文科高中數(shù)學(xué)公式大全

高中文科數(shù)學(xué)公式總結(jié)

一、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

1.元素與集合的關(guān)系:xeAox任C°A,x&Cb,A<^>xA.00AoAw0

集合［4,4,,a,』的子集個數(shù)共有2"個；真子集有2"-1個；非空子集有2"-1個；非空的真子集

有2"-2個.

2.真值表

Pq非PP或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

常見結(jié)論的否定形式;

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個一個也沒有

都是不都是至多有一個至少有兩個

大于不大于至少有n個至多有(〃-1)個

小于不小于至多有“個至少有(”+1)個

對所有X,成立存在某X,不成立P或q~>p且-11

對任何X,不成立存在某龍，成立p且q-ip或-.q

四種命題的相互關(guān)系(下圖)：(原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假.)

逆否命題

若非q則非P

3.充要條件(記p表示條件，q表示結(jié)論)

(1)充分條件：若pnq,則p是4充分條件.

(2)必要條件：若qnp,則p是4必要條件.

(3)充要條件：若p=q,且則p是夕充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

4.全稱量詞V表示任意，三表示存在；V的否定是三，三的否定是V。

例：Vxe7?,x2+x+l>0的否定是去4

5.函數(shù)的單調(diào)性

⑴設(shè)X］、x2e［a,Z>J,X1<巧那么

/(%,)一/(/)<0o/(x)在［a,b］上是增函數(shù)；

/(%,)-f(x2)>0=/(x)在［a,切上是減函數(shù).

⑵設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若_f(x)>0,則/*)為增函數(shù)；若_f(x)<0,則/⑴為減

函數(shù).

6.復(fù)合函數(shù)y=〃g(x)］單調(diào)性判斷步驟:

(1)先求定義域(2)把原函數(shù)拆分成兩個簡單函數(shù)y=/(“)和〃=g(x)

(3)判斷法則是同增異減(4)所求區(qū)間與定義域做交集

7.函數(shù)的奇偶性

(1)前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱。

(2)對于定義域內(nèi)任意的X,都有/(—x)=/(x),則f(x)是偶函數(shù)；

對于定義域內(nèi)任意的》,都有.f(—x)=—f(x),則/(x)是奇函數(shù)。

(3)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。

8.若奇函數(shù)在x=0處有意義，則一定存在/(。)=0；

若奇函數(shù)在尤=0處無意義，則利用/(-x)=-/(x)求解；

9.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)=anx"+...+%的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)尸(x)是奇函數(shù)OP(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)。P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

10.常見函數(shù)的圖像:

11.函數(shù)的對稱性

(1)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(—x)的圖象關(guān)于直線x=O(即)，軸)對稱.

(2)對于函數(shù)y=/(x)(xeR),/(a+x)=/(a-x)恒成立,則函數(shù)/(x)的對稱軸是'="

(3)對于函數(shù)y=.f(x)(xeR),f(x+a)=/S—x)恒成立,則函數(shù)f{x}的對稱軸是x=;

12.由/(尤)向左平移一個單位得到函數(shù)f(x+D

由/(龍)向右平移一個單位得到函數(shù)/(*一1)

由/(X)向上平移一個單位得到函數(shù)一(“)+1

由一(X)向下平移一個單位得到函數(shù)/(幻一1

若將函數(shù)y=/(x)的圖象向右移。、再向上移6個單位，得到函數(shù)y=/(x—a)+人的圖象；若將曲

線/(x,y)=O的圖象向右移。、向上移匕個單位，得到曲線/1(%一區(qū)y一。)=0的圖象.

13.函數(shù)的周期性

(1)/(%)=/(%+?),則/(幻的周期T=|a|；

(2)f(x+a)=-f(x),則/(x)的周期T=2|a|

(3)/(%+?)=—1―,則/(x)的周期T=2|a|

fM

(4)/(x+a)=/(x+b),貝！If(x)的周期T=|a-0；

14.分?jǐn)?shù)指數(shù)

(1)an-y/a^(a>O,m,n&N*,且〃>1).

11

(2)an-——=.——(a>0,m,〃￡N*,且〃>1).

,標(biāo)

15.根式的性質(zhì)

(1)而)"=a.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時，歸=a；

當(dāng)〃為偶數(shù)時，"=|a'°

-a,a<0

16.指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

(1)ar-as=ar+s(a>0,r,seQ)(2)aras=ar~s(4/>0,r,5eQ)

(3)(ar)s=ar\a>0,r,sGQ)(4)(ab)"=a1br(a>0,/?>0,rG2)-

17.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式：log“N=Ooa"=N(a〉0,awl,N>0).

18.對數(shù)的四則運(yùn)算法則：若a>0,a#l,M>0,N>0,則

M

⑴log”(AW)=log(,M+log〃N;(2)log“—=log.M-loguN;

n

(3)log”M'i=〃log”;(4)logN〃=—log.NQi,mGR)

m

(5)log“a=l(6)log〃l=°

logN

19.對數(shù)的換底公式:Tog。N=——~—(〃:>0,且。。1,〃z>(),且加wl,N>0).

log,"

倒數(shù)關(guān)系式：l0g，/xl°g?T

20.對數(shù)恒等式：。喻*=N(。〉()，且N>0).

21.零點(diǎn)存在定理：

如果函數(shù)/(*)在區(qū)間(a,b)滿足/(a)x/S)<0,則A?在區(qū)間(a,b)上存在零點(diǎn)。

22.函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)不處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)是曲線y=/(x)在尸(公,/(/))處的切線的斜率/'(Xo)，相應(yīng)的切線

方程是y-%=/'(玉))(%一天))-

23.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

為常數(shù))n

(1)C'=()(C(2)(xn)=nx~'(n&Q)

⑶(sinx)r=cosx(4)(cosx)r=—sinx

⑸(Inx)r=—(6)(logx)-

Xaxlna

⑺(")'="(8)(axy=ax\na.

24.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

,c、uv-uv.八、

(1)(w±v)=u±v(2)(wv)=uv+uv(3)(-)=一—("0)

VV

25.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)〃=9(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)〃；=0(X)，函數(shù)y=/(〃)在點(diǎn)工處的對應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù)

M

yu=/())則復(fù)合函數(shù)y-/(0(x))在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)，且yx=yu-ux,或?qū)懽?(°(x))—f\u)(p(x).

26.求切線方程的步驟：

①求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)

②把橫坐標(biāo)毛帶入導(dǎo)函數(shù)/'(X),得到尸(%),則斜率左=/'(%)

③點(diǎn)斜式寫方程y—%=r(』)(x—Xo)

27.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

①求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)

②令/'(x)>0,則得到原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。

②令/'(x)<0,則得到原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。

28.求極值常按如下步驟：

①求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)；

②令方程/'(x)=0的根，這些根也稱為可能極值點(diǎn)

③檢查在方程的根的左右兩側(cè)的符號，確定極值點(diǎn)。(可以通過列表法)如果在X。附近的左側(cè)

/'(x)>0,右側(cè)/'(x)<0,則./?(%)是極大值；如果在小附近的左側(cè)/'(x)<0,右側(cè)/'(x)>0,

則/(x0)是極小值.

④將極值點(diǎn)帶入到原函數(shù)中，得到極值。

29.求最值常按如下步驟：

①求原函數(shù)的極值。

②將兩個端點(diǎn)帶入原函數(shù)，求出端點(diǎn)值。

③將極值與端點(diǎn)值相比較，最大的為最大值，最小的為最小值。

二、三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量

30.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin20+cos20=l>tan0=S*n^-.

cos(9

31.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

奇變偶不變，符號看象限。

32.和角與差角公式

sin(a±J3)=sinacos/3±cosasin?；

cos(a±/?)=cosacosf3sinasinp；

,,“、tan?±tanB

tan(a±/?)=-----------.

1tanatan0

33.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2<z-sin2a=2cos2a-1=l-2sin2a.

2tana

tanla=

1-tan2tz

2cos2a=l+cos2a,cos2a=1+0°、2a

公式變形：_2

2sin2a=l-cos2?,sin2a=--

34.三角函數(shù)的周期

24

函數(shù)y=sin（4x+0）,周期T=—；

co

函數(shù)y=COS(GX+0),周期T二—；

CD

TT

函數(shù)y=tan(69x+°),周期T=—.

co

35.函數(shù)y=sin(s+0)的周期、最值、單調(diào)區(qū)間、圖象變換(熟記)

36.輔助角公式(化一公式)

y=6isinx+/7cosx=y/a2+h2sin(x+^9)其中tan夕=2

a

36.正弦定理

4=上=，=2n

sinAsinBsinC

37.余弦定理

a2=b2+c2-2/?ccosA；

b1=c2+a2-2cacosB；

c2-a2+b2—2abeosC.

38.三角形面積公式

S--absinC--besinA--casinB.

222

39.三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，有A+B+C=%oC=4一(A+3)sin(A+8)=sinC

40.a與否的數(shù)量積（或內(nèi)積）

a-b^\a\-1A>|cos^

41.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

（1）設(shè)A（X］，X）,B（X2，%），則.=03~3=（%2一3，%一,）,

（2）設(shè)a=（X］,yJ,Ax9,%）,則+%2，y+%）.

（3）設(shè)a=（X］，x）,3=（x2，%），貝I。一3=區(qū)一芍,%一內(nèi)）.

（4）設(shè)a=（X］，x）,1=（工2，乂），則a$=Xi%2+%%?

（5）設(shè)a=（x,>）,則忖=正+/

42.兩向量的夾角公式

設(shè)。=（工］,弘）"=（%2，%），且。彳0，則

a-b七七+呼

c°sa6==

aM&；+y；、尤2+4

43.向量的平行與垂直

a//bb=Aa<^>xly2=0.

a±b{a0）a-b=0^>xix2+yiy2=0.

44.向量的射影公式

若，2與3的夾角為。，則3在Z的射影為?,cose

三'數(shù)列

45.數(shù)列他“}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系（遞推公式）

數(shù)列｛a,J的前n項(xiàng)的和為s“=q+4++a“).

46.等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式

=a

%\+(〃一l)d=dn+a｝—d(neN*)；

47.等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和公式

_n(al+an)_n(n-l)d21,

Sn----------+-7-〃-5"+(?|--?)?■

48.等差數(shù)列｛a,｝的中項(xiàng)公式

0一%+4+1

冊一2

49.等差數(shù)列｛%｝中，若？n+n=p+q,則a,”+a“=a°+/

50.等差數(shù)列｛/｝中，s.,52“—s“，$3”—成等差數(shù)列

51.等差數(shù)列｛4｝中，若〃為奇數(shù)，則s,=〃3

2

52.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

??=qqi=幺?g"(〃eN*)；

q

53.等比數(shù)列前n項(xiàng)的和公式為

s“=ji-q或，=｛i-q

nax,q=\\na[,q=\

當(dāng)q=1時，an-na]

54.等比數(shù)列｛為｝的中項(xiàng)公式

X

<=??-!??+l

55.等比數(shù)列｛%｝中，若m+n=p+q,則a,,xaa=a,x4

56.等比數(shù)列｛%｝中，sn,s2n-sn,與“一與”成等比數(shù)列

四、均值不等式

57.均值不等式：如果a,beR+,那么a+622，萬。“一正二定三相等”

58.已知都是正數(shù)，則有節(jié)之之歷，當(dāng)x=y時等號成立。

(1)若積W是定值p,則當(dāng)x=y時和x+)有最小值2折；

1。

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時積孫有最大值一SJ

4

五、解析幾何

59.斜率的計(jì)算公式

(1)katana(2)k=―—―(3)直線一般式中上=一義

X2—XjB

60.直線的五種方程

（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)-y=《（》一玉）（直線/過點(diǎn)q（X|，x）,且斜率為k）.

（2）斜截式y(tǒng)=^+b（b為直線/在y軸上的截距）.

⑶兩點(diǎn)式―t="'（y尸叢）（\（工1，乂）、巴（工2，丫2）（工尸修））.

%-y々一玉

（4）截距式二+2=1（。、6分別為直線的橫、縱截距，。、b^O）

ab

（5）一般式井+3），+。=0（其中人、B不同時為0）.

61.兩條直線的平行

若4：y=^x+4，/2:y—/G,x+b2

（1）%=%2出工用：

（2）..均不存在

62.兩條直線的垂直

若4?=仁無+4，/,:y—k2x+b2

（1）kyk2=—1-

（2）4=0,總不存在

63.平面兩點(diǎn)間的距離公式

22

dAB=yl（x2-xi）+（y2-yt）（A（5,y）,B（馬,必））?

64.點(diǎn)到直線的距離

dJAx+Byn+C\（點(diǎn)2（工％）,直線/：Ax+By+C=0）.

VA2+B2

65.圓的三種方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2.

（2）圓的一般方程x1+y2+Dx+Ey+F^0（D2+E2-4F>0）.

22

圓心坐標(biāo)（-2,-馬半徑=ylD+E-4F

22

66.直線與圓的位置關(guān)系

直線Ar+By+C=0與圓（%—。產(chǎn)+（y—切2=/的位置關(guān)系有三種:

d>ro方目離oA<0;

d=r<=>木目切<=>A=0;

d<ro相交=△>（）.弦長=2）產(chǎn)_d?

67.橢圓、雙曲線、拋物線的圖形、定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)

橢圓：T+與=1（。>匕〉0）,a2-c2=b2,離心率e=￡<l.準(zhǔn)線方程：x=±—

雙曲線：與―4=l(a>0,b>0),c2-a2=b2,離心率e=￡>l,準(zhǔn)線方程：x=±±

ab~ac

漸近線方程是y=±?x.

拋物線：V=2px,焦點(diǎn)（券Q）,準(zhǔn)線》=一日。拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于它到準(zhǔn)線的距離.

68.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

2222

（1）若雙曲線方程為二一二=1=漸近線方程：=―==0=y=±2x.

a2b-a2b2?a

22

（2）若漸近線方程為^=±2》0±±2=0=雙曲線可設(shè)為一—馬=九.

aahab

2222

（3）若雙曲線與0—4=1有公共漸近線，可設(shè)為j—4=入（入＞0,焦點(diǎn)在x軸上，入＜0,

a2b2a2b2

焦點(diǎn)在y釉上）.

69.拋物線V=2px的焦半徑公式

拋物線V=2。矢（〃＞0）焦半徑|。/hx0+日.（拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于它到準(zhǔn)線的距離。）

70.過拋物線焦點(diǎn)的弦長網(wǎng)"+g9+5=玉+馬+P.

六、立體幾何

71.證明直線與直線平行的方法

（1）三角形中位線（2）平行四邊形（一組對邊平行且相等）

72.證明直線與平面平行的方法

（1）直線與平面平行的判定定理（證平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行）

（2）先證面面平行

73.證明平面與平面平行的方法

平面與平面平行的判定定理（一個平面內(nèi)的西條相交直線分別與另一平面平行）

74.證明直線與直線垂直的方法

轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直

75.證明直線與平面垂直的方法

（1）直線與平面垂直的判定定理（直線與平面內(nèi)兩條相變直線垂直）

（2）平面與平面垂直的性質(zhì)定理（兩個平面垂直，一個平面內(nèi)垂直交線的直線垂直另一個平面）

76.證明平面與平面垂直的方法

平面與平面垂直的判定定理（一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面垂直）

77.柱體、椎體、球體的側(cè)面積、表面積、體積計(jì)算公式

圓柱側(cè)面積=2m7,表面積=2m7+2勿-2

圓椎側(cè)面積=加7,表面積=勿，/+42

匕主體=：S6（5是柱體的底面積、h是柱體的高）.

（S是錐體的底面積、力是錐體的高）?

42

球的半徑是R,則其體積丫=1乃后，其表面積s=41R-9

/體=?S上+又+際”

78.異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角的定義及計(jì)算（構(gòu)造二面角的平面角）

79.點(diǎn)到