八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)17.1勾股定理

17.1勾股定理勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.從而推導(dǎo)：，，.注意（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：題型1：勾股定理的認(rèn)識(shí)1.下列說法中正確的是（）A．已知a，b，c是三角形的三邊，則a2+b2＝c2 B．在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以BC2+AC2＝AB2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以BC2+AC2＝AB2【變式1-1】（2022秋?溧水區(qū)期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)應(yīng)邊分別是a，b，c，則下列式子成立的是（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．a(chǎn)2+c2＝b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝c2 D．b2+c2＝a2【變式1-2】若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm，3cm，則第三條邊長(zhǎng)是cm．【變式1-3】有下列判斷：①已知a，b，c分別是直角三角形的三邊長(zhǎng)，則必有a2+b2＝c2；②直角三角形中，兩條邊的平方和等于第三邊的平方；③在Rt△ABC中，若∠B＝90°，邊BC，CA，AB的長(zhǎng)分別是a，b，c，則有c2＝a2+b2；④在Rt△ABC中，若∠A＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，則有b2+c2＝a2.其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型2：利用勾股定理求線段2.（2022春?伊通縣期末）在△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝3：5且AB＝20cm，求邊AC的長(zhǎng)度．【變式2-1】（2021秋?耒陽市期末）如圖，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC邊上的高AD＝12，求BC的長(zhǎng)．【變式2-2】（2022春?寧遠(yuǎn)縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2，求BC的長(zhǎng)．題型3：勾股定理與面積3.（2022秋?榆樹市期末）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB、BC、AC為邊向外作正方形，若三個(gè)正方形的面積分別為225、400、S，則S的值為（）A．25 B．175 C．600 D．625【變式3-1】（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是6、10、4、6，則最大正方形E的面積是（）A．20 B．26 C．30 D．52【變式3-2】（2022春?靈寶市校級(jí)月考）如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為邊，向外作正方形，等腰直角三角形，等邊三角形和半圓，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的圖形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.題型4：勾股定理的證明4.下面圖形能夠驗(yàn)證勾股定理的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式4-1】如圖，已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三點(diǎn)共線，各邊長(zhǎng)如圖所示，請(qǐng)利用面積法證明勾股定理．【變式4-2】【閱讀理解】我國(guó)古人運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個(gè)直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個(gè)正方形．其中四個(gè)直角三角形直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【嘗試探究】美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根據(jù)拼圖證明勾股定理．【定理應(yīng)用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c．求證：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【變式4-3】勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖擺放時(shí)，也可以用面積法來證明勾股定理，請(qǐng)完成證明過程．（提示：BD和AC都可以分割四邊形ABCD）題型5：勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用5.（2022春?河西區(qū)期末）如圖，網(wǎng)格中的小正方形邊長(zhǎng)均為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則AC的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．25【變式5-1】如圖，在由25個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的網(wǎng)格中，以AB為邊畫Rt△ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，并且兩條邊長(zhǎng)均為無理數(shù)，滿足這樣條件的點(diǎn)C共幾個(gè)？【變式5-2】如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)按下列要求畫三角形．（1）使三角形的三邊長(zhǎng)分別為2、、；（2）求出此三角形的面積．題型6：勾股定理與三角形垂直平分線、角平分線6.（2021秋?廣陵區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AD為△ABC角平分線．求CD的長(zhǎng)度．【變式6-1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線．（1）若AC＝5，BC＝6，求△ACD的周長(zhǎng)；（2）若∠BAD：∠CAD＝4：1，求∠B的度數(shù)．【變式6-2】（2022秋?宜州區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直線DE是邊AB的垂直平分線，連接BE．（1）若∠A＝35°，則∠CBE＝°；（2）若AC＝6，BC＝4，求△BCE的周長(zhǎng)．【變式6-3】（2022秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D．（1）求證：點(diǎn)D在AB的垂直平分線上；（2）若CD＝2，求BD的長(zhǎng)．題型7：勾股定理與折疊問題7.（2022春?隆安縣期末）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD對(duì)折，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng)．【變式7-1】如圖，沿AE折疊長(zhǎng)方形ABCD，使D點(diǎn)落在BC邊的點(diǎn)F處，若AB＝12cm，BC＝13cm，則FC的長(zhǎng)度是．【變式7-2】矩形紙片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則DE＝cm．題型8：勾股定理與直角坐標(biāo)系8.在直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的位置如圖所示，∠B＝90°，OA＝2，OB＝，求△OAB各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式8-1】（2022春?高安市期末）如圖，△OAB為直角三角形，OA＝5，AB＝4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（4，5） B．（4，3） C．（3，4） D．（3，5）【變式8-2】（2022春?隨州期中）如圖，x軸、y軸上分別有兩點(diǎn)A（3，0）、B（0，2），以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，0） B．（2﹣，0） C．（1，0） D．（3，0）【變式8-3】（2022春?南沙區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是：A（﹣2，1），B（2，3）．那么線段AB的長(zhǎng)度是（）A． B．2 C．5 D．題型9：勾股定理與規(guī)律問題9.（2022春?東至縣期末）如圖，Rt△OA1A2中，過A2作A2A3⊥OA2，以此類推．且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4…＝1，記△OA1A2的面積為S1，△OA2A3面積為S2，△OA3A4面積為S3，…，細(xì)心觀察圖，認(rèn)真分析各題，然后解答問題：①（）2+1＝2，S1＝；②（）2+1＝3，S2＝；③（）2+1＝4，S3＝…（1）請(qǐng)寫出第n個(gè)等式：；（2）根據(jù)式子規(guī)律，線段OA10＝；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．【變式9-1】已知：正方形的邊長(zhǎng)為1．如圖（a），可以計(jì)算出正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為；如圖（b），兩個(gè)正方形并排成的矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)為；如圖（c），三個(gè)正方形并排成的矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)為；如圖（d），四個(gè)正方形并排成的矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)為；…根據(jù)以上規(guī)律，n個(gè)正方形并排成的矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為．【變式9-2】（2022春?泰山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OA1A2的直角邊在y軸的正半軸上，且OA1＝A1A2＝1，以O(shè)A2為直角邊作第二直角三角形OA2A3，以O(shè)A3為直角邊作第三個(gè)等腰直角三角形OA3A4，…，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形OA2020A2021，則點(diǎn)A2021的坐標(biāo)為（0，﹣21010）．一、單選題1．（2020八下·崆峒期末）已知直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為3和5，則斜邊的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．342．（2022八上·越城期末）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長(zhǎng)是1，則任意兩個(gè)格點(diǎn)間的距離不可能是（）A．7 B．8 C．9 D．103．（2022八上·青島期中）如圖，在“慶國(guó)慶，手拉手”活動(dòng)中，某小組從營(yíng)地A出發(fā)，沿北偏東53°方向走了1200m到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西37°方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)，此時(shí)A，C兩點(diǎn)之間的距離為（）A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m4．（2022·拱墅模擬）如圖，在△ABC中，AB>AC，以點(diǎn)A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧交AB于點(diǎn)D，連接DC；再以點(diǎn)D為圓心，DC的長(zhǎng)為半徑作弧交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若BE=BD，∠E=15°，則（）A．AB=2AC B．BC=BD+DE C．AD=2BE D．CE=AB+AC5．（2022·兗州模擬）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十而斜東北與乙會(huì)．問甲、乙行各幾何？”大意是說：已知甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3．乙一直向東走，甲先向南走10，后又向東北方向走了一段后與乙相遇．那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多少？設(shè)甲、乙二人從出發(fā)到相遇的時(shí)間為x，根據(jù)題意，可列方程正確的是（）A．(3x)2C．(3x)26．（2020九上·百色期末）如圖，在高2m，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需要（）A．23m B．（2+23）mC．4m D．（4+23）m7．（2021八上·運(yùn)城月考）設(shè)a、b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長(zhǎng)為6，斜邊長(zhǎng)為2.5，則ab的值是（）A．3 B．2.5 C．2 D．6二、填空題8．（2020八下·大埔月考）如圖，矩形ABCD的面積為60，一條邊AB的長(zhǎng)為5，則矩形的對(duì)角線BD＝．9．（2022八上·余姚期中）在直角三角形中，有兩條邊的長(zhǎng)分別是3和4，則斜邊長(zhǎng)是．10．（2020八上·東海期中）如圖，將一根長(zhǎng)12cm的筷子置于底面半徑為3cm，高為8cm的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度h至少為cm.11．（2021七下·肇州期末）如圖，在直角△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC，交BC邊于點(diǎn)E，若BC=5，AC=13，則△AEC的面積是．三、解答題12．（2021八下·增城期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=4，求BC的長(zhǎng)

13．（