高數(shù)函數(shù)極限

高數(shù)函數(shù)極限使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述,定義1.6可以寫為：如果在定義1.6,

如果令

則有

設(shè)在點(diǎn)

的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義,A為常數(shù).存在點(diǎn)

的空心鄰域第2頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天的右極限與左極限.分別稱為f(x)在點(diǎn)由定義1.6,

特別地,我們有下面兩個(gè)簡(jiǎn)單的極限：第3頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1證明不存在.左右極限存在但不相等,證所以,不存在.第4頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2用定義驗(yàn)證:證因所以故而第5頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3證明:當(dāng)證因不妨設(shè)

由

所以

故

第6頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4用定義驗(yàn)證:證因不妨設(shè)

于是故所以第7頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5證明其中為常數(shù).證即

當(dāng)時(shí),結(jié)論顯然成立.令則

于是

所以

先證的情形.當(dāng)時(shí),令而同樣有

第8頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.2.2

函數(shù)極限的性質(zhì)與運(yùn)算但所有的結(jié)果都可以平行推廣到一般情況.

定理1.9(唯一性)本節(jié)主要針對(duì)的情形討論極限的性質(zhì)與運(yùn)算,證反證法.若存在,則極限值是唯一的.于是為無(wú)窮小,與矛盾.則

都是無(wú)窮小.

第9頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理1.10(局部有界性)

若存在,則在x0的某個(gè)空心鄰域證設(shè)所以,在該空心鄰域內(nèi)有界.內(nèi)有界.因?yàn)樵邳c(diǎn)x0某空心鄰域內(nèi)有界,

第10頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理1.11(局部保號(hào)性)

證只需證第一部分.

與A同號(hào).不妨設(shè)1.設(shè)且因所以為無(wú)窮小.即于是第11頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.2.3極限的運(yùn)算法則定理1.12(極限四則運(yùn)算法則)

則有

證(1)則

設(shè)

第12頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論1如果即:常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2如果所以(1)成立.于是第13頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論1.2(局部保序性)由定理1.11和定理1.12,立即有下面的推論

則在x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有2.若在x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有則則第14頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天有利用極限的運(yùn)算法則和上節(jié)的兩個(gè)結(jié)果我們可以求解一些簡(jiǎn)單的極限問(wèn)題：

對(duì)于的多項(xiàng)式函數(shù)第15頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6

求

解由函數(shù)商的極限法則,有第16頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天一般地,設(shè)

則商的法則不能使用.則當(dāng)?shù)?7頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得例7

求

第18頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天解消去零因子法時(shí),分子、分母的極限都是零.例8

求

第19頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天解時(shí),分子、分母的極限都是無(wú)窮大,例9

求

分子、分母同時(shí)除以

x的最高次冪.第20頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天一般地,當(dāng)?shù)?1頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天解先作恒等變形,使和式的項(xiàng)數(shù)固定,再求極限.和式的項(xiàng)數(shù)隨著n在變化,原式不能用運(yùn)算法則.方法:例10

求

第22頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理1.13(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)設(shè)且存在推論若則則復(fù)合函數(shù)時(shí)的極限也存在,且第23頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天證例11

證明:如果則由及復(fù)合函數(shù)的極限法則,有

有特別地,如果為多項(xiàng)式函數(shù),且

第24頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天解原式例12

求

第25頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天

由于數(shù)列可以看作特殊的函數(shù),因此復(fù)合函數(shù)的極限法則對(duì)數(shù)列同樣適用.抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持它們?cè)谠瓟?shù)列中的先后次序,

在數(shù)列中任意得到的數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列(簡(jiǎn)稱子列).

設(shè)在數(shù)列中,第一次抽取

第二次在后抽取抽取下去得到子數(shù)列

第三次在后抽取注意:

嚴(yán)格單調(diào)遞增，顯然有

無(wú)休止地第26頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天如果數(shù)列收斂于A,

則它的任意子數(shù)列推論1.3(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)也收斂于A.證設(shè)是的任一子列.令顯然有由定理1.13有第27頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天如果推論1.4(函數(shù)極限與