考向37 直線與方程-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學一輪復習考點微專題（新高考地區(qū)專用）

考向37直線與方程1．（2021·山東高考真題）如下圖，直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖得到直線的傾斜角為30，進而得到斜率，然后由直線與軸交點為求解.【詳解】由圖可得直線的傾斜角為30°，所以斜率，所以直線與軸的交點為，所以直線的點斜式方程可得：，即．故選：D2．（2021·全國高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是_______．【答案】【分析】結(jié)合導數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個變量后，運算即可得解.求直線方程一般有以下兩種方法：①直接法：由題意確定出直線方程的適當形式，然后直接寫出其方程．②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)，即得所求直線方程．在求直線方程時，應選擇適當?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件，特別是對于點斜式、截距式方程，使用時要注意分類討論思想的運用．一、直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸作為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.二、直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．(2)過兩點的直線的斜率公式如果直線經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).三、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用四、兩條直線的平行與垂直1．兩條直線平行(1)對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.(2)當直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.2．兩條直線垂直(1)如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.(2)當其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，l1⊥l2.五、兩條直線的交點坐標已知兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，則交點P的坐標是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．【知識拓展】三種距離公式1．兩點間的距離公式(1)條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(2)結(jié)論：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).2．點到直線的距離點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).1．（2021·江蘇高二專題練習）與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為（）A． B．C． D．2．（2021·全國高三）已知直線：（），：，若，則與間的距離為（）A． B． C．2 D．3．（2021·全國高二課時練習）若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為______．4．（2022·全國）設(shè)，是正數(shù)，若兩直線和恒過同一定點，則的最小值為__________．1．（2021·全國高二專題練習）已知直線與直線互相垂直，垂足為.則等于（）A． B． C． D．2．（2021·江蘇高二專題練習）數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點，，，則的歐拉線方程為（）A． B．C． D．3．（2021·全國）已知直線，.則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2021·全國高二專題練習）已知傾斜角為的直線與直線垂直，則的值為（）A． B． C． D．5．（2021·全國（文））“直線與直線平行”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2021·全國高二專題練習）已知直線與直線垂直，則a＝（）A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣17．（2021·全國高三專題練習（理））已知，，直線，，且，則的最小值為（）A．2 B．4 C． D．8．（2021·全國高三專題練習（理））已知點P與點的距離不大于1，則點P到直線的距離最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．79．（2021·江蘇高二專題練習）已知實數(shù)m，n滿足，則直線必過定點________________．10．（2021·全國高二單元測試）若直線和互相垂直，則實數(shù)_____________.11．（2021·全國高二專題練習）已知直線：，：，，若，則___________.12．（2021·江蘇高二專題練習）點到直線距離的最大值為___________.1．（2020·山東高考真題）直線關(guān)于點對稱的直線方程是（）A． B．C． D．2．（2020·山東高考真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．（2020·全國高考真題（文））點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（）A．1 B． C． D．24．（2008·全國高考真題（理））等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為A．3 B．2 C． D．5．（2007·浙江高考真題（理））直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（）A． B．C． D．6．（2008·福建高考真題（文））“a=1”是“直線x+y=0和直線x-ay=0互相垂直”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2008·四川高考真題（理））直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移１個單位，所得到的直線為(A． B．C． D．8．（2018·北京高考真題（理））在平面直角坐標系中，記為點到直線的距離，當、變化時，的最大值為A． B．C． D．9．（2016·北京高考真題（文））已知A（2,5），B（4,1）.若點P（x,y）在線段AB上，則2x?y的最大值為A．?1 B．3 C．7 D．810．（2014·四川高考真題（文））設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是A． B． C． D．11．（2021·湖南高考真題）過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為___________12．（2008·江蘇高考真題）在平面直角坐標系中，設(shè)三角形ABC的頂點坐標分別為，點在線段OA上（異于端點），設(shè)均為非零實數(shù)，直線分別交于點E，F(xiàn)，一同學已正確算出的方程：，請你求OF的方程：__________________________．13．（2016·上海高考真題（文））已知平行直線，則的距離是_______________.1．【答案】B【分析】把方程中換成，整理即得．【詳解】直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為，即．故選：B．2．【答案】B【分析】由直線平行的結(jié)論列方程求，再由平行直線的距離公式求兩直線的距離.【詳解】由得，解得，所以直線：，即，所以與間的距離為，故選B．3．【答案】和.【分析】根據(jù)題意，設(shè)正方形一邊所在直線的傾斜角為，得到，得出對角線所在直線的斜率為，結(jié)合兩角和的正切公式，求得，再結(jié)合兩直線的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)正方形一邊所在直線的傾斜角為，其斜率，則其中一條對角線所在直線的傾斜角為，其斜率為，根據(jù)題意值，可得，解得，即正方形其中一邊所在直線的斜率為，又由相鄰邊與這邊垂直，可得相鄰一邊所在直線的斜率為.故答案為：和.4．【答案】【分析】根據(jù)直線方程求出所過定點坐標，將定點坐標代入的方程可得，將展開利用基本不等式即可求解.【詳解】直線的方程可化為，顯然該直線恒過兩直線和的交點，由可得，所以直線恒過點，所以點也在直線上，故，即．因為，是正數(shù)，所以，當且僅當，即，時等號成立，故答案為：.1．【答案】D【分析】先由兩直線垂直利用直線的一般式解出的值，再代入交點坐標聯(lián)立方程組求出未知數(shù)即可.【詳解】由兩直線垂直得，解得，所以原直線一可寫為，又因為垂足為同時滿足兩直線方程，所以代入得，解得，所以，故選:D2．【答案】D【分析】根據(jù)線段AB的中點坐標和直線AB的斜率求出線段AB的垂直平分線，結(jié)合歐拉線的定義即可得出結(jié)果.【詳解】線段AB的中點為M（1，2），kAB=﹣2，∴線段AB的垂直平分線為：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．∵AC=BC，∴的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上，因此的歐拉線的方程為：x﹣2y+3=0．故選：D．3．【答案】B【分析】由，求得，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，直線，直線，因為，可得，解得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4．【答案】A【分析】根據(jù)直線的垂直關(guān)系可求得直線的斜率為，所以，即可求得.【詳解】由垂直知兩直線的斜率之積為，而直線的斜率為，得直線的斜率為，即，得為鈍角，所以.故選：A5．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行得到或，再利用充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】當直線與直線平行,，解得或，當，直線和直線重合，舍去，所以.根據(jù)充分條件、必要條件的定義可得，“直線與直線平行”是“”的充分必要條件故選：C6．【答案】D【分析】根據(jù)，得出關(guān)于的方程，即可求解實數(shù)的值.【詳解】直線與直線垂直，所以，解得或.故選：D.7．【答案】D【分析】根據(jù)得到，再將化為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，因為，，所以，，所以，當且僅當，時，等號成立．故選：D.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.8．【答案】B【分析】依題意知點P的軌跡為以為圓心半徑為1的圓面，則點P到直線的距離最小值為圓心到直線的距離減去半徑．【詳解】設(shè)點，則，圓心到的距離為則點P到直線的距離最小值為故選：B9．【答案】【分析】將代入直線得，由即可得結(jié)果.【詳解】由已知得，代入直線得，即，由，解得，直線必過定點，故答案為:.10．【答案】6【分析】根據(jù)兩直線垂直的條件求解．【詳解】因為直線和互相垂直，所以，所以．故答案為：6．11．【答案】或【分析】根據(jù)直線一般式時的平行關(guān)系求解并檢驗即可得答案.【詳解】∵，∴，解得：或，檢驗，當時，：，：滿足題意；當時，：，：滿足題意故答案為：或【點睛】兩直線位置關(guān)系的判斷：和的平行和垂直的條件屬于?？碱}型，如果只從斜率角度考慮很容易出錯，屬于易錯題題型，應熟記結(jié)論：垂直：；平行：，同時還需要保證兩條直線不能重合，需要檢驗.12．【答案】【分析】直線恒過點，根據(jù)幾何關(guān)系可得，點到直線的距離為.【詳解】解：直線恒過點，則點到直線的距離的最大值為點到點的距離，∴點到直線距離的最大值為：.故答案為：.1．【答案】D【分析】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標為,則其關(guān)于點對稱的點的坐標為，代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標為，則其關(guān)于點對稱的點的坐標為，因為點在直線上，所以即.故選：D.2．【答案】D【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出、，即可得出結(jié)果.【詳解】結(jié)合圖像易知，，，則角是第四象限角，故選：D.3．【答案】B【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點，設(shè)，當直線與垂直時，點到直線距離最大，即可求得結(jié)果.【詳解】由可知直線過定點，設(shè)，當直線與垂直時，點到直線距離最大，即為.故選：B.【點睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問題，涉及到的知識點有直線過定點問題，利用幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．【答案】A【詳解】，，設(shè)底邊為由題意，到所成的角等于到所成的角于是有，再將A、B、C、D代入驗證得正確答案是A．5．【答案】D【分析】設(shè)所求直線上任一點（x，y），關(guān)于x=1的對稱點求出，代入已知直線方程，即可得到所求直線方程．【詳解】設(shè)所求直線上任一點（），則它關(guān)于對稱點為在直線上，∴化簡得故選答案D．故選D．【點睛】本題考查了相關(guān)點法：求軌跡方程法屬于基礎(chǔ)題．6．【答案】C【詳解】直線和直線互相垂直的充要條件是，即，故選C7．【答案】A【詳解】∵直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)的直線為，從而淘汰（Ｃ），（D）又∵將向右平移１個單位得，即故選A；【點評】此題重點考察互相垂直的直線關(guān)系，以及直線平移問題；【突破】熟悉互相垂直的直線斜率互為負倒數(shù)，過原點的直線無常數(shù)項；重視平移方法：“左加右減”；8．【答案】C【分析】為單位圓上一點，而直線過點，則根據(jù)幾何意義得的最大值為.【詳解】為單位圓上一點，而直線過點，所以的最大值為，選C.【點睛】與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值