概率統(tǒng)計習題

幅率給與敢理倭耳

習題及題解

沈志軍盛子寧

第一章概率論的基本概念

1.設(shè)事件A,8及AU8的概率分別為及廣，試求P(AB),P(A8),P(彳8)及

P(AB)

2.若A,8,C相互獨立，試證明：彳,瓦仁亦必相互獨立。

3.試驗E為擲2顆骰子觀察出現(xiàn)的點數(shù)。每種結(jié)果以(Xi，4)記之，其中七，馬分別表示

第一顆、第二顆骰子的點數(shù)。設(shè)事件A={(x”X2)IX1+々=10}，

事件B={(X1,X2)IX|A/}。試求P(BIA)和尸(AI8)

4.某人有5把鑰匙，但忘了開房門的是哪一把，只得逐把試開。問：(1)恰好第三次

打開房門鎖的概率？(2)三次內(nèi)打開的概率？(3)如果5把里有2把房門鑰匙，則在三

次內(nèi)打開的概率又是多少？

5.設(shè)有甲、乙兩袋，甲袋中裝有〃個白球、機個紅球，乙袋中裝有N個白球、M個

紅球。今從甲袋中任意取一個放入乙袋中，再從乙袋中任意取一個，問取到白球的概率是

多少？

6.在時間間隔5分鐘內(nèi)的任何時刻，兩信號等可能地進入同一收音機，如果兩信號進

入收音機的間隔小于30秒，則收音機受到干擾。試求收音機不受干擾的概率？

7.甲、乙兩船欲?？客淮a頭，它們在一晝夜內(nèi)獨立地到達碼頭的時間是等可能的，

各自在碼頭上停留的時間依次是1小時和2小時。試求一船要等待空出碼頭的概率？

8.某倉庫同時裝有甲、乙兩種警報系統(tǒng)，每個系統(tǒng)單獨使用的有效率分別為0.92,0.93,

在甲系統(tǒng)失靈的條件下乙系統(tǒng)也失靈的概率為0.15。試求下列事件的概率：(D倉庫發(fā)生

意外時能及時發(fā)出警報；(2)乙系統(tǒng)失靈的條件下甲系統(tǒng)亦失靈？

9.設(shè)A,8為兩隨機變量，試求解下列問題：

(1)已知P(4)=P(B)=l/3,P(AI8)=l/6。求:P(AIB)；

(2)已知P(A)=1/4,P(3IA)=l/3,P(AIB)=l/2。求：P(AUB)..

10.先把長為/的木棍折斷為兩部分，再把較大的那一部分折斷成兩部分。試求所得三

部分能成三角形的概率？

11.甲、乙、丙三人向同一飛機射擊，假設(shè)他們的命中率都是0.4。又若只有一人命中

時，飛機墜毀的概率為0.2；若恰有二人命中時，飛機墜毀的概率為0.6；若三人同時命中，

則飛機必然墜毀。試求：（D飛機墜毀的概率；（2）若飛機已經(jīng)墜毀，則墜毀的飛機是因

為恰有二人命中的概率？

12.今有9門高射炮獨立地向一飛機射擊，每門炮能擊中飛機的概率為0.6。（1）同

時各射一彈，試求飛機被擊中的概率；（2）欲以99%以上的把握擊中飛機，試問至少要

布置多少門炮同時射擊？

13.某工廠有職工4745名，每名職工生日在一年中某一天的概率為1/365,試求下列

事件的概率：（1）恰有4名職工生日在同一天（A）；（2）至少有4名職工生日在同一天

（B）?

14.假設(shè)飛機的每個發(fā)動機在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1-p,且各發(fā)動機故障與否是

相互獨立的。如果至少有50%的發(fā)動機正常，飛機可成功飛行。問對于多大的p,4個發(fā)

動機比2個發(fā)動機更為保險？

15.設(shè)事件A,8,C滿足：

P（A）=P（B）=P（C）=1/4,P（AC）=1/8,P（AB）=P（BC）=0

試求A,B,C三事件至少有一發(fā)生的概率？

16.某地區(qū)氣象資料表明，鄰近的甲、乙兩城市中的甲市全年雨天比例為12%,乙市

全年雨天比例為9%,甲、乙兩市至少的一城市為雨天比例為16.8%,試求下列事件的概

率：（1）甲、乙兩市同為雨天；（2）在甲市雨天的條件下乙市亦為雨天；（3）在乙市無

雨的條件下甲市亦無雨？

17.某地以英文字母及阿拉伯數(shù)字組成7位牌照。試求下列事件的概率：（1）牌照的

前2位是英文字母、后5位是阿拉伯數(shù)字（4）；（2）牌照中有2位是英文字母、另外5

位是阿拉伯數(shù)字（8）?

18.甲、乙兩個乒乓球運動員進行單打比賽，如果每賽一局甲勝的概率為0.6,乙勝的

概率為0.4,比賽既可采用三局兩勝制，也可以采用五局三勝制，問采用哪種賽制對甲更有

利？

19.平面上畫有平行線若干、其間距交替地等于1.5厘米及8厘米。今任意地向平面投

擲一半徑為2.5厘米的圓片。試求該圓與任一平行線不相交的概率?

20.甲、乙兩人相約于一小時內(nèi)在某地會面，商定先到者等候10分鐘，過時即可離去。

試求他們能會到面的概率？

21.平面上畫有距離為a(a>0)的平行線若干條。今向此平面任意投一長為/(/<。)的

小針。試求小針與平行線之一相交的概率？

22.若A,8相互獨立，貝ij(1)4,8獨立；(2)彳,8獨立；(3)彳，后獨立。

23.當擲五枚硬幣時，已知至少出現(xiàn)兩個正面，求正面數(shù)剛好是三個的條件概率？

24.擲三顆骰子，若已知沒有兩個相同的點數(shù)，試求至少有一個一點的概率？

11一

25,設(shè)事件的概率分別為-和一，試求下列三種情況下P(A8)的值：

32

(1)A與8互斥；(2)AuB；(3)P(AB)=—

8

26.將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球數(shù)的最大值分別為1,2,3的概

率？

27.袋中有12個球，其中8個白球，4個黑球，現(xiàn)從中任取兩個，求：(1)兩個均為

白球的概率？(2)兩個球中一個是白的，另一個是黑球的概率？(3)至少有一個黑球的

概率？

28.將10本書隨意放在書架上，求：其中指定的5本書放在一起的概率？

29.甲、乙二班共有70名同學，其中女同學40名，設(shè)甲班有30名同學，而女生15

名，求：在碰到甲班同學時，正好碰到一名女同學的概率？

30.設(shè)一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品，其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱、

3箱、2箱，三廠產(chǎn)品的次品率依次為0.1,0.2,03,從這10箱中任取一箱，再從這箱中任取

一件產(chǎn)品，求：取得正品的概率？

31.某工廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一型號的螺釘，各車間的產(chǎn)量分別占該廠螺

釘產(chǎn)品的25%,35%,40%,各車間成品中次品分別為各車間產(chǎn)量的5%,4%,2%,今

從該廠的產(chǎn)品中任取一個螺釘經(jīng)檢查發(fā)現(xiàn)是次品，問它是甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)的概率

是多少？

32.有產(chǎn)品100件，其中10件次品，90件正品?，F(xiàn)從中任取3件，求：其中至少有一

件次品的概率？

33.100人參加數(shù)理化考試，其結(jié)果是：數(shù)學10人不及格，物理9人不及格，化學8

人不及格，數(shù)學、物理兩科都不及格的有5人，數(shù)學、化學兩科都不及格的有4人，物理、

化學兩科都不及格的有4人，三科都不及格的有2人。問全部及格的有多少人？

34.兩臺機器加工同樣的零件，第一臺機器的產(chǎn)品次品率是0.05,第二臺機器的產(chǎn)品

次品率是0.02。兩臺機器加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺機器加工的零件數(shù)量

是第二臺機器加工出來的零件數(shù)量的兩倍。從這些零件中任取一件，求：此零件是合格品

的概率？如果任意取出一件，經(jīng)檢驗是次品，求：它是由第二臺機器生產(chǎn)的概率？

35.有槍8支，其中5支經(jīng)過試射校正，3支未經(jīng)過試射校正。校正過的槍，擊中靶的

概率是0.8；未經(jīng)校正的槍，擊中靶的概率是0.3。今任取一支槍射擊，結(jié)果擊中靶，問此

槍為校正過的概率是多少？

36.某射手射擊一發(fā)子彈命中10環(huán)的概率為0.7,命中9環(huán)的概率為0.3。求：該射手

射擊三發(fā)子彈而得到不小于29環(huán)成績的概率？

37.設(shè)Au民P(A)=0.1,P(B)=0.5,試求：P(AB),P(AUB),P(AU月)及P(A|B)

38.已知P(A)=0.7,P(A-8)=0.3,求：P(Afi)

39.某舉重運動員在一次試舉中能打破世界紀錄的概率是p,如果在比賽中他試舉三

次，求：他打破世界紀錄的概率？

40.工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的一級品率是40%,問需要取多少件產(chǎn)品，才能使其中至少

有一件一級品的概率不小于95%?

41.假設(shè)每個人的生日在任何月份內(nèi)是等可能的，已知某單位中至少有一個人的生日

在一月份的概率不小于0.96,問該單位有多少人？

42.從5雙不同尺碼的鞋子中任取4只，問4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是

多少？

43.儀器中有三個元件，它們損壞的概率是0.1,并且損壞與否相互獨立。當一個元件

損壞時，儀器發(fā)生故障的概率是0.25；當兩個元件損壞時，儀器發(fā)生故障的概率是0.6；當

三個元件損壞時，儀器發(fā)生故障的概率是0.95；當三個元件都不損壞時，儀器不發(fā)生故障。

求：儀器發(fā)生故障的概率？

44.在套圈游戲中，甲、乙、丙每投一次套中的概率分別是0.1,0.2,0.3,已知三個人中

某一個人投圈4次而套中一次，問此投圈者是誰的可能性最大？

45.在40個同規(guī)格的零件中誤混入8個次品，必須逐個查出，求：正好查完22個零

件時，挑全了8個次品的概率？

46.設(shè)事件A與6相互獨立，兩事件中只有A發(fā)生及只有8發(fā)生的概率都是工，求

4

P(A)與P(3)

第二章隨機變量及其分布

1.一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備。調(diào)查表明在任一時刻f每個設(shè)備被使用的概率

為0.1,問在同一時刻：(1)恰有2個設(shè)備被使用的概率？(2)至少有3個設(shè)備被使用的

概率？(3)至多有3個設(shè)備被使用的概率？

2.設(shè)有一批產(chǎn)品共100件，其中有95件正品，5件次品。現(xiàn)從中隨機地抽取10件，

試以觀察抽得的次品數(shù)為隨機變量，寫出其分布律，并求次品數(shù)X不超過3的概率？

3.設(shè)X的分布律為

X012

P0.30.60.1

求X的分布函數(shù)?

4.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為/(x)=A+Barctanx,(-8<x<+8)。試求：(1)

系數(shù)A,B；(2)X落在(-1,1)內(nèi)的概率？(3)X的概率密度？

5.設(shè)隨機變量X服從2=0.015的指數(shù)分布，試求：(DF{X>100}；

(2)若要P{X>x}<0.1,則x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

6.設(shè)隨機變量X的概率密度為/(?=<7仁7求X的分布函數(shù)?

0其它

x0<%<1

7.設(shè)隨機變量X的概率密度為：/(x)=<2—xl<x<2求X的分布函數(shù)?

0其它

0x<0

8.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為/（x）=《kx20<%<1

1x>l

試求：（1）系數(shù)左；（2）X的概率密度；（3）P{0.34X41.3}。

OX<O

2

X

<X<

9.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為夕（x）=《一-

215

X_>5

試求：（1）X的概率密度；（2）X落在（3,6）內(nèi)的概率?

10.隨機變量X的概率密度為/（%）=心小，（-8<x<+8）,

試求：（1）系數(shù)上；（2）P{0<X<1}；（3）X的分布函數(shù)?

11.某種電子管的使用壽命X（單位：小時）的概率密度為

100

x>100

f(x)=<-

0x<100

設(shè)某儀器內(nèi)裝有三個這樣的電子管。試求：（1）試用的最初150小時內(nèi)沒有1個電子管損

壞的概率；（2）這段時間內(nèi)只有1個電子管損壞的概率？

12.設(shè)隨機變量X的分布律為

X-10123

P1/121/41/61/125/12

試求：（1）y=2x+i的分布律；（2）y=（x—1）2的分布律?

2x

13.設(shè)X的概率密度為/（x）=〈靛的概率密度?

0其它

14.設(shè)隨機變量X在（0,1）上服從均勻分布，試求：（1）Y=e'的概率密度;

（2）y=—2InX的概率密度?

15.設(shè)隨機變量X在區(qū)間-上TT，一IT上服從均勻分布。求隨機變量y=cosX的概率密

22

度？

16.設(shè)隨機變量X~N(O,1)。試求：(l)y=eX;(2)y=IXI的概率密度?

17.設(shè)隨機變量X~N(O,1)。試求：丫=2X2+1的概率密度？

18.設(shè)電流/是一個隨機變量，它均勻分布在9~11安之間。若此電流通過2歐的電阻,

試求功率卬=2/2的概率密度？

19.設(shè)隨機變量X的概率密度為/(x),求Y=X3的概率密度；若隨機變量X服從參

數(shù)為幾的指數(shù)分布，求y=的概率密度？

20.某種商品一周內(nèi)的需要量X是一個隨機變量，其概率密度為

YP~XX>0

/*)=,設(shè)各周的需要量是相互獨立的，求：(1)兩周；(2)三周的需要量

0x<0

的概率密度？

21.設(shè)x是一個隨機變量，在(-1,1)上服從均勻分布，求y=1X1的概率密度？

22.設(shè)X~N(5,4),求：(1)P{IXI>3)s(2)使P{X<c}=P{X>c}的?

注：0(0)=0.5,0(1)=0.8413,0(2)=0.9772,0(3)=0.9987,0(4)=0.9999

23.同時擲兩顆骰子，觀察它們出現(xiàn)的點數(shù)。記X為兩顆骰子出現(xiàn)的最大點數(shù)，試求X

的分布律？

24.某批產(chǎn)品的次品率為1/4,現(xiàn)對這批產(chǎn)品進行測試，以X表示首次測得正品的測試

次數(shù)，求X的分布律？

25.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

c(x-X2)0<x<1

0其它

試求：(1)常數(shù)c；(2)F{0<X<0.5}；(3)X的分布函數(shù)？

26.電話總機在1小時內(nèi)平均接到60次呼喚，試問在30秒內(nèi)1次呼喚也沒有接到的

概率有多大？

27.對某一目標進行射擊，直到擊中時為止。若每次射擊的命中率為p,試求射擊次

數(shù)的分布律？

28.設(shè)盒中有5個球，其中3個黑球、2個白球，從中隨機抽取3個球，求：“抽得白

球個數(shù)”X的概率分布？

29.某射手每次射擊打中目標的概率都是0.8,現(xiàn)在他連續(xù)射擊30次，求：他至少打

中兩次的概率？

30.某射手每次打中目標的概率都是0.8,現(xiàn)在他連續(xù)向一個目標射擊，直到第一次擊

中目標為止。求：他射擊次數(shù)不超過5次就能把目標擊中的概率？

31.設(shè)隨機變量X的概率分布為尸{X=i}=Cx（；）,（i=l,2,3,……）

試求：（1）常數(shù)C;（2）P{-<X<4}o

2

32.已知隨機變量X的分布律為P{X……）

2

試求：y=cos（成）的分布律？

33.設(shè)某商店每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7的泊松分布，問在月初進貨時應(yīng)

進多少件此種商品，才能保證當月此種商品不脫銷的概率為0.999?

34.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為〃,p的二項分布，問當人為何值時能使P{X=A}最大？

35.同時投擲兩顆骰子，直到至少有一顆骰子出現(xiàn)六點為止，試求：投擲次數(shù)X的分

布？

36.一臺儀器在10000個工作小時內(nèi)平均發(fā)生10次故障，試求：在100個工作小時內(nèi)

故障不多于兩次的概率？

37.設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為

x<1

x>1

試求：(1)系數(shù)A；(2)X落在(-的概率；(3)X的分布函數(shù)。

22

38.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為

0x<0

7t

F(x)=<Asinx0<x<—

,兀

1x>—

2

試求：常數(shù)A及2｛兇<三｝。

6

39.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(160,b2),為使尸｛120<X4200｝20.80,問允

許。的最大值是多少？

40.設(shè)測量兩地間的距離時帶有隨機誤差X,其概率密度函數(shù)為

1

p(x)=----==e3200,(-oo<%<+oo)

40后

試求：(1)測量誤差的絕對值不超過30的概率；(2)接連測量三次，每次測量相互獨立進

行，求至少有一次誤差不超過30的概率。

41.設(shè)隨機變量X分別服從TT［-7工T，生］與［0,萬］區(qū)間上的均勻分布，試求：Y=sinX的

22

概率密度函數(shù)。

42.已知隨機變量X只取-1,0,1,2四個數(shù)值，其相應(yīng)的概率依次是:

1352

試求:常數(shù)C

元’而'詬'標

43.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為

0x<-a

F(x)=〈A+5arcsin—-a<x<a,(a>0)

a

1x>a

試求：(1)常數(shù)A,B；(2)隨機變量X落在內(nèi)的概率；(3)X的概率密度函數(shù)。

44.將三封信逐封隨機地投入編號分別為1,2,3,4的四個空郵筒，設(shè)隨機變量X表

示“不空郵筒中的最小號碼”(例如，“X=3”表示第1,2號郵筒中未投入信，而第3號

郵筒中至少投入了一封信），試求：（1）隨機變量X的分布律；（2）X的分布函數(shù)/（X）。

45.設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為

2

Px(x)=----------,0<x<+oo

+x2)

試證明：隨機變量丫=-!-與x服從同一分布。

x

46.轟炸機共帶三顆炸彈去轟炸敵方鐵路。如果炸彈落在鐵路兩旁40米內(nèi)，就可以使

鐵路交通遭到破壞，已知在一定投彈準確度下炸彈落點與鐵路距離X的概率密度為

100+x

-100<x<0

10000

100-X

p(x)=<0<x<100

10000

0|x|>100

如果三顆炸彈全部投下去，問敵方鐵路被破壞的概率是多少？

47.設(shè)隨機變量x服從標準正態(tài)分布，y=i-2|x|,試求：丫的概率密度函數(shù)。

第三章多維隨機變量及其分布

1.袋中裝有四個球，分別編號為1,2,2,3,現(xiàn)不放回地任取兩次，每次抽取一個球,

以x,y分別記第一次和第二次所取球的編號，求（X,丫）的分布律？

2.設(shè)二維連續(xù)型隨機變量（x,y）的概率密度為

kxy0<x<2,0<y<1

/(x,y)=,

0其它

求：（1）常數(shù)k的值；（2）P{X+Y>2}

3.將一硬幣連擲三次，以X表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y表示在三次中出現(xiàn)正面的

次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)的差的絕對值，試求二維隨機變量（X,Y）的分布律？

4.已知二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為

Ae-(2x+3y)x>0,y>0

f(x,y)=<

0其它

試求：（1）常數(shù)A的值；（2）P{0<X<l,0<y<2};（3）（X,y）的分布函數(shù)？

5.設(shè)（x,y）在矩形區(qū)域0<》<1,0<》<2內(nèi)服從均勻分布。求（x,y）的概率密度與

分布函數(shù)？

6.設(shè)（x,y）的概率密度為

exyX-<y<\

0其它

求：（1）常數(shù)c：（2）尸{X>丫}

7.設(shè)（X,y）在由x軸、），軸及直線2x+y=2所圍成的三角形區(qū)域上服從均勻分布。

求（X,丫）關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣概率密度？

8.設(shè)（x,y）的概率密度為

Ax0<x<1,0<y<x

/（x，y）=《，、

其它

求：（1）常數(shù)A；（2）關(guān)于X及關(guān)于y的邊緣概率密度?

9.設(shè)（x,y）的聯(lián)合分布律如表所示:

01

00.560.24

10.140.06

判斷X與丫是否相互獨立?

io.一電子器件包含兩個部分，分別以x，丫記這兩部分的壽命（單位:小時），設(shè)（x,y）

的分布函數(shù)為

1i-e八一O.Olx/皿+2現(xiàn)中）x>0,y>0

y)="

0其它

問：（1）X與y是否相互獨立？（2）求P{X2120,^2120}

H.設(shè)二維隨機變量（x,y）的概率密度為

6xy0<x<l,0<y<2(l-x)

f(x,y)=<

0其它

問：（i）x與y是否相互獨立？（2）求尸{x+y<i}

12.設(shè)X和丫是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0,0.2）上服從均勻分布，y的概率

5產(chǎn)>0

密度為/y（y）=（）v，求：（1）（X,y）的聯(lián)合概率密度；（2）P[Y<X}

0y<0

13.設(shè)（X,丫）在三角形區(qū)域0:x>0,y>0,x+y<l上服從均勻分布。

求2=乂+丫的概率密度?

14.對某種電子裝置的輸出測量5次，設(shè)觀察值X,(i=1,2,3,4,5)是相互獨立且服從同

一分布，其概率密度為八,(%)=<；68x>°,。=1,2,3,4,5)

0x<0

求：P{max[X,,X2,X3,X4,X5]>4}

is.設(shè)x,y是相互獨立的隨機變量，其分布律分別為

P〈X=k1=p(k),k=0,1,2,….P{y=/}=q(D，j=0,1,2,

證明隨機變量Z=X+y的分布律為P{Z=i}=Yp⑴q(i-j),(i=0,1,….)

/=0

16.在一簡單電路中，兩電阻與和R2串聯(lián)聯(lián)接。設(shè)a和R2相互獨立，它們的概率密

10—x10—y

在ZkwwC/\-----0<x<10rz、-----0<y<10

度分別為加(x)=|50,/，(>)=《50

.0其它10其它

求總電阻/?=鳥+R2的概率密度？

s一一［10<x<1,0<y<2(1-x)

17.設(shè)(X,Y)的概率密度為/(x,y)=/廿二

0具匕

求2=乂+Y的概率密度？

18.設(shè)隨機變量X,y相互獨立，X在(0,1)上服從均勻分布，Y在(0,2)上服從

均勻分布。求Z|=max(X,Y)和Z2=min(X,y)的概率密度?

19.將三個球隨機地放入三個盒子內(nèi)，每個球可放入任一盒子中，記x,y分別為放入

第一個、第二個盒子中球的個數(shù)，求二維隨機變量(x,y)的分布律？

20.設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為

x?+現(xiàn)0<x<l,0<y<2

f(x,y)=<

0'其它

求：（DP［X+Y>I}；（2）（x,y）的分布函數(shù)；（3）（x,y）關(guān)于x及關(guān)于y的邊緣概

率密度；（4）判斷x與丫是否相互獨立？

1Iyl<x,0<x<1

21.設(shè)（X,Y）的概率密度為/（x,y）=〈

0其它

求：（X,Y）關(guān)于x及關(guān)于y的邊緣概率密度?

22.設(shè)x,y是相互獨立的隨機變量，分別服從參數(shù)為4，%的泊松分布，

證明：z=x+丫服從參數(shù)為4+4的泊松分布。

23.設(shè)G表示平面上的區(qū)域，它是由拋物線），=/和直線y=x所夾的區(qū)域。（X,Y）

服從G上的均勻分布，求聯(lián)合概率密度與邊緣概率密度，并問X與丫是否相互獨立?

24.離散型隨機變量（x,y）的概率分布如下表所示，試求邊緣分布，并問x與丫是否

相互獨立？

x\r0123456

00.2020.1740.1130.0620.0490.0230.004

100.0990.0640.0400.0310.0200.006

2000.0310.0250.0180.0130.008

30000.0010.0020.0040.011

25.設(shè)隨機變量（x,y）為連續(xù)型的，其聯(lián)合概率密度為

kx(x-y)0<x<2,-x<y<x

f(x,y)=<

0其他

試求：（1）常數(shù)女；（2）邊緣密度函數(shù)；（3）問X與y是否相互獨立?

26.設(shè)x與y是兩個相互獨立的隨機變量，x服從［0,2］上均勻分布，y服從參數(shù)為

2的指數(shù)分布，試求py〈x}

27.設(shè)x與y是兩個相互獨立的隨機變量，x服從附，1]上均勻分布，丫服從參數(shù)為

1的指數(shù)分布，試求z=x+y的概率密度函數(shù)。

28.設(shè)二維隨機變量(x,y)的聯(lián)合概率密度為

/(x,y)萬2Q6+/)(25+y2)

試求：(1)常數(shù)A；(2)(X,y)的聯(lián)合分布函數(shù)。

29.設(shè)隨機變量X與y是相互獨立，都服從標準正態(tài)分布N(0,l),試求P{yzjix}

30.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

,,、\Cx2y30<x<l,0<y<l

f^,y)=\■.

[0其他

試求：(1)常數(shù)c；(2)證明x與丫相互獨立。

31.箱子里裝有4件正品和8件次品，依次從箱子中任取一件，取兩次，每次取后不

放回。隨機變量x與y如下定義：

v[1如果第一次取出的是次品

(0如果第一次取出的是正品

[1如果第二次取出的是次品

[0如果第二次取出的是正品

試寫出隨機變量(x,y)的聯(lián)合分布律，邊緣分布律，并問x與y是否相互獨立？

32.隨機地擲兩顆骰子，設(shè)x表示第一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示這兩顆骰子出現(xiàn)點

數(shù)的最大值。試寫出二維隨機變量(x,y)的聯(lián)合分布，丫的邊緣分布？

33.袋中有N個球，其中。個紅球，b個白球，c個黑球(a+b+c=N)。每次從袋

中任取一球，共取〃次。設(shè)x,y分別表示取出的〃個球中紅球與白球的個數(shù)，試求下列兩

種情況下(x,y)的聯(lián)合分布：

(1)每次取出的球仍放回去(有放回抽樣)；

(2)每次取出的球不放回去(無放回抽樣)。

34.已知隨機變量(X/)的聯(lián)合分布律為

,e-"x(7.14)"x(6.86)"i,n”ni、

P{IXY-m,Yv=n}=----------------------,Q”=0,1,2,???),(〃=0,1」??，加)

n\{m—ri)\

試求邊緣分布。

v

35.設(shè)二維隨機變量(X,y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為/(x,y),求Z=T的概率密度函

數(shù)？

36.設(shè)二維隨機變量(XI)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為/(x,y),求工=乂丫的概率密度函

數(shù)？

37.設(shè)隨機變量X與丫相互獨立，并且概率密度函數(shù)分別為

I_!d1_N

九。)=丁6a,f(y)^—ea,(a>0)

2a2aY

試求Z=X+丫的概率密度函數(shù)？

38.隨機變量X1與X?相互獨立，且X1~N(從，b；),X2~N(〃2，b；),

試證明：Z=XI+X2~N(從+〃2，b：+b；)

39.設(shè)隨機變量X與y相互獨立，都服從［0,1］上的均勻分布，求Z=|X-H的分布？

40.設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，都服從［-4,0上的均勻分布，求2=乂丫的概率密

度函數(shù)？

41.設(shè)隨機變量x與y相互獨立，都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求z=X的概率密度

Y

函數(shù)？

42.若隨機變量X只取一個值，試證明：X與任何隨機變量y都相互獨立。

第四章數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理

兀

Acos2xlxl<—

1.設(shè)隨機變量的概率密度為/(x)=(2

01x1〉工

I2

求：(1)常數(shù)A；(2)D(X)

x0<x<1

2.設(shè)隨機變量X的概率密度為/(x)=12-xl<x<2

0其它

求。(X)及b(x)

3.設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為

(2x0cx<1[e~yy>0

Aw=|o其它‘於)=|。其它

求：D(X+Y)

4.已知隨機變量X的數(shù)學期望與方差分別為E(X)和Z)(X),(O(X)>0),令

y=X；E(X),求E⑺,￡>(y)

Jo(x)

5.已知后。)=1,磯乂2)=3,￡(丫)=0,鳳丫2)=2,成乂丫)=1,求D(X+Y)

6.證明：。(乂)=0的充要條件是「｛*=。｝=1,。為常數(shù)。

7.設(shè)(x,y)在圓域，+/<i內(nèi)服從均勻分布，求cov(x,y),并判斷x,y是否相

互獨立？

8.設(shè)二維隨機變量(x,y)的分布律為

X-101

￡]_2

-1

888

]_2

0

088

!2]_

1

888

驗證：x和y不相關(guān)，但x和y不是相互獨立的

9.設(shè)二維隨機變量(x,y)的概率密度為

[1Iyl<x,0<x<1

"x,y)=1o其它

求cov(x,y),并判斷x,y是否相互獨立？

10.設(shè)二維隨機變量(X,丫)在平面區(qū)域G:x<0,y<0,x+y>-l上服從均勻分布，

求COV(X,Y),Pxy

11.設(shè)X,(i=l,2,…,10)相互獨立，且在(0,1)上服從均勻分布，試利用中心極限

10

定理計算尸{工X,〉6)的近似值？

i=l

(注：0(1)=0.8413,0(1.1)=0.8630,0(1.3)=0.9032,0(1.5)=0.9332)

12.把三個球隨機地放入三個盒子中去，每個球可投入任一盒子中，記X為空盒子的

個數(shù),求E(X),￡)(X)

13.設(shè)隨機變量X的分布律為P{X=k}=pqJ,伏=1,2,…)，其中

0<p<l,q=l—p是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為p的幾何分布，求E(X),O(X)

14.一本書500頁中有100個印刷錯誤，設(shè)每頁錯誤個數(shù)服從泊松分布：（1）隨機地

取一頁，求這一頁上錯誤不少于2個的概率？（2）隨機地取4頁，求這4頁上錯誤不少于

5個的概率？（3）隨機地取8頁，求這8頁上錯誤不少于5個的概率？

15.共有〃把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能打開上的鎖。用它們?nèi)ピ囬_門

上的鎖，設(shè)抽取鑰匙是相互獨立且等可能的，若每把鑰匙經(jīng)試開一次后除去，試用下面兩

種方法求試開次數(shù)X的數(shù)學期望：（1）寫出X的分布律；（2）不寫出X的分布律。

16.設(shè)二維隨機變量（x,y）的概率密度為

6xy0<x<l,0<y<2(1-x)

f(x,y)=<

0其它

求：E(X),D(Y),E(XY)

17.設(shè)二維隨機變量（x,y）的分布律為

X0123

33

100

88

]_

300

88

求COV(X,Y),0xy

18.設(shè)（X,Y）的概率密度為/（x,0<x<2,0<y<2

.0其它

求Pxy

19.對于隨機變量X,y,Z,已知E（X）=E（y）=l,E（Z）=—l,

D（X）=D（y）="Z）=1,々y=0,Pxz=；，Prz=—g，

求：E（X+y+z）,o（x+y+z）

20.某校報名選修心理學課的學生人數(shù)是服從均值為100的泊松分布的隨機變量。教

務(wù)部門決定，如報名人數(shù)不少于120人，就分成兩個班講授；如果少于120人，就集中在

一個班講授。試問此課程將分兩個班講授的概率是多少？

(注：①⑴=0.8413,①(2)=0.9772,0(2.5)=0.9938,0(3)=0.9987)

21.對圓的直徑作近似測量，設(shè)其值均勻地分布在口,切內(nèi)，求圓面積的數(shù)學期望？

7t

COSXUX

22.設(shè)隨機變量X的概率密度為fx(x)=\--y,試求隨機變量y=X2

0其它

的方差？

23.一批零件中有9個合格品3個次品，在安裝機器時從這批零件中任取一個。如果每

次取出的次品就不再放回去，求在取得合格品前，已經(jīng)取出的次品個數(shù)的期望及方差？

24.由統(tǒng)計物理學知道，氣體分子運動的速率X服從麥克斯威爾分布，其概率密度函數(shù)

4x2.4

為小)=私/X〉。

0x<0

這里，是參數(shù)。試求分子運動速率X的期望及方差？

25.自動生產(chǎn)線在調(diào)整之后出現(xiàn)次品的概率為p,生產(chǎn)中若出現(xiàn)次品時立即進行調(diào)整，

求兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的數(shù)學期望及方差？

26.已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為

4兀

試求X的數(shù)學期望及方差？

27.設(shè)X為隨機變量，C為常數(shù)且CHE(X),試證明：D(X)<￡(X-C)2

28.設(shè)某校車上有50名職工，自校門開出，有10個停車點，如果某停車點沒人下車，

則不停車。設(shè)每位職工在每個停車點下車是等可能的，X表示停車次數(shù)，試求X的數(shù)學期

望？

29.設(shè)隨機變量X與丫相互獨立，且X~N(0,cr2),y~N(0,b2),求：

￡(Vx2+r2),D^X2+Y2)o

30.設(shè)隨機變量X”X2,…，XI。。相互獨立，且都服從參數(shù)為1的泊松分布，試利用中心

100

極限定理計算P{EX,<120}

/=|

31.船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角度大于6。的概率為〃=^,

若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問其中有29500~30500次縱搖角度大于6°的概率是多少？

32.袋裝茶葉用機器裝袋，每袋的凈重為隨機變量，其期望值為0.01依，一大盒內(nèi)裝

200袋，求一大盒茶葉凈重大于20.5總的概率？

33.電冰箱的壽命服從指數(shù)分布，每臺電冰箱平均壽命是10年?，F(xiàn)工廠生產(chǎn)了1000臺

電冰箱，問10年之內(nèi)，這些電冰箱出現(xiàn)故障的臺數(shù)小于600臺的概率？

34.設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為

“、［ax2+bx+c0cx<1