直的直線斜率互為負(fù)倒數(shù)，過(guò)原點(diǎn)的直線無(wú)常數(shù)項(xiàng)；重視平移方法：“左加右減”；8．【答案】C【分析】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過(guò)點(diǎn)，則根據(jù)幾何意義得的最大值為.【詳解】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過(guò)點(diǎn)，所以的最大值為，選C.【點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長(zhǎng)度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值